モジュラー曲線

数論と代数幾何学において、モジュラー曲線Y (Γ) は、整 2×2 行列のモジュラー群SL (2,  Z ) の合同部分群Γの作用によって複素上半平面Hの商として構成されるリーマン面、または対応する代数曲線である。モジュラー曲線という用語は、コンパクト化されたモジュラー曲線X (Γ)を指すためにも使用される。これは、拡張された複素上半平面への作用を介して有限個の点 ( Γ の尖点と呼ばれる) を追加することによって得られるコンパクト化である。モジュラー曲線の点は、群 Γ に依存するいくつかの追加構造とともに、楕円曲線の同型類を媒介変数化する。この解釈により、複素数を参照することなく、モジュラー曲線を純粋に代数的に定義することができ、さらに、モジュラー曲線が有理数体Q上または円分体Q (ζ n )上で定義されることを証明することができる。後者の事実とその一般化は、数論において根本的に重要である。

分析的定義

モジュラー群 SL(2,  Z ) は、上半平面に分数線型変換によって作用する。モジュラー曲線の解析的定義には、SL(2,  Z ) の合同部分群 Γ の選択が含まれる。これは、ある正の整数Nに対してレベルNの主合同部分群を含む部分群であり、次のように定義される。

Γ（北）＝{（1つのbcd）: 1つの≡d≡1モッド北 そして b、c≡0モッド北}。{\displaystyle \Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N{\text{ および }}b,c\equiv 0\mod N\right\}.}

そのようなNの最小値はΓ の準位と呼ばれる。商 Γ\ Hに複素構造を当てはめると、モジュラー曲線と呼ばれる非コンパクトリーマン面が得られ、一般にY (Γ) と表記される。

コンパクト化されたモジュラー曲線

Y (Γ)の共通のコンパクト化は、Γのカスプと呼ばれる有限個の点を追加することで得られる。具体的には、これは拡張複素上半平面H * =  H ∪ Q ∪ {∞ } 上の Γ の作用を考えることで行われる。H *上の位相を、以下の基底として導入する。

  • Hの任意の開集合、
  • すべてのr > 0に対して、集合{∞}∪{τ∈H∣私は（τ）>r}{\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}}
  • 互いに素な整数a、cとすべてのr > 0に対して、作用素な作用素の像は{∞}∪{τ∈H∣私は（τ）>r}{\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}}
（1つの−メートルcn）{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}}
ここで、 m、nはan + cm = 1となる整数です。

これにより、H *はリーマン球面P 1 ( C )の部分集合となる位相空間となる。群Γは部分集合Q ∪ {∞ }に作用し、それをΓのカスプと呼ばれる有限個の軌道に分割する。ΓがQ ∪ {∞ }に推移的に作用する場合、空間Γ\ H *はΓ\ Hのアレクサンドロフ・コンパクト化となる。ここでも、商Γ\ H *に複素構造を付加することで、X (Γ)と表記されるリーマン面に変換することができ、これはコンパクトとなる。この空間はY (Γ)のコンパクト化である。 [ 1 ]

例

最も一般的な例は、サブグループΓ ( N )、Γ0 ( N )、およびΓ1 ( N )に関連付けられた曲線X ( N )、X0 ( N )、およびX1 ( N )です。

モジュラー曲線X (5)は種数0である。これは、正二十面体の頂点に位置する12個の尖点を持つリーマン球面である。被覆X (5) → X (1)は、リーマン球面への二十面体群の作用によって実現される。この群は、 A 5およびPSL(2, 5)と同型な位数60の単純群である。

モジュラー曲線X (7) は、 24個の尖点を持つ種数3のクライン四次曲線である。これは、24個の七角形が敷き詰められた3つのハンドルを持つ曲面と解釈でき、各面の中心に尖点がある。これらの敷き詰めは、子供の描画とベールイ関数によって理解できる。尖点は∞上の点（赤い点）であり、辺の頂点と中心（黒と白の点）は0と1上の点である。被覆X (7) →  X (1) のガロア群は、 PSL(2, 7)と同型な位数168の単純群である。

X 0 ( N ) には、古典的なモジュラー曲線という明示的なモデルが存在する。これはモジュラー曲線と呼ばれることもある。Γ ( N )の定義は次のように言い換えることができる。Γ( N ) は、 Nを法とする縮約 の核となるモジュラー群の部分群である。したがって、Γ 0 ( N ) は、 Nを法とする上三角行列のより大きな部分群である。

{（1つのbcd）: c≡0モッド北}、{\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\},}

Γ 1 ( N ) は次のように定義される中間群である。

{（1つのbcd）: 1つの≡d≡1モッド北、c≡0モッド北}。{\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N,c\equiv 0\mod N\right\}.}

これらの曲線は、レベル構造を持つ楕円曲線のモジュライ空間として直接解釈できるため、数論幾何学において重要な役割を果たします。レベルNモジュラー曲線X ( N )は、 N捩れの基底を持つ楕円曲線のモジュライ空間です。X 0 (N)とX 1 (N)の場合、レベル構造はそれぞれ位数Nの巡回部分群と位数Nの点です。これらの曲線は詳細に研究されており、特にX 0 ( N )はQ上で定義できることが知られています。

モジュラー曲線を定義する方程式は、モジュラー方程式の最もよく知られた例です。「最良のモデル」は、楕円関数論から直接得られるものとは大きく異なる場合があります。ヘッケ作用素は、モジュラー曲線のペアを結びつける対応関係として、幾何学的に研究することができます。

Hの商がコンパクトであることは、モジュラー群の部分群以外のフックス群Γにも当てはまります。四元数代数から構成されるフックス群のクラスも数論において興味深いものです。

属

X ( N ) → X (1)の被覆はガロア群 SL(2, N )/{1, −1} を持ち、これは Nが素数ならば PSL(2, N )に等しい。リーマン・フルヴィッツの公式とガウス・ボネの定理を適用すれば、 X ( N )の種数を計算できる。素数レベルp ≥ 5 の場合、

−πχ（X（p））＝|G|⋅D、{\displaystyle -\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D,}

ここで、χ = 2 − 2 gはオイラー特性、| G | = ( p +1) p ( p −1)/2 は群PSL(2, p )の位数、D = π − π/2 − π/3 − π/ pは球面三角形(2,3, p )の角度偏差である。この式から、次の式が得られる。

グラム＝124（p+2）（p−3）（p−5）。{\displaystyle g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5)。}

したがって、X (5) の種数は 0、X (7) の種数は 3、X (11) の種数は 26 です。p = 2 または 3 の場合、さらに分岐、つまり PSL(2, Z ) の位数 p の元が存在することと、PSL ( 2, 2) の位数が 3 ではなく 6 であるという事実を考慮する必要があります。Nの約数を含む任意のレベルNのモジュラー曲線X ( N )の種数には、より複雑な式があります。

属0

一般に、モジュラー関数体とは、モジュラー曲線（あるいは、場合によっては、既約多様体となる他のモジュライ空間）の関数体である。 種数ゼロとは、そのような関数体が生成元として単一の超越関数を持つことを意味する。例えば、j関数はX (1) = PSL(2, Z )\ H *の関数体を生成する。このような生成元は、メビウス変換を除いて一意であり、適切に正規化できるため、伝統的な名前はハウプトモジュラー（主モジュラー関数、複数形はHauptmoduln）である。

空間X 1 ( n ) は、 n  = 1, ..., 10、およびn = 12に対して種数 0 である。これらの曲線はそれぞれQ上に定義され、Q有理点を持つので、各曲線上には無限個の有理点が存在することになり、したがって、これらのnの値に対して、 Q上に定義されたn捩れ角を持つ楕円曲線が無限個存在することになる。逆に、これらのnの値しか出現できないという主張は、マズールの捩れ角定理である。

種数1のX 0 ( N )

モジュラー曲線が種数 1 である場合、かつその場合のみ、 は、次の表に挙げた 12 個の値のいずれかに等しい。[ 2 ]上の楕円曲線であるため、これらには極小の積分ワイエルシュトラスモデル が存在する。これは であり、判別式の絶対値は、同じ曲線のすべての積分ワイエルシュトラスモデルの中で最小となる。次の表には、唯一の縮小された極小の積分ワイエルシュトラスモデルが含まれており、これはおよび を意味する。[ 3 ]この表の最後の列は、L 関数とモジュラー形式のデータベース (LMFDB)にあるそれぞれの楕円モジュラー曲線のホームページを参照している。 X0（北）{\displaystyle \textstyle X_{0}(N)}北{\displaystyle \textstyle N}質問{\displaystyle \mathbb {Q} }y2+1つの1×y+1つの3y＝×3+1つの2×2+1つの4×+1つの6{\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}1つのj∈Z{\displaystyle \textstyle a_{j}\in \mathbb {Z} }Δ{\displaystyle \Delta }1つの1、1つの3∈{0、1}{\displaystyle \textstyle a_{1},a_{3}\in \{0,1\}}1つの2∈{−1、0、1}{\displaystyle \textstyle a_{2}\in \{-1,0,1\}}X0（北）{\displaystyle \textstyle X_{0}(N)}

X0（北）{\displaystyle X_{0}(N)}属1の
y2+1つの1×y+1つの3y＝×3+1つの2×2+1つの4×+1つの6{\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}
北{\displaystyle N}[1つの1、1つの2、1つの3、1つの4、1つの6]{\displaystyle [a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{6}]}Δ{\displaystyle \Delta }LMFDB
11[0, -1, 1, -10, -20]−115{\displaystyle \textstyle -11^{5}}リンク
14[1, 0, 1, 4, -6]−26⋅73{\displaystyle \textstyle -2^{6}\cdot 7^{3}}リンク
15[1, 1, 1, -10, -10]34⋅54{\displaystyle \textstyle 3^{4}\cdot 5^{4}}リンク
17[1, -1, 1, -1, -14]−174{\displaystyle \textstyle -17^{4}}リンク
19[0, 1, 1, -9, -15]−193{\displaystyle \textstyle -19^{3}}リンク
20[0, 1, 0, 4, 4]−28⋅52{\displaystyle \textstyle -2^{8}\cdot 5^{2}}リンク
21[1, 0, 0, -4, -1]34⋅72{\displaystyle \textstyle 3^{4}\cdot 7^{2}}リンク
24[0, -1, 0, -4, 4]28⋅32{\displaystyle \textstyle 2^{8}\cdot 3^{2}}リンク
27[0, 0, 1, 0, -7]−39{\displaystyle \textstyle -3^{9}}リンク
32[0, 0, 0, 4, 0]−212{\displaystyle \textstyle -2^{12}}リンク
36[0, 0, 0, 0, 1]−24⋅33{\displaystyle \textstyle -2^{4}\cdot 3^{3}}リンク
49[1, -1, 0, -2, -1]−73{\displaystyle \textstyle -7^{3}}リンク

モンスターグループとの関係

種数0のモジュラー曲線は非常に稀ですが、モンスタームーンシャイン予想との関連で非常に重要であることが判明しました。それらの主加法のq展開の最初のいくつかの係数は19世紀に既に計算されていましたが、同じ大きな整数が最大の散在単純群モンスターの表現の次元として現れることは衝撃的でした。

もう 1 つのつながりは、SL(2, R )におけるΓ 0 ( p )の正規化元Γ 0 ( p ) +に対応するモジュラー曲線の種数が 0 となるのは、 pが 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、41、47、59、または 71 の場合のみであり、これらは密造酒理論における超特異素数、つまりモンスター群の位数の素因数に正確であるということです。 Γ 0 ( p ) +に関する結果は、1970 年代のJean-Pierre Serre、Andrew Ogg、John G. Thompsonによるものであり、これをモンスター群に関連付けるその後の観察は、この事実を説明できる人にジャック ダニエルウイスキーのボトルを提供するという論文を書いた Ogg によるもので、これがモンスター密造酒理論の出発点となりました。[ 4 ]

この関係は非常に深く、リチャード・ボーチャーズによって示されたように、一般化されたカッツ・ムーディ代数も包含する。この分野の研究は、カスプを含むあらゆる場所で正則なモジュラー形式とは対照的に、有理型でカスプに極を持つことができるモジュラー関数の重要性を強調し、20世紀の大部分において主要な研究対象となってきた。

参照

参考文献

  1. ^セール、ジャン・ピエール (1977)、Cours d'arithmétique、Le Mathématicien、vol. 2 (第 2 版)、フランス大学出版局
  2. ^バーチ、ブライアン、クイク、ウィレム編 (1975). 1変数のモジュラー関数IV . 数学講義ノート. 第476巻. ベルリン、ハイデルベルク: シュプリンガー出版社. p. 79. ISBN 3-540-07392-2。
  3. ^リゴザット、ジェラルド (1975)。「Courbes modulaires de ジャンル 1」(PDF)。フランス数学協会紀要。43 : 44 – 45 。2022-11-06に取得。
  4. ^オッグ（1974）
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