ホレボの定理

ホレボの定理は量子情報理論における帰結の一つです。量子状態について知ることができる情報量、すなわちアクセス可能な情報量の上限を与えるため、ホレボの境界と呼ばれることもあります。この定理は1973年に アレクサンダー・ホレボによって初めて発表されました。

声明

設定

アリスが古典的なメッセージを量子状態にエンコードしてボブに送信したいとします。アリスはある固定された集合 から状態を準備でき、i番目の状態は確率 で準備されるとします。 はアリスが選択した状態を格納する古典的なレジスタとします。ボブの目的は、受信した状態に対してPOVMを測定することでの値を復元することです。はボブの測定結果を格納する古典的なレジスタとします。これは、分布がボブの測定の選択に依存するランダム変数です。 ${\displaystyle \{\rho _{1},...,\rho _{n}\}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

ホレボの定理は、ボブの測定の選択とは独立に、ホレボ情報を用いて、古典レジスタと間の相関の大きさを規定します。ホレボ情報は測定の選択に依存しないため、この定理は、すべての可能な測定に対して最適化を行う必要のない限界値を与えます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

正確な発言

との間のアクセス可能な情報を、ボブの測定のあらゆる可能な選択肢において最大化された2つのレジスタ間の（古典的な）相互情報量 と定義します。 ここでは、によって与えられる結合確率分布の古典的な相互情報量です。アクセス可能な情報量 の一般的な公式は存在しません。しかし、常に上限が存在します。 ここで はアリスが情報を送信するために使用する状態の集合であり、はフォン・ノイマン・エントロピーです。この量は、 Holevo情報量またはHolevo χ量と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle I_{\rm {acc}}(X:Y)=\sup _{\{\Pi _{i}^{B}\}_{i}}I(X:Y|\{\Pi _{i}^{B}\}_{i}),}$$ ${\displaystyle I(X:Y|\{\Pi _{i}^{B}\}_{i})}$ ${\displaystyle p_{ij}=p_{i}\operatorname {Tr} (\Pi _{j}^{B}\rho _{i})}$ $${\displaystyle I_{\rm {acc}}(X:Y)\leq \chi (\eta )\equiv S\left(\sum _{i}p_{i}\rho _{i}\right)-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}),}$$ ${\displaystyle \eta \equiv \{(p_{i},\rho _{i})\}_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \chi (\eta )}$

ホレボ情報は、アンサンブルに対応する古典量子状態の量子相互情報量とも等しい。ここで、二部状態の量子相互情報量はである。ホレボの定理は、古典量子状態の量子相互情報量の観点から、アクセス可能な情報の上限として述べることもできる。 $${\displaystyle \chi (\eta )=I\left(\sum _{i}p_{i}|i\rangle \!\langle i|\otimes \rho _{i}\right),}$$ ${\displaystyle I(\rho _{AB})\equiv S(\rho _{A})+S(\rho _{B})-S(\rho _{AB})}$ ${\displaystyle \rho_{AB}}$

証拠

アリスの古典入力、量子システム、ボブの古典出力を含む通信プロセス全体を記述する複合システムを考えてみましょう。古典入力 は、ある直交基底 に関する古典レジスタとして表すことができます。このように記述することにより、状態のフォン・ノイマン・エントロピーは確率分布 のシャノン・エントロピーに対応します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho ^{X}:=\sum \nolimits _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|}$ ${\displaystyle \{|x\rangle \}_{x=1}^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S(X)}$ ${\displaystyle \rho^{X}}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle \{p_{x}\}_{x=1}^{n}}$

${\displaystyle S(X)=-\operatorname {tr} \left(\rho ^{X}\log \rho ^{X}\right)=-\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\right)=-\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}=H(X).}$

アリスが確率 で状態を準備するシステムの初期状態は、次のように記述されます。 ${\displaystyle \rho_{x}}$ ${\displaystyle p_{x}}$

${\displaystyle \rho ^{XQ}:=\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}.}$

その後、アリスは量子状態をボブに送信します。ボブは量子系にはアクセスできても入力にはアクセスできないため、 の形の混合状態を受け取ります。ボブはこの状態をPOVM要素に関して測定し、その結果を測定する確率は古典的な出力 から得られます。この測定プロセスは量子計測器として記述できます。${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho :=\operatorname {tr} _{X}\left(\rho ^{XQ}\right)=\sum \nolimits _{x=1}^{n}p_{x}\rho _{x}}$ ${\displaystyle \{E_{y}\}_{y=1}^{m}}$ ${\displaystyle \{q_{y}\}_{y=1}^{m}}$ ${\displaystyle y=1,2,\dots ,m}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{Q}(\rho _{x})=\sum _{y=1}^{m}q_{y|x}\rho _{y|x}\otimes |y\rangle \langle y|,}$

ここでは状態 における結果の確率であり、あるユニタリ に対しては正規化された測定後の状態である。すると、測定プロセス後のシステム全体の状態は ${\displaystyle q_{y|x}=\operatorname {tr} \left(E_{y}\rho _{x}\right)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \rho_{x}}$ ${\displaystyle \rho _{y|x}=W{\sqrt {E_{y}}}\rho _{x}{\sqrt {E_{y}}}W^{\dagger }/q_{y|x}}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \rho ^{XQ'Y}:=\left[{\mathcal {I}}^{X}\otimes {\mathcal {E}}^{Q}\right]\!\left(\rho ^{XQ}\right)=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x}q_{y|x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{y|x}\otimes |y\rangle \langle y|.}$

ここで、システム 上の恒等通信路 は量子通信路であり、量子相互情報量は完全に正のトレース保存写像の下で単調であるので、 ^{[ 1 ]}。さらに、上の部分トレースも完全に正でトレース保存なので、となる。これらの2つの不等式から、 ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{Q}}$ ${\displaystyle S(X:Q'Y)\leq S(X:Q)}$ ${\displaystyle Q'}$ ${\displaystyle S(X:Y)\leq S(X:Q'Y)}$

${\displaystyle S(X:Y)\leq S(X:Q).}$

左側の関心量は、

${\displaystyle \rho ^{XY}:=\operatorname {tr} _{Q'}\left(\rho ^{XQ'Y}\right)=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x}q_{y|x}|x\rangle \langle x|\otimes |y\rangle \langle y|=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x,y}|x,y\rangle \langle x,y|,}$

結合確率 を持つ。明らかに、と同じ形をとる と は古典的なレジスタを記述する。したがって、 ${\displaystyle p_{x,y}=p_{x}q_{y|x}}$ ${\displaystyle \rho ^{XY}}$ ${\displaystyle \rho ^{Y}:=\operatorname {tr} _{X}(\rho ^{XY})}$ ${\displaystyle \rho ^{X}}$

${\displaystyle S(X:Y)=S(X)+S(Y)-S(XY)=H(X)+H(Y)-H(XY)=I(X:Y).}$

一方、期間によって ${\displaystyle S(X:Q)}$

${\displaystyle \log \rho ^{XQ}=\log \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\right)=\sum _{x=1}^{n}|x\rangle \langle x|\otimes \log \left(p_{x}\rho _{x}\right)=\sum _{x=1}^{n}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes I^{Q}+\sum _{x=1}^{n}|x\rangle \langle x|\otimes \log \rho _{x},}$

ここでは量子系上の恒等演算子である。すると、右辺は ${\displaystyle I^{Q}}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(X:Q)&=S(X)+S(Q)-S(XQ)\\&=S(X)+S(\rho )+\operatorname {tr} \left(\rho ^{XQ}\log \rho ^{XQ}\right)\\&=S(X)+S(\rho )+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\right)+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\log \rho _{x}\right)\\&=S(X)+S(\rho )+\underbrace {\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\right)} _{-S(X)}+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\rho _{x}\log \rho _{x}\right)\\&=S(\rho )+\sum _{x=1}^{n}p_{x}\underbrace {\operatorname {tr} \left(\rho _{x}\log \rho _{x}\right)} _{-S(\rho _{x})}\\&=S(\rho )-\sum _{x=1}^{n}p_{x}S(\rho _{x}),\end{aligned}}}$

これで証明は完了です。

コメントと発言

本質的に、ホレボ境界は、 n個の量子ビットが（量子重ね合わせのおかげで）より多くの（古典的な）情報を「運ぶ」ことができるものの、取り出す（つまりアクセスする）ことができる古典的な情報の量は、最大でn個の古典的な（量子符号化されていない）ビットまでしかできないことを証明している。また、量子ビットが計算過程を通じて古典的な方法よりも多くの情報を運ぶ計算が存在することが、理論的にも実験的にも確立されている。^{[ 2 ]}

参照

• 古典的な容量
• 超高密度符号化

参考文献

1. Preskill, John (2016年6月). 「第10章 量子シャノン理論」(PDF) .量子情報. pp.  23– 24. 2021年6月30日閲覧。
2. Maslov, Dmitri; Kim, Jin-Sung; Bravyi, Sergey; Yoder, Theodore J.; Sheldon, Sarah (2021-06-28). 「限られた空間での計算における量子優位性」. Nature Physics . 17 (8): 894– 897. arXiv : 2008.06478 . Bibcode : 2021NatPh..17..894M . doi : 10.1038/s41567-021-01271-7 . S2CID 221136153 . 

さらに読む

• ホレボ、アレクサンダー・S. (1973). 「量子通信チャネルによって伝送される情報量の限界」『情報伝送の問題』9 : 177-183 .
• ニールセン, マイケル・A. ;チュアン, アイザック・L. (2000). 『量子計算と量子情報』 ケンブリッジ大学出版局, イギリス. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC  43641333 . （531ページ、12.1.1節の式（12.6）を参照）
• ワイルド、マーク・M. (2011). 「古典的シャノン理論から量子的シャノン理論へ」. arXiv : 1106.1445v2 [ quant-ph ].特に11.6節以降を参照してください。Holevoの定理は288ページの演習11.9.1に示されています。