熱核

熱伝導と拡散の数学的研究において、熱核は適切な境界条件を持つ特定の領域における熱方程式の基本解である。また、ラプラス作用素のスペクトル研究における主要なツールの一つであり、数理物理学全体を通して補助的な重要性を持つ。熱核は、境界が特定の温度（通常はゼロ）に固定された領域における温度変化を表す。つまり、初期単位の熱エネルギーは、時刻t = 0のある点に配置される。

意味

1次元熱方程式の基本解。赤： の時間経過。青：選択された2点における の時間経過。インタラクティブバージョン。${\displaystyle \Phi (x,t)}$ ${\displaystyle \Phi (x_{0},t)}$

最もよく知られている熱核は、d次元ユークリッド空間R ^dの熱核であり、これは時間とともに変化するガウス関数の形をしており、 すべてのおよび に対して定義される。^{[ 1 ]}これは 、未知の関数Kに対する熱方程式を解くものである 。ここでδはディラックのデルタ分布であり、極限は分布の意味で、つまり空間Cのすべての関数ϕに対して取られる。$${\displaystyle K(t,x,y)={\frac {1}{\left(4\pi t\right)^{d/2}}}\exp \left(-{\frac {\left\|xy\right\|^{2}}{4t}}\right),}$$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle t>0}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)\\&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta (xy)=\delta _{x}(y)\end{aligned}}\right.}$$ ^∞ _c（R ^d）のコンパクトな台を持つ滑らかな関数については、^{[ 2 ]}$$\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{\mathbb {R} ^{d}}K(t,x,y)\phi (y)\,dy=\phi (x).$$

R ^dのより一般的な領域Ωでは、そのような明示的な式は一般には不可能である。次に単純な円板や正方形の場合、それぞれベッセル関数とヤコビ・シータ関数が用いられる。しかしながら、熱核は依然として存在し、任意の領域、さらには境界が十分に正則であれば境界 を持つ任意のリーマン多様体上でもt > 0に対して滑らかである。より正確には、これらのより一般的な領域では、熱核は初期境界値問題の解である。 $${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)&{\text{すべての }}t>0{\text{および }}x,y\in \Omega について \\[6pt]\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta _{x}(y)&{\text{すべての }}x,y\in \Omega について \\[6pt]K(t,x,y)=0&x\in \partial \Omega {\text{または }}y\in \partial \Omega について \end{cases}}}$$

スペクトル理論

任意の領域上の熱核の形式的な表現を導くために、連結領域（または境界を持つ多様体）Uにおけるディリクレ問題を考えてみましょう。λ _{n を}ラプラシアン^{[ 3 ]}のディリクレ問題の固有値とします 。ϕ _{n を、} L ² ( U )で正規直交するように正規化された、関連する固有関数とします。 逆ディリクレ ラプラシアンΔ ⁻¹は、コンパクトで自己随伴な演算子であるため、スペクトル定理より、 Δの固有値は次式を満たします 。 熱核は次の式を持ちます。 級数を総和の符号の下で正式に微分すると、これが熱方程式を満たすはずであることが示されます。 しかし、級数の収束と正則性は非常に微妙です。 $${\displaystyle {\begin{cases}\Delta \phi +\lambda \phi =0&{\text{in }}U,\\\phi =0&{\text{on }}\ \partial U.\end{cases}}}$$ $${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \lambda _{3}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}\to \infty .}$$ $${\displaystyle K(t,x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\lambda _{n}t}\phi _{n}(x)\phi _{n}(y)。}$$

熱核は、コンパクトに支えられた滑らかなϕに対して 定義される関連する積分変換と同一視されることもある。 スペクトル写像定理は、Tの半群の形での表現を与える^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle T\phi =\int _{\Omega }K(t,x,y)\phi (y)\,dy.}$$

$${\displaystyle T=e^{t\Delta }.}$$

多様体上の熱核については、短時間漸近解析、長時間漸近解析、ガウス型の上限/下限など、いくつかの幾何学的結果があります。

参照

• 熱核シグネチャ
• ミナクシスンダラム – プレイジェルのゼータ関数
• メーラー核
• ワイエルシュトラス変換 § 一般化

注記

1. エヴァンス 1998、48ページ。
2. ピンチョーバー＆ルービンスタイン 2005年、223ページ。
3. Dodziuk 1981、690ページ。
4. エヴァンス 1998、418–419ページ。
5. エンゲル & ネーゲル 2006、p. 176.

参考文献

• ベルリネ、ニコール。ゲッツラー、E. Vergne、Michele (2004)、Heat Kernels および Dirac Operators、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag
• シャベル、アイザック（1984）、リーマン幾何学における固有値、純粋および応用数学、第115巻、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミックプレス、ISBN 978-0-12-170640-1、MR  0768584
• ドジウク、ヨゼフ（1981）「ラプラシアンの固有値と熱方程式」アメリカ数学月刊誌、88（9）：686-695、doi：10.2307/2320674
• エンゲル、クラウス・ヨッヘン、ナーゲル、ライナー（2006年）、演算子半群の短期講座（PDF）、ニューヨーク：シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア、ISBN 978-0-387-31341-2
• エヴァンス、ローレンス C. (1998) 『偏微分方程式』、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-0772-9
• ギルキー、ピーター・B.（1994）「不変理論、熱方程式、アティヤ・シンガー定理」、ISBN 978-0-8493-7874-4
• グリゴリアン、アレクサンダー（2009）、熱核と多様体上の解析、AMS/IP Studies in Advanced Mathematics、第47巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4935-4、MR  2569498
• ピンチョーバー、イェフダ、ルービンシュタイン、ジェイコブ（2005-05-12）、偏微分方程式入門、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/cbo9780511801228、ISBN 978-0-511-80122-8