ヘキサポーン

	1つの	b	c
3				3
2				2
1				1
	1つの	b	c

3x3ヘキサポーンセットアップ

4x4オクトポーンセットアップ

ヘキサポーンは、マーティン・ガードナーによって考案された決定論的な2人用ゲームです。3×3のボードや通常のチェス盤など、様々なサイズの長方形のボード上でプレイされます。n × mのボード上で、各プレイヤーはm個のポーン（それぞれ最も近い列のマス目ごとに1つずつ）を持ってゲームを開始します。各プレイヤーの目的は、ポーンをボードの反対側の端まで進めるか、膠着状態または相手の駒をすべて取られることによって、相手に有効な手が打てないようにすることです。

3×3盤上のヘキサポーンは既に解けたゲームです。完璧なプレイをすれば、白は必ず3手で負けます（1.b2 axb2 2.cxb2 c2 3.a2 c1#）。実際、ガードナーは、ドナルド・ミチーのマッチボックス教育用算数エンジン（MENACE）をベースにした機械式コンピュータで実装されたヒューリスティック AIでどのようにプレイできるかを示すために、小さなゲームツリーを持つゲームとして特別に構築しました。

このゲームのバリエーションとしてオクトポーンがあります。これは4×4の盤上で、各辺に4つのポーンを配置してプレイします。白が必ず勝ちます。

Matchbox Educable Noughts and Crosses Engineのヘキサポーンバージョンに必要なマッチ箱は 24 個だけです。

ルール

チェスと同様に、ポーンは2つの方法で動かすことができます。1つは垂直方向に1マス前進させること、もう1つは斜め前方のポーンを捕獲することです。次のマスにポーンがいる場合、ポーンは前進させることができません。チェスとは異なり、ポーンの最初の動きで2マス前進させることはできません。プレイヤーは、正当な動きがないか、相手プレイヤーのポーンが盤の端に到達した場合、負けとなります。

ドーソンのチェス

プレイヤーがポーンを最後から2番目の列に進め、相手のポーンを攻撃する場合、捕獲によって最終列に進む脅威が生じる。したがって、相手が取れる唯一の合理的な対応は、前進したポーンを捕獲するか、脅威にさらされているポーンを前進させるかのどちらかであり、後者は脅威にさらされているポーンが2つではなく1つの場合にのみ合理的である。3× $Nの$ ヘキサポーンに制限し、捕獲は常に必須であるという追加ルールを追加すると、ドーソンのチェスというゲームが生まれる。このゲームは1935年にトーマス・レイナー・ドーソンによって発明された。^{[ 1 ]}

ドーソンのチェスは、コンウェイ記法で.137と表される公平ゲームに帰着する。これは、以下の条件を満たすニム風ゲームと等価であることを意味する。

プレイヤーは1ターンに1～3個のオブジェクトを山から取り除くことができる。
1つのオブジェクトだけを削除するのは、削除されたオブジェクトがヒープ内の唯一のオブジェクトである場合にのみ正当な移動であり、
5 個以上のオブジェクトが積まれたヒープから 3 個のオブジェクトを削除する場合、プレイヤーは残りのオブジェクトを 2 つのヒープに分割することもできます。

初期位置はサイズ $N$ の単一のヒープです。このゲームの Nimシーケンスは次のようになります。

0.1120311033224 0 5 22 3301130211045 2 74 0 1120311033224455 2 33011302110453748 1120311033224455933011302110453748 1120311033224455933011302110453748 1120311033224455933011302110453748 ...、

ここで、太字のエントリは、シーケンスの最終的な周期的な動作とは異なる値を示します。

参考文献

^ファーガソン、トーマス S. 「ドーソンのチェスに関する注記」(PDF)。

出典

数学ゲーム、サイエンティフィック・アメリカン、1962年3月、マーティン・ガードナー著『予期せぬぶら下がりとその他の数学的転換』に再録、93ページ以降

外部リンク

ヘキサポーン- ロバート・プライスによる記事。
Hexapawn Java アプレット- ソースコードが含まれています。
iOS向けヘキサポーンゲーム
ヘキサポーンをプレイ- オンラインでプレイ

[1] ファーガソン、トーマス S. 「ドーソンのチェスに関する注記」(PDF)。

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