等しい球の最密充填

HCP（左）とFCC（右）格子の両方における等しい球の最密充填の図

幾何学において、等しい球の最密充填とは、無限の規則的な配置（または格子）における合同な球の稠密な配置である。カール・フリードリヒ・ガウスは、格子充填 によって達成できる最高の平均密度、つまり球が占める空間の最大の割合は であることを証明した。同じ充填密度は、積み重ね方向に非周期的な構造を含む、同じ最密充填面の球の交互の積み重ねによっても達成できる。ケプラーの予想によれば、これは規則的か不規則的かを問わず、球のあらゆる配置によって達成できる最高の密度である。この予想はトーマス・ヘイルズによって証明された。^{[ 1 ] [ 2 ]}これまでのところ、最高密度は 1、2、3、8、24 次元についてのみ知られている。^{[ 3 ]}${\textstyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0.74048}$

多くの結晶構造は、単一の原子の最密充填、または大きなイオンの最密充填とそれらの間の空間を埋める小さなイオンに基づいています。立方晶系と六方晶系の配列はエネルギー的に非常に近いため、第一原理からどちらの形態が優先されるかを予測することは難しい場合があります。

FCC格子とHCP格子

4倍軸方向に見られるFCC配列

FCC		医療従事者
FCC配列は、正方形または三角形の2つの異なる平面上に配置できます。これらは、12個の頂点を持つ立方八面体で確認できます。立方八面体は、1つの中心球の周りに12個の隣接する球を配置し、その位置を12個の頂点で表します。HCP配列は三角形の配置でも確認できますが、球の位置が2つ交互に配置され、三角形の正双キューポラ配列となります。

この最高の平均密度を達成する単純な正則格子は2つあります。それらは対称性に基づき、面心立方格子（FCC）（立方最密充填格子（CCP）および六方最密充填格子（HCP）とも呼ばれます）と呼ばれます。どちらも三角形のタイルの頂点に配置された球面シートに基づいていますが、シートがどのように積み重ねられているかが異なります。FCC格子は、数学者の間ではA ₃ルートシステムによって生成される格子としても知られています。^{[ 4 ]}

砲弾問題

砲弾は三角形(前面)と長方形(背面)のベースに積み重ねられ、両方ともFCC格子になっています。

球の最密充填問題は、1587年頃、トーマス・ハリオットによって初めて数学的に解析されました。これは、アメリカ遠征の際、ウォルター・ローリー卿から船への砲弾の積み方に関する質問を受けたことがきっかけでした。 ^{[ 5 ]} 砲弾は通常、長方形または三角形の木枠に積み上げられ、三角錐または四角錐を形成しました。どちらの配置も、地面に対する向きが異なる面心立方格子を形成します。六方最密充填の場合、六角形の底面を持つ六角錐となります。

雪玉をピラミッド型に並べたコレクション。前面は六方最密充填、背面は面心立方です。

砲弾問題とは、砲弾を正方形に並べると、どのような平らな配置で四角錐を形成できるかという問題である。エドゥアール・リュカスはこの問題をディオファントス方程式として定式化した。

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}}$$

あるいは、同等に、

$${\displaystyle {\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)={\frac {2N^{3}+3N^{2}+N}{6}}=M^{2}}$$

そして、唯一の解はと であると推測しました。ここで、 はピラミッド型の積み重ね配置における層の数であり、は平らな正方形の配置における辺に沿った砲弾の数です。 ${\displaystyle N=1,M=1,}$ ${\displaystyle N=24,M=70}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

位置と間隔

FCC配置とHCP配置の両方において、各球は12個の隣接球を持つ。各球には、6個の球に囲まれた隙間が1つ（八面体）と、4個の球に囲まれた小さな隙間が2つ（四面体）ある。これらの隙間の中心から周囲の球の中心までの距離は、球の半径が1のとき、四面体では√3 ⁄ 2、八面体では√2である。

位置Aの基準層に対して、さらに2つの位置BとCが可能です。A、B、Cの順序は、同じ順序がすぐに繰り返されることなく、任意の順序で配置することが可能であり、与えられた半径の球体に対して等密度のパッキングを実現します。

最も一般的なものは

• FCC = ABC ABC ABC...（3層目はすべて同じ）
• HCP = AB AB AB AB... (他のすべてのレイヤーは同じです)。

結晶学者ウィリアム・バーロウにちなんで「バーロウパッキング」と呼ばれる、無秩序な平面配列（例えばABCACBABABAC...）は無数に存在します。^{[ 6 ]}

最密充填では、 XY平面における球の中心間隔は、ピッチ（球の中心間の距離）が球の直径1倍である単純なハニカム状の格子模様となる。球の中心間の距離をZ軸（垂直軸）に投影すると、以下の式で表される。

$${\displaystyle {\text{pitch}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \over 3}\approx 0.816\,496\,58d,}$$

ここで、dは球の直径です。これは、最密充填された球が四面体状に配列されることから生じます。

HCP と FCC の配位数は 12 であり、それらの原子充填係数(APF) は上記の数値 0.74 に等しくなります。

格子生成

図1 HCP格子（左）とFCC格子（右）。それぞれのブラベ格子の輪郭は赤で示されています。文字はどの層が同じであるかを示しています。HCPマトリックスには2つの「A」層があり、すべての球が同じ位置にあります。FCC積層では、3つの層すべてが異なります。破線で示されているように、最上層の球を移動させることで、FCC積層をHCP積層に変換できることに留意してください。

図2トーマス・ハリオットは1585年頃、 FCC格子を持つ砲弾配置、あるいは砲弾スタックの数学的な考察を初めて行いました。上から2段目の手前にある2つの砲弾が、その下の段にある同じ砲弾と接触していることに注目してください。これはHCP格子（上の図1の左側の配置、および下の図4）では起こりません。

図 3ここに示されているのは、図 1に図示されている FCC 格子の上位 3 層にある 8 つの球すべてを表示するために 3 つの追加球が追加されている、砲弾スタックの修正された形式です。

図4図1に示したHCP格子の11個の球体すべてを示しています。この積み重ねと砲弾積み重ねの上位3段との違いはすべて、球のピッチ直径の半分（60°）回転した最下段にあります。上から2段目にある、観察者に向かっている2つの球体が、その下の段にある同じ球体と接触していないことに注目してください。

図 5このアニメーション表示は、砲弾配置の3 辺のピラミッド (四面体) 形状を説明するのに役立ちます。

球詰め格子を形成する際に最初に注目すべき点は、2つの球が接する場合、一方の球の中心からもう一方の球の中心まで、接触点を横切る直線を引くことができるということです。したがって、最短経路、つまりその直線に沿った中心間の距離はr ₁  +  r ₂となります。ここで、 r ₁は最初の球の半径、r ₂は2番目の球の半径です。最密充填では、すべての球が共通の半径rを共有します。したがって、2つの中心間の距離は単純に 2 rとなります。

単純なHCP格子

最密充填格子生成のアニメーション。注：3層目（図示せず）が1層目の真上にある場合、HCP格子が構築されます。3層目を1層目の穴の上に配置した場合、FCC格子が作成されます。

ABAB-...六方最密充填の球を形成するには、格子の座標点を球の中心とします。例えば、HCPに従って箱を球で埋めることを目標とします。箱はx - y - z座標空間に配置されます。

まず、球を一列に並べます。球の中心はすべて一直線上にあります。球の中心同士が接する距離は2 rなので、球のx座標は 2 rずつ変化します。y座標と z 座標は同じです。説明を簡単にするために、球を1列目に置き、そのy座標とz座標をrとすると、球の表面はゼロ平面上にあります。1列目の中心の座標は、(2 r ,  r ,  r )、(4 r ,  r ,  r )、(6 r  , r ,  r )、(8 r  , r ,  r )、… のようになります。

次に、次の列の球を形成します。ここでも、球の中心はすべて一直線上に並び、x座標の差は 2 rですが、 x方向にrの距離だけずれているため、この列のすべての球の中心は、最初の列で 2 つの球が接している位置のx座標に揃います。これにより、新しい列の球は最初の列に近づき、新しい列のすべての球が最初の列の 2 つの球に接するようになります。新しい球は2 つの球に接しているため、その中心は隣接する 2 つの球の中心と正三角形を形成します。各辺の長さはすべて 2 rなので、列間の高さ、つまりy座標の差は√ 3 rです。したがって、この列のn番目の中心の座標は、0 から始まり、(2 n + 1) r、r + √ 3 r、rになります。

( r、  r  +  √ 3 r、r )、 (3 r、  r  +  √ 3 r、  r )、 (5 r、  r  +  √ 3 r、  r )、...

この行の最初の球は、元の行の 1 つの球にのみ接していますが、その位置は行の残りの球の位置に従います。

次の行では、 x座標をr、y座標を√ 3ずつシフトするパターンに従います。ボックスの xおよびy の最大境界に達するまで行を追加します。

ABAB-...の積み重ねパターンでは、奇数番目の球面はZ座標のピッチ差を除けば全く同じ座標を持ち、偶数番目の球面はX座標とY座標を共有します。どちらのタイプの面も上記のパターンで形成されますが、1列目の最初の球の開始位置は異なります。

上記で正確に説明した平面 #1、つまりA平面の上に球を置き、A平面上の3つの球に接するようにします。3つの球はすでに互いに接しており、正三角形を形成しています。そして、新しい球にもすべてが接しているので、4つの中心は正四面体を形成します。^{[ 7 ]}すべての辺の長さは2 rに等しくなります。なぜなら、すべての辺は2つの球が接することで形成されるからです。その高さ、つまり2つの「平面」間のz座標の差は、 ⁠√6r2​​​/3⁠ . これをx座標とy座標のオフセットと組み合わせると、B平面の最初の行の中心が得られます。

( r、  r  +  1 ⁄ √ 3 r、r  + 2 √ 2/3 r )、 (3 r、  r  +  1 ⁄ √ 3 r、  r  + 2 √ 2/3 r )、 (5 r、  r  +  1 ⁄ √ 3 r、  r  + 2 √ 2/3 r )、...

2 行目の座標は、上で最初に説明したパターンに従い、次のようになります。

(2 r、  r  +  4 ⁄ √ 3 r、r  + 2 √ 2/3 r )、 (4 r、  r  +  4 ⁄ √ 3 r、  r  + 2 √ 2/3 r )、 (6 r、  r  +  4 ⁄ √ 3 r、  r  + 2 √ 2/3 r )、...

次の平面であるA平面との差は、Z方向に2√2 / 3r 、 XとYのシフトは最初のA平面のXとY座標と一致する。 ^{[ 8 ]}

一般に、球の中心の座標は次のように表すことができます。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+{\bigl (}(j\ +\ k){\bmod {2}}{\bigr )}\\{\sqrt {3}}j+{\frac {k{\bmod {2}}}{\sqrt {3}}}\\2{\sqrt {\frac {2}{3}}}k\\\end{bmatrix}}r}$$

ここで、 i、j、kは、 x、y、z座標の 0 から始まるインデックスです。

ミラー指数

HCP格子のミラー・ブラヴェ指数

HCP系の結晶学的特徴、例えばベクトルや原子面族などは、4値ミラー指数表記（hkil）を用いて記述することができる。ここで、3番目の指数iは縮退しているが便利な成分を表し、 − h  −  kに等しい。h、i、k の指数方向は120°離れているため、直交していない。一方、l成分はh、i、k の指数方向と互いに直交している。

残りのスペースを埋める

FCCとHCPは、最も高い対称性（最小の繰り返し単位）を持つ、最も高密度な球の充填構造として知られています。より高密度の球の充填構造も知られていますが、それらは不均一な球の充填を伴います。充填密度1、つまり空間を完全に満たすには、ハニカム構造のような非球面形状が必要です。

二つの球面間の接触点を、接触する球面の中心を結ぶ辺に置き換えると、辺の長さが等しい四面体と八面体が生成されます。FCC配置では、四面体-八面体ハニカム構造が生成されます。HCP配置では、回転した四面体-八面体ハニカム構造が生成されます。代わりに、各球面に、他のどの球面よりもその球面に近い空間上の点を追加すると、これらのハニカム構造の双対が生成されます。FCCでは菱形十二面体ハニカム構造、 HCPでは台形-菱形十二面体ハニカム構造です。

石鹸水中にFCCまたはHCP配列を持つ球状泡が出現する。これは、泡間の隙間から水が排出される際に生じる。このパターンは、菱形十二面体ハニカム構造や台形菱形十二​​面体ハニカム構造にも近づく。しかし、このようなFCCまたはHCPフォームは、液体含有量が非常に少ない場合、プラトーの法則を満たさないため不安定である。ケルビンフォームとウィア・フェランフォームは、液体含有量が非常に少ない限界において界面エネルギーが小さく、より安定している。^{[ 9 ]}

hcp構造とfcc構造によって残される格子間空孔には、正四面体空孔と正八面体空孔の2種類があります。正四面体空孔は4つの球体で囲まれ、そのうち3つは1つの層から、もう1つは隣の層から来ています。正八面体空孔は6つの球体で囲まれ、そのうち3つは1つの層から、もう3つは隣の層から来ています。例えば、多くの単純な化合物の構造は、より大きな原子から形成される最密充填系において、正四面体または正八面体空孔を小さな原子が占めているという形で記述されることが多いです。

層状構造は、空孔八面体面と充填された八面体面が交互に並ぶことで形成される。2つの八面体層は通常4つの構造配置を可能にし、それらはhcp構造またはfcc構造の充填系で充填される。四面体孔を完全に充填すると、fcc構造のフィールド配列が得られる。単位格子では、孔充填によってhcp構造とfcc構造が混在する多面体配列が得られることがある。^{[ 10 ]}

参照

• 立方晶系
• エルミート定数
• ランダムクローズパック
• 球詰め
• 円筒球パッキング

注記

1. Hales, TC (1998). 「ケプラー予想の概要」. arXiv : math/9811071v2 .
2. Szpiro, George (2003). 「数学：証明は成り立つか？」 . Nature . 424 (6944): 12–13 . Bibcode : 2003Natur.424...12S . doi : 10.1038/424012a . PMID 12840727 . 
3. Cohn, H.; Kumar, A.; Miller, SD; Radchenko, D.; Viazovska, M. (2017). 「次元24における球面パッキング問題」Annals of Mathematics . 185 (3): 1017– 1033. arXiv : 1603.06518 . doi : 10.4007/annals.2017.185.3.8 . S2CID 119281758 . 
4. Conway, John Horton ; Sloane, Neil James Alexander ; Bannai, Eiichi (1999). Sphere packings, lattices, and groups . Springer. Section 6.3. ISBN 9780387985855。
5. ダーリング、デイビッド. 「キャノンボール問題」 .インターネット科学百科事典.
6. バーロウ、ウィリアム (1883). 「結晶の内部対称性の妥当な性質」 . Nature . 29 (738): 186–188 . Bibcode : 1883Natur..29..186B . doi : 10.1038/029186a0 .
7. 「球面パッキングについて」 Grunch.net 2014年6月12日閲覧。
8. Weisstein, Eric W.「六角形最密充填」。MathWorld 。
9. イザベル・カンタット;コーエン・アダッド、シルヴィ。エリアス、フィレンツェ。グラナー、フランソワ。ヘーラー、ラインハルト。フラットマン、ルース。ピトワ、オリヴィエ (2013)。泡、構造、および力学。オックスフォード: オックスフォード大学出版局。ISBN 9780199662890。
10. ウッドワード, パトリック・M.; カレン, パベル; エヴァンス, ジョン・SO; ヴォクト, トーマス (2021).固体材料化学. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9780521873253。

外部リンク

• Krishna, P.; Pandey, D. (1981).最密充填構造(PDF) . 国際結晶学連合結晶学教育パンフレット委員会. 第5巻. カーディフ, ウェールズ: ユニバーシティ・カレッジ・カーディフ出版. ISBN 0-906449-08-1。