数学において、C*-代数の遺伝的C *-部分代数とは、より大きなC*-代数の構造と密接に関連した特別な種類のC*-部分代数である。A のC *-部分代数Bが遺伝的C*-部分代数であるとは、 0 ≤ a ≤ bを満たすすべてのa ∈ Aとb ∈ Bに対してa ∈ Bが成り立つことを意味する。[1]
プロパティ
- 近似有限次元C*-代数の遺伝的C*-部分代数もAFである。これは遺伝的ではない部分代数には当てはまらない。例えば、すべてのアーベルC*-代数はAF C*-代数に埋め込むことができる。
- AC*-部分代数は、いかなる適切な（両側）閉イデアルにも含まれないとき完全であるという。2つのC*-代数AとBは、 A ⊗ K ≅ B ⊗ K （ただし、Kは可分無限次元ヒルベルト空間上のコンパクト作用素のC*-代数）であるとき安定同型であるという。C*-代数は、その完全遺伝C*-部分代数と安定同型である。[2]したがって、2つのC*-代数は、それらが安定同型の完全遺伝C*-部分代数を含むとき安定同型である。
- また、遺伝的 C*-部分代数とは、任意の既約表現の制限も既約である C*-部分代数です。
閉じた左イデアルとの対応
閉左イデアルとAの遺伝的C*-部分代数の間には、全単射な対応関係がある。L ⊂ Aが閉左イデアルであるならば、L * は *-演算によるLの像を表すものとする。集合L * は右イデアルであり、L * ∩ LはC*-部分代数である。実際、L * ∩ Lは遺伝的であり、写像L ↦ L * ∩ Lは全単射である。この対応関係から、すべての閉イデアルは遺伝的C*-部分代数であることが分かる。また、単純C*-代数の遺伝的C*-部分代数もまた単純であるという系も成り立つ。
ポジティブな要素とのつながり
p がAの射影（またはAの乗数代数の射影）である場合、 pApはAの角として知られる遺伝的 C*-部分代数である。より一般的には、正のa ∈ Aが与えられたとき、集合aAaの閉包はa を含む最小の遺伝的 C*-部分代数であり、Her( a )と表記される。A が可分である場合、すべての遺伝的 C*-部分代数はこの形をとる。
これらの遺伝的C*-部分代数は、Cuntz部分同値性の概念にいくらかの洞察をもたらす可能性がある。特に、aとbがC*-代数Aの正元である場合、b∈Her ( a )である。したがって、Her( a ) = Her( b )であるならば、 a ~ bが成立する。
Aが単位元で、正元aが可逆な場合、 Her( a ) = Aです。これは、非単位元の場合について次の概念を示唆しています。a ∈ Aは、 Her( a ) = Aのとき、厳密に正であるとされます。たとえば、ヒルベルト空間Hに作用するコンパクト作用素のC*-代数K ( H ) において、コンパクト作用素が厳密に正となるのは、その値域がHにおいて稠密である場合のみです。可換 C*-代数が厳密に正となるのは、代数のスペクトルがσ-コンパクトである場合のみです。より一般的には、 C*-代数が厳密に正となるのは、代数が逐次近似恒等式を持つ場合のみです。
参考文献
- ^ ブラックアダー、ブルース (2006). 『作用素環：C*-代数とフォン・ノイマン代数の理論』 シュプリンガー. pp. 75– 79. ISBN 978-3-540-28517-5。
- ^ ブラウン、ローレンス・G. (1977). 「C*-代数の遺伝的部分代数の安定同型性」.パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクス. 71 (2): 335– 348. doi : 10.2140/pjm.1977.71.335 . Zbl 0362.46042.
