ヘロン平均

数学では、2つの非負実数AとBのヘロン平均 Hは、次の式で与えられる。 $${\displaystyle H={\frac {1}{3}}\left(A+{\sqrt {AB}}+B\right).}$$

アレクサンドリアのヘロンにちなんで名付けられました。^[1]

プロパティ

すべての平均と同様に、ヘロン平均は対称的（2 つの引数が与えられた順序に依存しない）かつべき等性（任意の数とその数自体の平均は同じ数である）です。

数Aと数Bのヘロン平均は、それらの算術平均と幾何平均の加重平均です。^[1] したがって、それはこれら2つの平均の間、そして2つの与えられた数の間にあります。^[1] $${\displaystyle H={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {A+B}{2}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\sqrt {AB}}.}$$

立体幾何学への応用

正方形の錐台。体積は高さ×正方形面積のヘロン平均に等しい。

ヘロン平均は、角錐台や円錐台の体積を求める際に用いられる。体積は、円錐台の高さと、対向する平行面の面積のヘロン平均との積に等しい。^[2]

この公式の正方形錐台版は、古代エジプト数学のモスクワ数学パピルスに登場し、その内容は紀元前1850年頃に遡ります。^{[1] [3]}

参考文献

1. Bullen, PS (2003)、「2.1.4 ヘロニアン平均、重心平均、新ピタゴラス平均」、平均とその不等式ハンドブック、数学とその応用、ベルリン、ニューヨーク：Springer Science+Business Media、pp.  399– 401、doi :10.1007/978-94-017-0399-4、ISBN 978-1-4020-1522-9
2. ( 1860)、「定理22」、幾何原論、平面三角法と球面三角法、多数の実用問題集、ニューヨーク：Ivison, Phinney & Co.、  210–211ページ
3. イヴス、ハワード・ホイットリー（1980年）、数学の偉大な瞬間（1650年以前）、アメリカ数学会、pp.  11– 13、ISBN 978-0-88385-310-8