ヘテロクリニック軌道

振り子方程式x ″ + sin x = 0の位相図。強調表示された曲線は、( x , x ′) = (–π, 0)から( x , x ′) = (π, 0)までのヘテロクリニック軌道を示しています。この軌道は、（剛体）振り子が垂直状態から始まり、最低位置まで1回転し、再び垂直状態に戻るまでの軌道に対応しています。 

数学において、力学系の位相図において、ヘテロクリニック軌道（ヘテロクリニック接続と呼ばれることもある）は、2つの異なる平衡点を結ぶ位相空間内の経路です。軌道の始点と終点の平衡点が同じ場合、軌道はホモクリニック軌道です。

常微分方程式 で表される連続力学系を考えます。 平衡点が にあると仮定します。両方の極限が満たされる 場合、解はからへのヘテロクリニック軌道です。$${\displaystyle {\dot {x}}=f(x).}$$ ${\displaystyle x=x_{0},x_{1}.}$ ${\displaystyle \phi (t)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\phi (t)\rightarrow x_{0}&{\text{as}}&t\rightarrow -\infty ,\\[4pt]\phi (t)\rightarrow x_{1}&{\text{as}}&t\rightarrow +\infty .\end{array}}}$$

これは、軌道が の安定多様体との不安定多様体に含まれることを意味します。 ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

記号力学

マルコフ分割を用いることで、双曲系の長時間挙動を記号力学の手法を用いて研究することができます。この場合、ヘテロクリニック軌道は特に単純で明確な表現を持ちます。 がM個の記号の有限集合であると仮定します。点xの力学は、双無限の記号 列によって表されます${\displaystyle S=\{1,2,\ldots ,M\}}$

${\displaystyle \sigma =\{(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}}$

系の周期点は、単に文字の繰り返し列です。ヘテロクリニック軌道は、2つの異なる周期軌道の結合です。これは次のように書くことができます。

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}q^{\omega }}$

ここで、 は長さkの記号列（もちろん）、 は長さmの別の記号列（同様に）です。この表記は、単にpの無限回の繰り返しを表します。したがって、ヘテロクリニック軌道は、ある周期軌道から別の周期軌道への遷移として理解できます。対照的に、ホモクリニック軌道は次のように書くことができます 。${\displaystyle p=t_{1}t_{2}\cdots t_{k}}$ ${\displaystyle t_{i}\in S}$ ${\displaystyle q=r_{1}r_{2}\cdots r_{m}}$ ${\displaystyle r_{i}\in S}$ ${\displaystyle p^{\omega }}$

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}p^{\omega }}$

中間の列は空ではなく、もちろんpではありません。そうでなければ、軌道は単に になります。 ${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n}}$ ${\displaystyle p^{\omega }}$

参照

• ヘテロクリニック接続
• ヘテロクリニックサイクル
• ヘテロクリニック分岐
• ホモクリニック軌道
• 進行波

参考文献

• ジョン・グッケンハイマー、フィリップ・ホームズ著、『非線形振動、力学系、ベクトル場の分岐』（応用数学科学 第42巻）、シュプリンガー