数論において、ハッセのノルム定理は、 L/K が数体の巡回拡大である場合、K の非ゼロ元が至る所で局所ノルムであるならば、それは大域ノルムである、と述べています。ここで、大域ノルムであるとは、を満たす L の元lが存在するような K の元kであることを意味します。言い換えると、kは拡大体 L のある元の相対ノルムです。局所ノルムであるとは、K の何らかの素数pとK 上にある L の何らかの素数Pに対して、 kが L Pからのノルムであることを意味します。ここで、「素数」pはアルキメデスの値である可能性があり、定理はアルキメデス的および非アルキメデス的のすべての値における完備化についての声明です。
拡大がアーベル的だが巡回的でない場合、この定理は一般には成り立たなくなる。ハッセは、拡大に対して3はどこでも局所ノルムとなるが、大域ノルムではないという反例を示した。セールとテイトは、任意の有理平方がどこでも局所ノルムとなるが大域ノルムではない体によって別の反例が与えられることを示した。
これは、ローカル-グローバル原理を述べた定理の例です。
完全な定理はハッセ（1931）による 。拡大の次数nが2の場合の特別なケースはヒルベルト（1897）によって証明され、nが素数の場合の特別なケースはフルトヴェングラー（1902）によって証明された。[要出典]
ハッセノルム定理は、ガロアコホモロジー群 H 2 ( L / K ) の元が局所的に至る所で自明であるならば自明であるという定理から導かれる。これは、イデレ類群の最初のコホモロジーが消滅するという深い定理と同値である。これは、巡回型だけでなく、数体の有限ガロア拡大のすべてに当てはまる。巡回拡大の場合、群 H 2 ( L / K )は、どの元がノルムであるかを記述するテイトコホモロジー群H 0 ( L / K ) と同型であるため、巡回拡大の場合、元が局所的に至る所でノルムであるならばノルムであるというハッセの定理となる。
参照
- グルンワルド・ワンの定理、局所的にはどこでもべき乗である要素が、いつべき乗であるかに関する定理。
参考文献
- Hasse, H. (1931)、「Beweis eines Satzes und Wiederlegung einer Vermutung über das allgemeine Normenrestsymbol」、Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、数学物理学クラス: 64–69
- H. Hasse、「類体理論の歴史」、JWS CasselsおよびA. Frohlich (編)、『代数的数論』、Academic Press、1973 年、第 11 章。
- G. Janusz,代数的数体, Academic Press, 1973. 定理 V.4.5, p. 156
- David Hilbert (1897)、「Die Theorie der algebraischen Zahlkörper」、Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (ドイツ語)、4 : 175–546、ISSN 0012-0456
