ヘキサニー

正八面体

音楽の調律システムにおいて、アーヴ・ウィルソン[ ^{1 ]}によって発明されたヘキサニーは、彼の組み合わせ積集合の中で見られる最も単純な構造の1つを表してい^ます。

これは非中心構造と呼ばれ、主音が存在しないことを意味します。これは、無調で通常用いられる不協和音法ではなく、協和関係を用いることで実現されます。これはしばしばオイラー-フォッカーの種数と混同されますが、ウィルソンの組み合わせ積集合 (CPS) のその後の星形化はその種数の外側にあります。オイラー-フォッカーの種数は、開始点を除き、1 を集合の可能なメンバーとして見ていません。彼の組み合わせ集合の頂点の数は、パスカルの三角形の数に従います。この構成では、ヘキサニーは 4 因子集合の 3 番目の断面であり、最初の非中心の断面です。ヘキサニーは、アーヴ・ウィルソンが 2-out-of-4 の組み合わせ積集合 (2*4 CPS) の 6 つの音符に付けた名前です。^{[ 2 ]}

簡単に言えば、ヘキサニーとは4つのうち2つを組み合わせたものです。これは、任意の4つの要素と2つの要素を1組として組み合わせ、それらを2つずつ掛け合わせることで構成されます。例えば、倍音要素1、3、5、7は、1×3、1×5、1×7、3×5、3×7、5×7のペアで組み合わせられ、1、3、5、7のヘキサニーとなります。音符は通常、すべて同じオクターブ内に収まるようにオクターブシフトされますが、これは音程関係や三和音の協和音には影響を与えません。オクターブが解となる可能性はウィルソンの構想から外れたものではなく、汎用キーボードに大規模な組み合わせ積集合を配置する場合に用いられます。

ヘキサニーは正八面体と類似していると考えることができます。音符は、各点が音高、各辺が音程、各面が三和音を表すように配置されています。したがって、8つの純正律三和音があり、各三和音は他の3つのコードと2つの音符を共有します。各三和音は1回だけ出現し、その反転は反対の3つの音で表されます。正八面体の辺は、頂点間の音程を表し、通常は和音列から協和音程が選択されます。点は音符を表し、三角形の各面を構成する3つの音符は三和音を表します。ウィルソンはまた、旋律的ヘキサニーの概念を指摘し、探求しました。

チューニング

これはヘキサニーの 3 次元バージョンを示しています。

正投影。

ヘキサニーは、図示されている三角形と、それらの間の接続線の両方を含む図形です。

この2次元構成では、区間関係は同じです。Kraig Gradyの論文の図2も参照してください。^{[ 3 ]}

例えば、頂点が3×5、1×5、5×7の面は、低い倍音を使って5×(1, 3, 7)と表記できるため、音調（長調）のコードです。5×7、3×7、3×5は、低い倍音を使って3×5×7×(1/3, 1/5, 1/7)と表記できるため、音調（短調）のコードです。

これを1/1を最初の音とする従来の倍音構成にするには、まずすべての音をオクターブに減じます。アーヴが「倍音構成」と呼んだこの音はスケールとはみなされておらず、まだ1/1も存在しないため、任意の音符を使ってすべての音をオクターブ減じることができます。ここでの比率表記は、音符の周波数の比率を示しています。1/1が500ヘルツの場合、6/5は600ヘルツ、というように続きます。

音楽では

Kraig Grady、Daniel James Wolf、Joseph Pehrsonなどの作曲家は、ヘキサニーに基づくピッチ構造を使用しています。

参照

• オイラー・フォッカー属数

参考文献

1. チャーマーズ、ジョン・H. (1993).『テトラコルドの分割：音階構築への序論』 p.116. フロッグ・ピーク・ミュージック. ISBN 978-0-945996-04-0。
2. (1993). Musicworks, Issues 55–60 , p.43. ミュージックギャラリー.
3. Grady, Kraig (1991). 「アーヴィン・ウィルソンのヘキサニー」(PDF) .純正律. 7 (1): 8–11 .

さらに読む

• 成島照美（2018）『微分音とアーヴ・ウィルソンの調律システム』ロンドン、ISBN 978-1-315-71858-3. OCLC  1019658301 .
• グレイディ、クレイグ（1991）「アーヴィン・ウィルソンのヘキサニー」（PDF）、純正律、第7巻第1号、  8～ 11ページ
• シーマー、グレッグ、「平均律デカニー：純正律に基づく微分音程を用いたコーラス効果」（PDF）、第7回国際音楽知覚・認知会議議事録、シドニー、2002年、 300～ 302頁  （背景セクションを参照）
• ウィルソン、エルブ著「ダレッサンドロ、ハリケーンのように」（PDF）クセンハルモニコン12 ： 10、21。

外部リンク

• 「ヘキサニーとヘキサニーダイヤモンド格子（およびブランク）」、ウィルソン・アーカイブ。様々なファセットと構成を示すヘキサニーのオリジナル紙。アーヴ・ウィルソンが1967年以降に組み立てたものではない。
• 「ウィルソン・アーカイブ」、Anaphoria.com
• 「ヘキサニー」、RobertInventor.com。ヘキサニーでは、向きを変えて頂点、辺、面のいずれかをクリックすると、コードを聴くことができます。
• 「組み合わせ積集合パターン」、Xenharmonikon IX (1986)、Kraig Grady 著。
• 「Eikosany Papers」、Anaphoria.com。
• 「音楽幾何学」、音楽と仮想の花。音楽幾何学入門。
• 「タンブリング・デカニー」「珍しい音階」、デイブ・キーナンのホームページ。デイブ・キーナンの4次元デカニータンブリング — 音楽用Excelスプレッドシート