十七面体

十七面体（ヘプタデカヘドロン、 heptakaidecahedron）は、17の面を持つ多面体である。十七面体はどれも正多角形ではないため、名称は曖昧である。一部の化学構造に見られるような球形に近い十七面体​​もあるが^{[1] [2]}、その面は正多角形で構成されていない。また、五角形のロタンダや拡大されたスフェノコロナなど、正多角形で構成される十七面体も存在するが、その対称性は低い。さらに、十六角錐や十五角柱など、十七面体の位相的に異なる形状は数多く存在する。

産業分野において、16面体には様々な用途があります。例えば、特別に設計された16面体を用いることで、空間の削減や積み重ねの容易化を図ることができます。^{[3] [4]}

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  ラーベスグラフのボロノイ図の空間を埋め尽くす 17 面体。
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  五角形の円形建築、6番目のジョンソン立体 ${\displaystyle J_{6}}$
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  三角柱、57番目のジョンソン立体${\displaystyle J_{57}}$
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  拡大蝶冠、第87ジョンソン固体${\displaystyle J_{87}}$

凸十七面体

少なくとも11個の頂点を持つ、位相的に異なる凸十七面体は、鏡像を除いて6,415,851,530,241個存在します。 ^[5]（2つの多面体は、面と頂点の配置が本質的に異なり、単に辺の長さや辺または面間の角度を変えるだけでは、一方を他方に歪ませることができない場合、「位相的に異なる」多面体です。）

無限ラーベスグラフは凸状の17面体ボロノイセルを持つ。グラフの対称性により、これらの17面体はプレシオヘドラであり、 3次元空間の等面体モザイクを形成する。 ^[6]

17面を持つ他の凸多面体には、ジョンソン立体の 五角形ロタンダ、三角柱六角柱、拡大蝶冠がある。^[7]

非凸十七面体

星形のプリズム、円錐、切頂プリズムなど、凸型でない十七面体​​も数多く存在します。

一般的な十七面体

十五角柱

十五角柱

十五角柱は、底面が十五角形である柱です。17の面、45の辺、30の頂点で構成されます。正十五角柱は、すべての面が正多角形である柱です。各頂点は2つの正方形と1つの十五角形の共通頂点であり、その頂点配置はであり、したがって等角形であるという性質を持ち、半正十七面体に分類できます。 ${\displaystyle 4{.}4{.}15}$

シュレーフリ記法では{15}×{}またはt {2,15}と表記され、そのコクセター・ディンキン図は次のように表される。;ウィトフ記号は2 15 | 2 であり、コンウェイ多面体表記ではP15 で表される。

15角柱の底辺の長さが で高さが の場合、その体積と表面積は次のように表されます。^[8]${\displaystyle s}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle V={\frac {15hs^{2}\cot {\frac {\pi }{15}}}{4}}\approx 17.6424hs^{2}}$

${\displaystyle S=15s\left(h+{\frac {s\cot {\frac {\pi }{15}}}{2}}\right)\approx 15s\left(h+2.35232s\right)}$

十六角錐

十六角錐

正十六角錐は、底面が正十六角形であるピラミッドである。17の面、32の辺、17の頂点から構成される。その双対多面体はピラミッド自身である。^[9]正十六角錐は、底面が正十六角形であるピラミッドである。シュレーフリ記法では、{}∨{16}と表記される。

16角錐の底辺の長さが で高さが の場合、その体積と表面積は次のように表されます。^[9]${\displaystyle s}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle V={\frac {4hs^{2}\cot {\frac {\pi }{16}}}{3}}\approx 6.70312hs^{2}}$

${\displaystyle S=4s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{16}}}}+s\cot {\frac {\pi }{16}}\right)\approx 4s\left({\sqrt {4h^{2}+25.2741s^{2}}}+5.02734s\right)}$

細長い八角錐

細長い八角錐

細長い八角錐は、八角錐に八角柱を接合することで形成されます。17の面、32の辺、17の頂点で構成されます。

五角形の円形建築

五角形の円形建築

五角形ロタンダは、五角形を底面とするロタンダです。15の面、35の辺、20の頂点で構成されます。17の面は、五角形の頂点1つ、十角形の底面1つ、五角形の辺5つ、三角形の辺10つで構成されます。

正五角形ロタンダとは、底面が正五角形である多面体である。上面と側面の両方に正五角形があり、すべての面が正多角形である。したがって、これはジョンソン立体であり、ジョンソン群に属する唯一のロタンダである。^[10]

五角形の円形建築の対称群はC _5vであり、その次数は 10 です。

三角形のキューポラロタンダ

三角形のキューポラ・ロタンダは、三角形のキューポラと三角形のロタンダを結合したもので、底面の辺の数が多い。17面、30辺、15頂点で構成される。17面は、三角形の底面2つ、三角形の辺9つ、長方形の辺3つ、五角形の辺3つで構成される。

三角形のキューポラロタンダは、キューポラとロタンダの結合方法に応じて、直交型またはジャイロ型のいずれかになります。

三角形の正三角形

三角形のジャイロキュポラロトゥンダ

一般的な十七面体の一覧

名前	画像	シンボル	V	E	F	χ	顔	対称	拡大表示
十五角柱		t{2,15} {15}x{}	30	45	17	2	2つの15角形 、15の長方形	D 15h、[15,2]、(*15 2 2)、順序60
十六角錐		（ ）∨{16}	17	32	17	2	16角形 16個の三角形	C 16v、[16]、(*16 16)
細長い八角錐		P8+Y8	17	32	17	2	三角形8個、正方形 8個、八角形1個	C 8v、[8]、(*88)
切頂八角両錐体			17	32	17	2	八角形1個、台形 8個、三角形8個	C 8v、[8]、(*88)
五角錐台			30	45	17	2	2つの15角形 、15の台形	D 15h、[15,2]、(*15 2 2)、順序60
五角形の円形建築			20	35	17	2	五角形1つ、十角形 1つ、五角形の側面5つ、三角形の側面 10つ	C 5v、[5]、(*55)、10次
三角柱六角柱			30	15	17	2	三角形12個、正方形 3個、六角形2個	D 3時間
増大した蝶冠			26	11	17	2	16個の三角形と 1個の正方形	Cs​
三角形の正三角形			15	30	17	2	三角形の底辺が2つ、三角形の辺が 9つ、長方形の辺が3つ、五角形の辺が 3つ	C 3v
三角形のジャイロキュポラロトゥンダ

参考文献

1. V. Gold (1977).物理有機化学の進歩 APL . 第4巻. アカデミック・プレス. p. 227. ISBN 9780080581538。
2. オーストラリア連邦科学産業研究機構（オーストラリア）、英国物理学研究所。オーストラリア支部、オーストラリア国立研究会議、オーストラリア科学アカデミー（1999年）。オーストラリア化学ジャーナル第52巻。オーストラリア連邦科学産業研究機構。p. 343-822, 497。
3. ペドリタ、Água de Lusoと並んで。「ボトルの17の顔」。2016年8月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年8月20日閲覧。
4. "以節省空間與堆疊的17面身体瓶身設計".ポロブス。 2014 年 8 月 4 日にオリジナルからアーカイブされました。2016 年 8 月 20 日に取得。
5. 多面体を数える
6. Schoen, Alan H. (2008年6～7月)、「グラフ(10,3)-aについて」(PDF)、アメリカ数学会誌、55 (6):663。
7. バーマン、マーティン (1971)、「正面凸多面体」、フランクリン研究所ジャーナル、291 (5): 329– 352、doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8、MR  0290245。
8. 「12角柱」. Wolfram Alphaサイト.
9. 「16角錐」。Wolfram Alphaサイト。
10. ジョンソン、ノーマン W. (1966)、「正則面を持つ凸多面体」、カナダ数学ジャーナル、18 : 169– 200、doi :10.4153/cjm-1966-021-8、MR  0185507、Zbl  0132.14603。

• 多面体とは何か？ギリシャ語の数字接頭辞付き

外部リンク