七角形三角形

  正七角形

   より長い対角線

  短い対角線

14 個の合同な七角形三角形のそれぞれには、緑の辺、青の辺、赤の辺が 1 つずつあります。

ユークリッド幾何学において、七角形三角形は、正七角形の第1、第2、第4頂点（任意の始点から）と一致する鈍角不等辺三角形です。したがって、その辺は正七角形の1辺と、隣接する短対角線および長対角線と一致します。すべての七角形三角形は相似（同じ形状）であるため、総称して七角形三角形と呼ばれます。その角の大きさはとで、角度の比が1:2:4となる唯一の三角形です。七角形三角形には、様々な注目すべき特性があります。 ${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$ ${\displaystyle 4\pi /7,}$

要点

七角形三角形の9つの点の中心は、その最初のブロカール点でもある。^{[ 1 ]：提案12}

2番目のブロカール点は9点円上にあります。^{[ 2 ]：p.19}

七角形三角形の外心とフェルマー点は正三角形を形成する。^{[ 1 ]：Thm. 22}

外心Oと垂心Hの間の距離は^{[ 2 ]：p.19} で与えられる。

${\displaystyle OH=R{\sqrt {2}},}$

ここでRは外接半径である。内心Iから垂心までの二乗距離は^{[ 2 ] :p.19 である。}

${\displaystyle IH^{2}={\frac {R^{2}+4r^{2}}{2}},}$

ここで、rは内接円の半径です。

垂心から外接円への2本の接線は互いに垂直である。^{[ 2 ]：p.19}

距離の関係

サイド

七角形三角形の辺a < b < cは、それぞれ正七角形の辺、短対角線、長対角線と一致する。これらは^{[ 3 ]を満たす：補題1}

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=c(cb),\\[5pt]b^{2}&=a(c+a),\\[5pt]c^{2}&=b(a+b),\\[5pt]{\frac {1}{a}}&={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\end{aligned}}}$

（後者^{[ 2 ]：p.13} は光学方程式である）したがって

${\displaystyle ab+ac=bc,}$

そして^{[ 3 ] : コロ2}

${\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}$

${\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}$

${\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0.}$

したがって、b / c、c / a、a / bはすべて3次方程式を満たす。

${\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.}$

しかし、この方程式はcasus irreducibilisの例であるため、この方程式の解には純粋に実数の項を持つ代数式は存在しません。

辺のおおよその関係は

${\displaystyle b\approx 1.80193\cdot a,\qquad c\approx 2.24698\cdot a.}$

^{[ 4 ] [ 5 ]}もあります

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{bc}},\quad -{\frac {b^{2}}{ca}},\quad -{\frac {c^{2}}{ab}}}$

三次方程式を満たす

${\displaystyle t^{3}+4t^{2}+3t-1=0.}$

^{[ 4 ]}もあります

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{bc^{2}}},\quad -{\frac {b^{3}}{ca^{2}}},\quad {\frac {c^{3}}{ab^{2}}}$

三次方程式を満たす

${\displaystyle t^{3}-t^{2}-9t+1=0.}$

^{[ 4 ]}もあります

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{b^{2}c}},\quad {\frac {b^{3}}{c^{2}a}},\quad -{\frac {c^{3}}{a^{2}b}}}$

三次方程式を満たす

${\displaystyle t^{3}+5t^{2}-8t+1=0.}$

^{[ 2 ] : p. 14} もございます。

${\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}$

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}$

そして^{[ 2 ]：15ページ}

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.}$

^{[ 4 ]}もあります

${\displaystyle ab-bc+ca=0,}$

${\displaystyle a^{3}bb^{3}c+c^{3}a=0,}$

${\displaystyle a^{4}b+b^{4}cc^{4}a=0,}$

${\displaystyle a^{11}b^{3}-b^{11}c^{3}+c^{11}a^{3}=0.}$

高度

高度h _a、h _b、h _cは次式を満たす。

${\displaystyle h_{a}=h_{b}+h_{c}}$ ^{[ 2 ] : 13ページ}

そして

${\displaystyle h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}.}$ ^{[ 2 ] : 14ページ}

辺b（対角B ）からの高さは、 Aの内角二等分線の半分である：^{[ 2 ]：p.19} ${\displaystyle w_{A}}$

${\displaystyle 2h_{b}=w_{A}.}$

ここで、角度Aは最も小さい角度であり、角度Bは 2 番目に小さい角度です。

内角の二等分線

内角の二等分線 と角A、B、Cにはそれぞれ次のような性質がある：^{[ 2 ]：p.16} ${\displaystyle w_{A},w_{B},}$ ${\displaystyle w_{C}}$

${\displaystyle w_{A}=b+c,}$

${\displaystyle w_{B}=ca,}$

${\displaystyle w_{C}=ba.}$

外接半径、内接半径、外接半径

三角形の面積は^{[ 6 ]}

${\displaystyle A={\frac {\sqrt {7}}{4}}R^{2},}$

ここで、Rは三角形の外接半径です。

^[ 2 ^{] : p. 12}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=7R^{2}.}$

また、^{[ 7 ]}

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}=21R^{4}.}$

${\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}=70R^{6}.}$

内接円半径と外接円半径の比r / Rは、3次方程式の正の解である^{[ 6 ]。}

${\displaystyle 8x^{3}+28x^{2}+14x-7=0.}$

さらに、^{[ 2 ] : p. 15}

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {2}{R^{2}}}.}$

また、^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{a^{4}}}+{\frac {1}{b^{4}}}+{\frac {1}{c^{4}}}={\frac {2}{R^{4}}}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{a^{6}}}+{\frac {1}{b^{6}}}+{\frac {1}{c^{6}}}={\frac {17}{7R^{6}}}.}$

一般に、すべての整数nに対して、

${\displaystyle a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}=g(n)(2R)^{2n}}$

どこ

${\displaystyle g(-1)=8,\quad g(0)=3,\quad g(1)=7}$

そして

${\displaystyle g(n)=7g(n-1)-14g(n-2)+7g(n-3).}$

また、^{[ 7 ]}

${\displaystyle 2b^{2}-a^{2}={\sqrt {7}}bR,\quad 2c^{2}-b^{2}={\sqrt {7}}cR,\quad 2a^{2}-c^{2}=-{\sqrt {7}}aR.}$

^{[ 4 ]}もあります

${\displaystyle a^{3}c+b^{3}a-c^{3}b=-7R^{4},}$

${\displaystyle a^{4}c-b^{4}a+c^{4}b=7{\sqrt {7}}R^{5},}$

${\displaystyle a^{11}c^{3}+b^{11}a^{3}-c^{11}b^{3}=-7^{3}17R^{14}.}$

辺aに対応する外半径 r a_は、七角形三角形の9点円の半径に等しい。 ^{[ 2 ] : p. 15}

正三角形

七角形三角形の 垂線三角形は、頂点が高低の足元にあり、七角形三角形と相似であり、相似比は1:2である。七角形三角形は、垂線三角形と相似する唯一の鈍角三角形である（鋭角三角形は正三角形のみである）。^{[ 2 ] : pp. 12–13}

双曲線

直角双曲線には次の特性があります。 ${\displaystyle A,B,C,G=X(2),H=X(4)}$

• 最初の焦点${\displaystyle F_{1}=X(5)}$
• 中心はオイラー円（一般性質）上と円上にある${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (O,F_{1})}$
• 2番目の焦点は外接円です${\displaystyle F_{2}}$

三角関数の性質

三角関数の恒等式

七角形三角形に関連する様々な三角関数の恒等式には以下のものがある: ^{[ 2 ] : pp. 13–14 [ 6 ] [ 7 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {\pi }{7}}\\[6pt]\cos A&={\frac {b}{2a}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}B&={\frac {2\pi }{7}}\\[6pt]\cos B&={\frac {c}{2b}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}C&={\frac {4\pi }{7}}\\[6pt]\cos C&=-{\frac {a}{2c}}\end{aligned}}}$$ ^{[ 4 ] : 命題10}

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}\sin A\!&\!\times \!&\!\sin B\!&\!\times \!&\!\sin C\!&\!=\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{8}}\\[2pt]\sin A\!&\!-\!&\!\sin B\!&\!-\!&\!\sin C\!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt {7}}{2}}\\[2pt]\cos A\!&\!\times \!&\!\cos B\!&\!\times \!&\!\cos C\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{8}}\\[2pt]\tan A\!&\!\times \!&\!\tan B\!&\!\times \!&\!\tan C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan A\!&\!+\!&\!\tan B\!&\!+\!&\!\tan C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\cot A\!&\!+\!&\!\cot B\!&\!+\!&\!\cot C\!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\\[8pt]\sin ^{2}\!A\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {7}{64}}\\[2pt]\sin ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {7}{4}}\\[2pt]\cos ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\cos ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\cos ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {5}{4}}\\[2pt]\tan ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\tan ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\tan ^{2}\!C\!&\!=\!&\!21\\[2pt]\sec ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\sec ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\sec ^{2}\!C\!&\!=\!&\!24\\[2pt]\csc ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\csc ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\csc ^{2}\!C\!&\!=\!&\!8\\[2pt]\cot ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\cot ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\cot ^{2}\!C\!&\!=\!&\!5\\[8pt]\sin ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {21}{16}}\\[2pt]\cos ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {13}{16}}\\[2pt]\sec ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\sec ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\sec ^{4}\!C\!&\!=\!&\!416\\[2pt]\csc ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!C\!&\!=\!&\!32\\[8pt]\end{array}}}$$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccl}\tan A\!&\!-\!&\!4\sin B\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan B\!&\!-\!&\!4\sin C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan C\!&\!+\!&\!4\sin A\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\end{array}}}$$ ^{[ 7 ] [ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cot ^{2}\!A&=1-{\frac {2\tan C}{\sqrt {7}}}\\[2pt]\cot ^{2}\!B&=1-{\frac {2\tan A}{\sqrt {7}}}\\[2pt]\cot ^{2}\!C&=1-{\frac {2\tan B}{\sqrt {7}}}\end{aligned}}}$$ ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}\cos A\!&\!=\!&\!{\frac {-1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!C\\[2pt]\sec A\!&\!=\!&\!2\!&\!+\!&\!4\!&\!\times \!&\!\cos C\\[4pt]\sec A\!&\!=\!&\!6\!&\!-\!&\!8\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\\[4pt]\sec A\!&\!=\!&\!4\!&\!-\!&\!{\frac {16}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!B\\[2pt]\cot A\!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\\[2pt]\cot A\!&\!=\!&\!{\frac {3}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\sin ^{2}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\cos ^{2}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {3}{4}}\!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!A\\[2pt]\cot ^{2}\!A\!&\!=\!&\!3\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin A\\[2pt]\sin ^{3}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {-{\sqrt {7}}}{8}}\!&\!+\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{4}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\csc ^{3}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {-6}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\tan ^{2}\!C\end{array}}}$$ ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \sin A\sin B-\sin B\sin C+\sin C\sin A=0}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{3}\!B\sin C-\sin ^{3}\!C\sin A-\sin ^{3}\!A\sin B&=0\\[3pt]\sin B\sin ^{3}\!C-\sin C\sin ^{3}\!A-\sin A\sin ^{3}\!B&={\frac {7}{2^{4}\!}}\\[2pt]\sin ^{4}\!B\sin C-\sin ^{4}\!C\sin A+\sin ^{4}\!A\sin B&=0\\[2pt]\sin B\sin ^{4}\!C+\sin C\sin ^{4}\!A-\sin A\sin ^{4}\!B&={\frac {7{\sqrt {7}}}{2^{5}}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{11}\!B\sin ^{3}\!C-\sin ^{11}\!C\sin ^{3}\!A-\sin ^{11}\!A\sin ^{3}\!B&=0\\[2pt]\sin ^{3}\!B\sin ^{11}\!C-\sin ^{3}\!C\sin ^{11}\!A-\sin ^{3}\!A\sin ^{11}\!B&={\frac {7^{3}\cdot 17}{2^{14}}}\end{aligned}}}$$ ^{[ 9 ]}

3次多項式

三次方程式 には解がある^{[ 2 ] : p. 14} ${\displaystyle 64y^{3}-112y^{2}+56y-7=0}$ ${\displaystyle \sin ^{2}\!A,\ \sin ^{2}\!B,\ \sin ^{2}\!C.}$

三次方程式の正解は^{[ 10 ]}に等しい^{：p.186–187} ${\displaystyle x^{3}+x^{2}-2x-1=0}$ ${\displaystyle 2\cos B.}$

三次方程式の根は^{[ 4 ]}である。${\displaystyle x^{3}-{\tfrac {\sqrt {7}}{2}}x^{2}+{\tfrac {\sqrt {7}}{8}}=0}$ ${\displaystyle \sin 2A,\ \sin 2B,\ \sin 2C.}$

三次方程式の根は${\displaystyle x^{3}-{\tfrac {\sqrt {7}}{2}}x^{2}+{\tfrac {\sqrt {7}}{8}}=0}$ ${\displaystyle -\sin A,\ \sin B,\ \sin C.}$

三次方程式の根は${\displaystyle x^{3}+{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8}}=0}$ ${\displaystyle -\cos A,\ \cos B,\ \cos C.}$

三次方程式の根は${\displaystyle x^{3}+{\sqrt {7}}x^{2}-7x+{\sqrt {7}}=0}$ ${\displaystyle \tan A,\ \tan B,\ \tan C.}$

三次方程式の根は${\displaystyle x^{3}-21x^{2}+35x-7=0}$ ${\displaystyle \tan ^{2}\!A,\ \tan ^{2}\!B,\ \tan ^{2}\!C.}$

シーケンス

整数nに対して、 $${\displaystyle {\begin{aligned}S(n)&=(-\sin A)^{n}+\sin ^{n}\!B+\sin ^{n}\!C\\[4pt]C(n)&=(-\cos A)^{n}+\cos ^{n}\!B+\cos ^{n}\!C\\[4pt]T(n)&=\tan ^{n}\!A+\tan ^{n}\!B+\tan ^{n}\!C\end{aligned}}}$$

nの値 :	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
${\displaystyle S(n)}$	${\displaystyle \ 3\ }$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {7}}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7}{2^{2}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {7}}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7\cdot 3}{2^{4}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7{\sqrt {7}}}{2^{4}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7\cdot 5}{2^{5}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{2}{\sqrt {7}}}{2^{7}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 5}{2^{8}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7\cdot 25{\sqrt {7}}}{2^{9}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 9}{2^{9}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 13{\sqrt {7}}}{2^{11}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 33}{2^{11}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 3{\sqrt {7}}}{2^{9}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{4}\cdot 5}{2^{14}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{2}\cdot 179{\sqrt {7}}}{2^{15}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{3}\cdot 131}{2^{16}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{3}\cdot 3{\sqrt {7}}}{2^{12}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{3}\cdot 493}{2^{18}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{3}\cdot 181{\sqrt {7}}}{2^{18}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {7^{5}\cdot 19}{2^{19}}}}$
${\displaystyle S(-n)}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2^{3}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2^{3}\cdot 3{\sqrt {7}}}{7}}}$	${\displaystyle 2^{5}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2^{5}\cdot 5{\sqrt {7}}}{7}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2^{6}\cdot 17}{7}}}$	${\displaystyle -2^{7}{\sqrt {7}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2^{9}\cdot 11}{7}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2^{10}\cdot 33{\sqrt {7}}}{7^{2}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2^{10}\cdot 29}{7}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2^{14}\cdot 11{\sqrt {7}}}{7^{2}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2^{12}\cdot 269}{7^{2}}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2^{13}\cdot 117{\sqrt {7}}}{7^{2}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2^{14}\cdot 51}{7}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2^{21}\cdot 17{\sqrt {7}}}{7^{3}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2^{17}\cdot 237}{7^{2}}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2^{17}\cdot 1445{\sqrt {7}}}{7^{3}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2^{19}\cdot 2203}{7^{3}}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2^{19}\cdot 1919{\sqrt {7}}}{7^{3}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2^{20}\cdot 5851}{7^{3}}}}$
${\displaystyle C(n)}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {5}{4}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {13}{16}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {19}{32}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {57}{128}}}$	${\displaystyle {\tfrac {117}{256}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {193}{512}}}$	${\displaystyle {\tfrac {185}{512}}}$
${\displaystyle C(-n)}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -4}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle -88}$	${\displaystyle 416}$	${\displaystyle -1824}$	${\displaystyle 8256}$	${\displaystyle -36992}$	${\displaystyle 166400}$	${\displaystyle -747520}$	${\displaystyle 3359744}$
${\displaystyle T(n)}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -{\sqrt {7}}}$	${\displaystyle 7\cdot 3}$	${\displaystyle -31{\sqrt {7}}}$	${\displaystyle 7\cdot 53}$	${\displaystyle -7\cdot 87{\sqrt {7}}}$	${\displaystyle 7\cdot 1011}$	${\displaystyle -7^{2}\cdot 239{\sqrt {7}}}$	${\displaystyle 7^{2}\cdot 2771}$	${\displaystyle -7\cdot 32119{\sqrt {7}}}$	${\displaystyle 7^{2}\cdot 53189}$
${\displaystyle T(-n)}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle {\sqrt {7}}}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle {\tfrac {25{\sqrt {7}}}{7}}}$	${\displaystyle 19}$	${\displaystyle {\tfrac {103{\sqrt {7}}}{7}}}$	${\displaystyle {\tfrac {563}{7}}}$	${\displaystyle 7\cdot 9{\sqrt {7}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2421}{7}}}$	${\displaystyle {\tfrac {13297{\sqrt {7}}}{7^{2}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {10435}{7}}}$

ラマヌジャン恒等式

ラマヌジャン型の恒等式も存在する。^{[ 7 ] [ 11 ]}

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{18}]{49}}\times {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{2\cos 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\cos 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\cos 2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[8pt]{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{11+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{\tan 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{18}]{49}}\times {\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\end{array}}}$$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\times {\sqrt[{3}]{6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\times {\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[6pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{12+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\times {\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\end{array}}}$$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2A}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2B}{\cos 2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2C}{\cos 2A}}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{3}]{7}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2B}{\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2C}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2A}{\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2B}{\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2C}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2A}{\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt[{3}]{49}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2A}{\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2B}{\cos ^{2}2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2C}{\cos ^{2}2A}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2B}{\cos ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2C}{\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2A}{\cos ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!-3\times {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2A}{\cos ^{5}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2C}{\cos ^{5}2A}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2C}{\cos ^{5}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2A}{\cos ^{5}2C}}}\!&\!=\!&\!-61\times {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{8}}.\end{array}}}$$ ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle }$$

参考文献

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