平面幾何学 において、ホフスタッター点はすべての 平面 三角形 に関連付けられた特別な点です 。実際には、三角形に関連付けられたホフスタッター点は複数あります。それらはすべて 三角形の中心 です。そのうち、ホフスタッター零点 とホフスタッター一点の 2つは特に興味深いものです。[ 1 ] 超越三角形の中心です。ホフスタッター零点は クラーク・キンバリング の『三角形の中心百科事典』 でX(360)と示されている中心であり、ホフスタッター一点はX(359)と示されている中心です。ホフスタッター零点は1992年にダグラス・ホフスタッターによって発見されました。 [ 1 ]
ホフスタッターの三角形 △ ABC を与えられた三角形とする。rを 正の実定数とする
線分BC をB を中心にしてA に向かって角度rB 回転させ、この線分を含む直線をL BC BC をC を中心にA に向かって角度rC 回転させ、この線分を含む直線をL' BC L BC L' BC が A ( r ) で交差するものとする。同様にして、点B ( r ) と点C ( r )を構築する。頂点が A ( r )、 B ( r )、 C ( r ) である三角形は、 △ ABC r 三角形（またはr -ホフスタッター三角形）である。[ 2 ] [ 1 ]
特殊なケース
ホフスタッター三角形の頂点の三線座標 ホフスタッターのr 三角形の頂点の三線座標 は次のとおりです。
A （ r ） ＝ 1 ： 罪 r B 罪 （ 1 − r ） B ： 罪 r C 罪 （ 1 − r ） C B （ r ） ＝ 罪 r A 罪 （ 1 − r ） A ： 1 ： 罪 r C 罪 （ 1 − r ） C C （ r ） ＝ 罪 r A 罪 （ 1 − r ） A ： 罪 （ 1 − r ） B 罪 r B ： 1 {\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}A(r)&=&1&:&{\frac {\sin rB}{\sin(1-r)B}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]B(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&1&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]C(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&{\frac {\sin(1-r)B}{\sin rB}}&:&1\end{array}}}
ホフスタッター点 様々なホフスタッター点を示すアニメーション。H 0 は H 1 0 < r < 1におけるホフスタッター r 点の軌跡です。この軌跡は三角形の内心 I を通ります。 正の実定数r > 0△ ABC r三角形を A ( r )、B ( r )、C ( r )AA ( r )、 BB ( r )、 CC ( r ) は交わります。[ 3 ] △ ABC r 点です。
ホフスタッターr 点の三線座標 ホフスタッターのr 点の三線座標 を以下に示します。
罪 r A 罪 （ A − r A ） ： 罪 r B 罪 （ B − r B ） ： 罪 r C 罪 （ C − r C ） {\displaystyle {\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}\ :\ {\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}\ :\ {\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}}
ホフスタッターのゼロポイントとワンポイント これらの点の三線座標は、ホフスタッターのr 点の三線座標の式でr に値 0 と 1 を代入しても取得できません。
ホフスタッター零点は、r が 零に近づくときのホフスタッターr 点の極限 です。したがって、ホフスタッター零点の三線座標は次のように導出されます。
限界 r → 0 罪 r A 罪 （ A − r A ） ： 罪 r B 罪 （ B − r B ） ： 罪 r C 罪 （ C − r C ） ⟹ 限界 r → 0 罪 r A r 罪 （ A − r A ） ： 罪 r B r 罪 （ B − r B ） ： 罪 r C r 罪 （ C − r C ） ⟹ 限界 r → 0 A 罪 r A r A 罪 （ A − r A ） ： B 罪 r B r B 罪 （ B − r B ） ： C 罪 r C r C 罪 （ C − r C ） {\displaystyle {\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{r\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{r\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{r\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {A\sin rA}{rA\sin(A-rA)}}&:&{\frac {B\sin rB}{rB\sin(B-rB)}}&:&{\frac {C\sin rC}{rC\sin(C-rC)}}\end{array}}}
なぜならlim r → 0 sin r A r A = lim r → 0 sin r B r B = lim r → 0 sin r C r C = 1 , {\displaystyle \lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rA}{rA}}=\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rB}{rB}}=\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rC}{rC}}=1,}
⟹ A sin A : B sin B : C sin C = A a : B b : C c {\displaystyle \implies {\frac {A}{\sin A}}\ :\ {\frac {B}{\sin B}}\ :\ {\frac {C}{\sin C}}\quad =\quad {\frac {A}{a}}\ :\ {\frac {B}{b}}\ :\ {\frac {C}{c}}}
ホフスタッター一点は、 rが1に近づくにつれてホフスタッター r 点 の極限となるため、ホフスタッター一点の三線座標は次のように導出される
lim r → 1 sin r A sin ( A − r A ) : sin r B sin ( B − r B ) : sin r C sin ( C − r C ) ⟹ lim r → 1 ( 1 − r ) sin r A sin ( A − r A ) : ( 1 − r ) sin r B sin ( B − r B ) : ( 1 − r ) sin r C sin ( C − r C ) ⟹ lim r → 1 ( 1 − r ) A sin r A A sin ( A − r A ) : ( 1 − r ) B sin r B B sin ( B − r B ) : ( 1 − r ) C sin r C C sin ( C − r C ) {\displaystyle {\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)A\sin rA}{A\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)B\sin rB}{B\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)C\sin rC}{C\sin(C-rC)}}\end{array}}}
なぜならlim r → 1 ( 1 − r ) A sin ( A − r A ) = lim r → 1 ( 1 − r ) B sin ( B − r B ) = lim r → 1 ( 1 − r ) C sin ( C − r C ) = 1 , {\displaystyle \lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)A}{\sin(A-rA)}}=\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)B}{\sin(B-rB)}}=\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)C}{\sin(C-rC)}}=1,}
⟹ sin A A : sin B B : sin C C = a A : b B : c C {\displaystyle \implies {\frac {\sin A}{A}}\ :\ {\frac {\sin B}{B}}\ :\ {\frac {\sin C}{C}}\quad =\quad {\frac {a}{A}}\ :\ {\frac {b}{B}}\ :\ {\frac {c}{C}}}
参考文献 ^ a b c キンバリング、クラーク「ホフスタッターポイント」 。2012年 5月11日 閲覧 ^ Weisstein, Eric W. 「Hofstadter Triangle」 . MathWorld--A Wolfram Web Resource . 2012年 5月11日 閲覧 。 ^ C. キンバリング (1994)。 「ホフスタッターポイント」。 ウィスクンデの新しい大首 。 12 : 109–114 . 
![{\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}A(r)&=&1&:&{\frac {\sin rB}{\sin(1-r)B}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]B(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&1&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]C(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&{\frac {\sin(1-r)B}{\sin rB}}&:&1\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c8014473d16c2489e774044b3a983a23731175)
![{\displaystyle {\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{r\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{r\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{r\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {A\sin rA}{rA\sin(A-rA)}}&:&{\frac {B\sin rB}{rB\sin(B-rB)}}&:&{\frac {C\sin rC}{rC\sin(C-rC)}}\end{配列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9238946f866d06c5e5623357d64cea11a30a8dc0)
![{\displaystyle {\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)A\sin rA}{A\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)B\sin rB}{B\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)C\sin rC}{C\sin(C-rC)}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a03da04ca3d8c41db955320ce7f319d1edfcb1)
