エルブランド商

数学において、エルブラン商は巡回群のコホモロジー群の位数の商である。ジャック・エルブランによって発明され、類体論において重要な応用を持つ。

意味

GがG加群 Aに作用する有限巡回群である場合、コホモロジー群H ⁿ ( G , A ) はn ≥ 1に対して周期 2 を持ちます。言い換えると、

H ⁿ ( G , A ) = H ^{n +2} ( G , A )、

H ² ( G , Z )を生成元とするカップ積によって誘導される同型。（代わりにテイトコホモロジー群を用いると、周期性はn =0まで拡張される。）

エルブラン加群とは、コホモロジー群が有限であるようなAである。この場合、エルブラン商 h ( G , A ) は商として定義される。

h ( G , A ) = | H ² ( G , A )|/| H ¹ ( G , A )|

偶数コホモロジー群と奇数コホモロジー群の順序。

商は、アーベル群の自己準同型対fとgに対して定義され、条件fg = gf = 0を満たす。それらのエルブラン商q ( f , g )は次のように定義される。

q(f,g)={\frac {|\mathrm {ker} f:\mathrm {im} g|}{|\mathrm {ker} g:\mathrm {im} f|}}

2つの添え字が有限であれば、Gはアーベル群Aに作用する生成元γを持つ巡回群である。この場合、 f = 1 - γ、g = 1 + γ + γ ² + ...とすることで、前述の定義を復元できる。

0 → A → B → C → 0

が正確であり、商の2つが定義されている場合、3つ目も定義され、^[2]

h ( G , B ) = h ( G , A ) h ( G , C )

Aが有限であればh ( G , A ) =1となる。^[2]
Aは有限指数のG加群Bの部分加群であるため、どちらかの商が定義されていればもう一方も定義され、それらは等しい。^[1]より一般的には、有限核と有限余核を持つG射A → Bが存在する場合も同様である。^[2]
Zが整数でG が自明に作用する場合、h ( G , Z ) = | G |となります。
Aが有限生成G加群の場合、エルブラン商h ( A ) は複素G加群C ⊗ Aのみに依存します (したがって、 Gのこの複素表現の特性から読み取ることができます)。

これらの特性は、エルブラン商の計算が通常は比較的容易であり、個々のコホモロジー群のいずれかの順序を計算するよりもはるかに容易であることを意味します。

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