ダービン・ウー・ハウスマン検定

ダービン・ウー・ハウスマン検定（ハウスマン検定とも呼ばれる）は、計量経済学における統計的仮説検定で、ジェームズ・ダービン、デ・ミン・ウー、ジェリー・A・ハウスマンにちなんで名付けられました。^{[1] [2] [3] [4]}この検定は、既に一貫性があることがわかっている代替の効率の悪い推定量と比較した場合の推定量の一貫性を評価します。 ^[5]これは、統計モデルがデータに対応しているかどうかを評価するのに役立ちます。

詳細

線形モデルy  =  Xb  +  eを考えてみましょう。ここで、yは従属変数、Xは回帰変数のベクトル、bは係数のベクトル、eは誤差項です。 bには2つの推定値、すなわちb ₀とb ₁があります。帰無仮説では、これらの推定値は両方とも一致しますが、少なくともb _{0を含む推定値のクラスにおいては、} b _1が効率的です（漸近分散が最小です） 。対立仮説では、b ₀は一致しますが、b ₁は一致しません。

ウー・ハウスマン統計は次のようになる: ^[6]

${\displaystyle H=(b_{1}-b_{0})'{\big (}\operatorname {Var} (b_{0})-\operatorname {Var} (b_{1}){\big )}^{\dagger }(b_{1}-b_{0}),}$

ここで、^{† は}ムーア・ペンローズ擬似逆行列を表す。帰無仮説の下では、この統計量は漸近的にカイ二乗分布に従う。その自由度は行列Var( b ₀ ) − Var( b ₁ )の階数に等しい。

帰無仮説を棄却する場合、b ₁は矛盾していることを意味します。この検定は、変数の内生性を確認するために使用できます（操作変数（IV）推定値と最小二乗法（OLS）推定値を比較することにより）。また、操作変数Zの完全なセットを用いた操作変数推定値と、 Zの適切なサブセットを用いた操作変数推定値を比較することにより、追加の操作変数の妥当性を確認するためにも使用できます。後者の場合に検定が機能するためには、Zのサブセットの妥当性が確実であること、およびサブセットに方程式のパラメータを識別するのに十分な数の操作変数が含まれている必要があることに注意してください。

ハウスマンは、効率的な推定値と、効率的な推定値と非効率的な推定値の差との間の共分散がゼロであることも示しました。

導出

推定値の結合正規性を仮定する。^{[3] [6]}

${\displaystyle {\sqrt {N}}{\begin{bmatrix}b_{1}-b\\b_{0}-b\end{bmatrix}}{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}\left({\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}\operatorname {Var} (b_{1})&\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})\\\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})&\operatorname {Var} (b_{0})\end{bmatrix}}\right)}$

次の関数を考えてみましょう:${\displaystyle q=b_{0}-b_{1}\Rightarrow \operatorname {plim} q=0}$

デルタ法による

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt {N}}(q-0){\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}\left(0,{\begin{bmatrix}1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Var} (b_{1})&\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})\\\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})&\operatorname {Var} (b_{0})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&\operatorname {Var} (q)=\operatorname {Var} (b_{1})+\operatorname {Var} (b_{0})-2\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})\end{aligned}}}$

ハウスマンの結果を用いると、効率的な推定値と非効率的な推定値の差の共分散はゼロとなり、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})&=\operatorname {Cov} (b_{1},b_{1}+q)\\&=\operatorname {Cov} (b_{1},b_{1})+\operatorname {Cov} (b_{1},q)\\&=\operatorname {Var} (b_{1})+0\\\operatorname {Var} (q)&=\operatorname {Var} (b_{0})+\operatorname {Var} (b_{1})-2\operatorname {Var} (b_{1})\\&=\operatorname {Var} (b_{0})-\operatorname {Var} (b_{1})\end{aligned}}}$

カイ二乗検定はワルド基準に基づいている

${\displaystyle H=\chi ^{2}[K-1]=(b_{1}-b_{0})'{\big (}\operatorname {Var} (b_{0})-\operatorname {Var} (b_{1}){\big )}^{\dagger }(b_{1}-b_{0}),}$

ここで^、†はムーア・ペンローズ擬似逆行列を表し、K はベクトルbの次元を表します。

パネルデータ

ハウスマン検定は、パネル分析において固定効果モデルとランダム効果モデルを区別するために使用できます。この場合、帰無仮説ではランダム効果（RE）の方が効率性が高いため優先されますが、対立仮説では固定効果（FE）の方が少なくとも同等の一貫性があるため優先されます。

	H 0は真である	H 1は真である
b 1（RE推定値）	一貫した 効率性	一貫性がない
b 0（FE推定値）	一貫して 非効率	一貫性のある

参照

• 回帰モデルの検証
• 統計モデルの仕様

参考文献

1. ダービン、ジェームズ (1954). 「変数の誤差」.国際統計研究所レビュー. 22 (1/3): 23– 32. doi :10.2307/1401917. JSTOR  1401917.
2. Wu, De-Min (1973年7月). 「確率的回帰変数と擾乱変数の独立性に関する代替検定」. Econometrica . 41 (4): 733– 750. doi :10.2307/1914093. ISSN  0012-9682. JSTOR  1914093.
3. Hausman, JA (1978年11月). 「計量経済学における仕様記述テスト」. Econometrica . 46 (6): 1251–1271 . doi :10.2307/1913827. hdl : 1721.1/64309 . ISSN  0012-9682. JSTOR  1913827.
4. 中村アリス、中村正夫 (1981). 「ダービン、ウー、ハウスマンが提示したいくつかの仕様誤差検定法間の関係について」.エコノメトリカ. 49 (6): 1583– 1588. doi :10.2307/1911420. JSTOR  1911420.
5. ウィリアム・グリーン（2012年）『計量経済分析』（第7版）ピアソン社、234～237頁。ISBN 978-0-273-75356-8。
6. Greene, William H. (2012).計量経済分析（第7版）. ピアソン. pp. 379–380, 420. ISBN 978-0-273-75356-8。

さらに読む

• バルタギ、バディ H. (1999)。計量経済学(第 2 版)。ベルリン：シュプリンガー。ページ 290–294。ISBN​​ 3-540-63617-X。
• ビーレンス、ハーマン・J. (1994). 『先端計量経済学の話題』 ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局. pp.  89– 109. ISBN 0-521-41900-X。
• デイビッドソン、ラッセル、マッキノン、ジェームズ・G. (1993). 計量経済学における推定と推論. ニューヨーク: オックスフォード大学出版局. pp.  237– 242, 389– 395. ISBN 0-19-506011-3。
• ジャン＝ピエール・フローレンス、ヴェラユドム・マリムトゥ、アン・ペギン＝フェイソル（2007年）『計量モデリングと推論』ケンブリッジ大学出版局、  78～ 82頁。ISBN 978-0-521-70006-1。
• ルード、ポール・A. (2000). 『古典計量経済理論入門』 ニューヨーク: オックスフォード大学出版局. pp. 578–585. ISBN 0-19-511164-8。