より高い局所場
離散評価フィールド

数学において、高次元（-次元）局所体は、完全離散値体の重要な例である。このような体は、多次元局所体と呼ばれることもある。

通常の局所体（典型的には数体の完備化または代数曲線の局所環の商体）上では、実数や複素数などのアルキメデス局所体でない限り、体の局所パラメータの選択に関連付けられた（ランク 1 の）唯一の射影的離散値があります。同様に、ほとんどすべてのn次元局所体上では、体のn個の局所パラメータの選択に関連付けられたランクnの離散値があります。 [1] 1 次元局所体とは対照的に、高次の局所体は留数体のシーケンスを持ちます。[2]高次の局所体には、考慮する留数体の情報がいくつあるかによって、異なる積分構造があります。[2]

幾何学的には、高次局所体は高次元スキームの局所環の局所化と完備化の過程を経て現れる。[2] 高次局所体は高次元数論の主題の重要な部分であり、局所的な考察のための適切なオブジェクトの集合を形成する。

意味

有限体は次元0を持ち、有限留数体を持つ完全離散値体は次元1を持つ（RやCなどのアルキメデスの局所体も次元1を持つと定義するのが自然である）。この場合、留数体が次元n −1を持つとき、完全離散値体は次元nを持つという。高次局所体とは次元が1より大きい体であり、1次元局所体は伝統的な局所体である。有限次元高次局所体の留数体を「最初の」留数体と呼び、その留数体を2番目の留数体と呼ぶ。このパターンは有限体に達するまで続く。[2]

例

2 次元ローカル フィールドは次のクラスに分類されます。

  • 正の特性を持つ体、つまり1 次元局所体上の変数tの形式的な冪級数、つまりF q (( u ))(( t )) です。
  • 特性ゼロの等特性体、特性ゼロの1次元局所体F上の形式的な冪級数 F (( t ))である。
  • 混合特性体とは、 F {{ t }}型の体の有限拡大であり、Fは特性値 0 の 1 次元局所体である。この体は、両方向に無限大で、Fの係数の値の最小値が整数であり、かつ、その指数が負の無限大に向かうにつれて係数の値が 0 に近づくような形式的冪級数の集合として定義される。[2]
  • アルキメデスの 2 次元局所体。実数 Rまたは複素数 C上の形式的な冪級数です。

建設

高次局所体は様々な文脈で現れる。幾何学的な例は以下の通りである。標数pの有限体上の曲面、曲面上の曲線、そして曲線上の点が与えられたとき、その点で局所環をとる。次に、この環を完備化し、曲線で局所化し、得られた環を完備化する。最後に、商体をとる。結果は有限体上の2次元局所体である。[2]

可換代数を用いた構成法もあり、これは非正則環に対しては専門的になります。出発点は、ネーター的、正則、n次元環と、それに対応する商環が正則となるような素イデアルの完全旗です。上記のように、一連の完備化と局所化が行われ、n次元局所体に到達します。

高次局所体上の位相

1次元局所体は通常、離散値を用いて開集合を定義する評価位相において考慮される。しかし、高次元局所体では留数レベルの位相も考慮する必要があるため、この方法は十分ではない。高次元局所体には、この問題に対処する適切な位相（一意に定義されない）を与えることができる。このような位相は、 n > 1の場合、階数nの離散値に関連付けられた位相ではない。2次元以上では、体の加法群は局所コンパクトではない位相群となり、位相の基底は可算ではない。最も驚くべきことは、乗算が連続ではないことである。しかし、乗算は逐次連続であり、これはすべての合理的な算術的目的には十分である。位相的な考慮をより形式的な考慮に置き換える反復Ind–Proアプローチもある。 [3]

高次の局所場における測定、積分、調和解析

2次元局所体上には並進不変測度は存在しない。その代わりに、実数上の形式的冪級数R (( X )) をとる、体上の2次元離散値に関して閉球によって生成される集合環上に定義される有限加法的な並進不変測度が存在する。[4]この測度は、ある洗練された意味で可算加法的でもある。これは、高次局所体上の高次ハール測度と見ることができる。すべての高次局所体の加法群は非正準自己双対であり、適切な関数空間上に高次フーリエ変換を定義できる。これは高次調和解析につながる。[5]

高次局所類体理論

1 次元の局所類体理論には、高次元での類似物があります。乗法群の適切な置き換えは n 次ミルナー K 群になります。ここでnは体の次元であり、これは体上の最大アーベル拡大のガロア群への相互写像の定義域として現れます。さらに良い方法は、n 次ミルナー K 群をすべての正の整数で割り切れる元の部分群で割った商を扱うことです。フェセンコの定理により、[6]この商は適切な高次元位相を備えた K 群の最大分離位相商と見なすこともできます。n 次ミルナー K 群のこの商から高次元局所体の最大アーベル拡大のガロア群への高次局所相互準同型は、1 次元局所類体理論の特徴と類似した多くの特徴を持っています。

高次局所類体理論は、ミルナーK理論の境界写像を用いて、体と留数体のレベルでの相互写像を含む可換図を作成し、留数体レベルでの類体理論と互換性がある。[7]

一般高局所類体理論は加藤和也[8]とイヴァン・フェセンコ[9]によって発展した。[ 10]正特性における高局所類体理論はアレクセイ・パルシン[11]によって提案された。

注記

  1. ^ Fesenko, IB, Vostokov, SV「局所体とその拡張」アメリカ数学会、1992年、第1章および付録。
  2. ^ abcdef Fesenko, I., Kurihara, M. (編)高次局所体への招待幾何学と位相幾何学モノグラフ、2000年、第1章 (Zhukov)。
  3. ^ Fesenko, I., Kurihara, M. (編)『高次局所体への招待』 幾何学と位相学のモノグラフ, 2000年, 複数のセクション。
  4. ^ フェセンコ, I.算術スキームの解析. I. Docum. Math., (2003), 加藤特別号, 261-284
  5. ^ Fesenko, I.,一般化ループ空間における測度、積分、調和解析の要素、Proceed. St. Petersburg Math. Soc., vol. 12 (2005), 179-199; AMS Transl. Series 2, vol. 219, 149-164, 2006
  6. ^ I. Fesenko (2002). 「高次局所体のミルナーK群の順次位相と商」(PDF) .サンクトペテルブルク数学ジャーナル. 13 .
  7. ^ Fesenko, I., Kurihara, M. (編) 高次局所体への招待幾何学と位相幾何学モノグラフ, 2000, セクション5 (Kurihara).
  8. ^ K. Kato (1980). 「K群を用いた局所類体論の一般化 II」.東京大学理学部誌. 27 : 603–683 .
  9. ^ I. Fesenko (1991). 「正特性の多次元局所体の類体理論について」.上級数学講座4 : 103–127 .
  10. ^ I. Fesenko (1992). 「正特性の留数体を持つ、特性0の多次元局所体の類体理論」サンクトペテルブルク数学ジャーナル3 : 649–678 .
  11. ^ Parshin, AN (1990). 「ガロアコホモロジーと局所体のブラウアー群」Trudy Mat. Inst. Steklov . 183 : 159–169 , 227. MR  1092028.翻訳（1991）、Proc. Steklov Inst. Math. 4：191–201。

参考文献

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