ホルム・ボンフェローニ法

統計学において、ホルム・ボンフェローニ法^[1]（ホルム法、ボンフェローニ・ホルム法とも呼ばれる）は、多重比較の問題に対処するために用いられる。この法は、ファミリーワイズエラー率（FWER）を制御することを目的としており、ボンフェローニ補正よりも一様に強力な単純な検定法を提供する。この法は、この法を体系化したスチューレ・ホルムとカルロ・エミリオ・ボンフェローニにちなんで名付けられている。

モチベーション

複数の仮説を検討する場合、多重性の問題が生じます。つまり、検定する仮説の数が増えるほど、第1種の誤り（偽陽性）が発生する確率が高くなります。ホルム・ボンフェローニ法は、個々の仮説の棄却基準を調整することで、FWER（第1種の誤りが1つ以上発生する確率）を制御する多くの手法の一つです。^[要出典]

処方

方法は次のとおりです。

• 最小から最大の順に並べられたp値と、それに対応する仮説（帰無仮説）があるとします。FWERが、事前に指定した有意水準を超えないようにしたいとします。${\displaystyle m}$ ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{m}}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{m}}$ ${\displaystyle \alpha}$
• ですか? そうであれば、拒否して次のステップに進みます。そうでない場合は、終了します。${\displaystyle P_{1}\leq \alpha /m}$ ${\displaystyle H_{1}}$
• ですか? そうであれば、これも拒否して次のステップに進みます。そうでない場合は、終了します。${\displaystyle P_{2}\leq \alpha /(m-1)}$ ${\displaystyle H_{2}}$
• 以下同様に、各P値について、 かどうかを検定します。 が成り立つ場合は棄却し、より大きなP値の検討を続けます。 が成り立たない場合は、EXITを実行します。${\displaystyle P_{k}\leq {\frac {\alpha }{m+1-k}}}$ ${\displaystyle H_{k}}$

この方法により、強い意味で FWER が最大 になることが保証されます。${\displaystyle \alpha}$

根拠

単純ボンフェローニ補正では、 p値が 未満または に等しい帰無仮説のみを棄却します。これは、FWER、すなわち1つ以上の真の帰無仮説を棄却するリスク（すなわち、1つ以上のタイプIの誤りを犯すリスク）が最大 になることを保証するためです。このタイプIの誤りに対する保護の代償として、1つ以上の誤った帰無仮説を棄却できないリスク（すなわち、1つ以上のタイプIIの誤りを犯すリスク）が増大します。 ${\displaystyle {\frac {\alpha }{m}}}$ ${\displaystyle \alpha}$

Holm–Bonferroni法もFWERを で制御しますが、古典的なBonferroni法よりもタイプIIの誤りリスクの増加は少なくなります。Holm–Bonferroni法は、p値を最小値から最大値の順に並べ替え、それらをそれぞれからの名目アルファ水準、つまり の値と比較します。 ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha }{m}}}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha }{m}},{\frac {\alpha }{m-1}},\ldots ,{\frac {\alpha }{2}},{\frac {\alpha }{1}}}$

• この指標は、棄却を検証するには十分に低くない最初のp値を特定します。したがって、帰無仮説は棄却されますが、帰無仮説は棄却されません。${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H_{(1)},\ldots ,H_{(k-1)}}$ ${\displaystyle H_{(k)},...,H_{(m)}}$
• その場合、 p値が棄却されるほど低くはないため、帰無仮説は棄却されません。${\displaystyle k=1}$
• そのような指標が見つからない場合、すべてのp値は拒否できるほど低いため、すべての帰無仮説は拒否されます（いずれも受け入れられません）。${\displaystyle k}$

証拠

p値でソートされた仮説群を とします。を（未知の）真の帰無仮説に対応するインデックスの集合とし、そのメンバーを とします。 ${\displaystyle H_{(1)}\ldots H_{(m)}}$ ${\displaystyle P_{(1)}\leq P_{(2)}\leq \cdots \leq P_{(m)}}$ ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle m_{0}}$

主張: ある真の仮説を誤って棄却した場合、が最大でも である真の仮説が存在します。 ${\displaystyle H_{(\ell )}}$ ${\displaystyle P_{(\ell )}}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha }{m_{0}}}}$

まず、この場合、少なくとも1つの真の仮説が存在するため、 であることに注意してください。が最初に棄却される真の仮説となるようなものとしましょう。すると、はすべて棄却される偽の仮説となります。したがって、(1) が成り立ち、したがって(1) となります。 が棄却されるため、検定手順の定義により、 となります。(1) を用いると、期待通り が成り立ちます。 ${\displaystyle m_{0}\geq 1}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle H_{(\ell )}}$ ${\displaystyle H_{(1)},\ldots ,H_{(\ell -1)}}$ ${\displaystyle \ell -1\leq m-m_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{m-\ell +1}}\leq {\frac {1}{m_{0}}}}$ ${\displaystyle H_{(\ell )}}$ ${\displaystyle P_{(\ell )}\leq {\frac {\alpha }{m-\ell +1}}}$ ${\displaystyle P_{(\ell )}\leq {\frac {\alpha }{m_{0}}}}$

では、ランダム事象 を定義しましょう。 について、は真の帰無仮説なので、 が成り立つことに注意してください。確率測度の劣加法性から、 が成り立ちます。したがって、真の仮説を棄却する確率は最大で です。 ${\displaystyle A=\bigcup _{i\in I_{0}}\left\{P_{i}\leq {\frac {\alpha }{m_{0}}}\right\}}$ ${\displaystyle i\in I_{o}}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle P\left(\left\{P_{i}\leq {\frac {\alpha }{m_{0}}}\right\}\right)={\frac {\alpha }{m_{0}}}}$ ${\displaystyle \Pr(A)\leq \sum _{i\in I_{0}}P\left(\left\{P_{i}\leq {\frac {\alpha }{m_{0}}}\right\}\right)=\sum _{i\in I_{0}}{\frac {\alpha }{m_{0}}}=\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

代替証明

ホルム・ボンフェローニ法は閉じた検定手順とみなすことができ、^[2]ボンフェローニ補正は帰無仮説の各交点に局所的に適用される。

閉包原理は、レベル での FWER を制御しながら、仮説ファミリー内の仮説が、 との交差のすべてのサブファミリーがレベル で拒否される場合にのみ拒否されることを述べています。 ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{m}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle \alpha }$

ホルム・ボンフェローニ法は、検定対象となる帰無仮説の交差の総数が オーダーであるのに対し、比較回数が オーダー以下であるため、近似法と言える。この法則は、強い意味でのFWERを制御する。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 2^{m}}$

Holm–Bonferroni法では、まず を検定します。 が棄却されない場合、すべての帰無仮説の交差も棄却されません。つまり、棄却されない基本仮説ごとに少なくとも1つの交差仮説が存在するため、どの基本仮説も棄却されません。 ${\displaystyle H_{(1)}}$ ${\displaystyle \bigcap \nolimits _{i=1}^{m}H_{i}}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{m}}$

がレベルで棄却される場合、それを含むすべての交差サブファミリーも棄却されるため、 は棄却されます。これは、 が各交差サブファミリーにおいて最小であり、サブファミリーのサイズが最大 であるため、Bonferroni閾値が よりも大きくなるためです。 ${\displaystyle H_{(1)}}$ ${\displaystyle \alpha /m}$ ${\displaystyle H_{(1)}}$ ${\displaystyle P_{(1)}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \alpha /m}$

にも同じ論理的根拠が当てはまります。しかし、 はすでに棄却されているため、を含まないの交差部分族をすべて棄却すれば十分です。が成立すると、 を含む交差はすべて棄却されます。 ${\displaystyle H_{(2)}}$ ${\displaystyle H_{(1)}}$ ${\displaystyle H_{(2)}}$ ${\displaystyle H_{(1)}}$ ${\displaystyle P_{(2)}\leq \alpha /(m-1)}$ ${\displaystyle H_{(2)}}$

それぞれに同じことが適用されます。 ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$

例

調整されていないp値、、および を持つ4つの帰無仮説を有意水準 で検定するとします。この手順はステップダウン方式であるため、最初にp値 が最小となる を検定します。p値を と比較するため、帰無仮説は棄却され、次の仮説に進みます。も棄却されるため、続行します。次の仮説はであるため、棄却されません。検定を中止し、と は棄却され、 と は棄却されないと結論付けます。ただし、水準 でファミリーワイズ誤差率を制御します。 が適用されますが、は棄却されないことに注意してください。これは、棄却に失敗した場合、検定手順が停止するためです。 ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{4}}$ ${\displaystyle p_{1}=0.01}$ ${\displaystyle p_{2}=0.04}$ ${\displaystyle p_{3}=0.03}$ ${\displaystyle p_{4}=0.005}$ ${\displaystyle \alpha =0.05}$ ${\displaystyle H_{4}=H_{(1)}}$ ${\displaystyle p_{4}=p_{(1)}=0.005}$ ${\displaystyle \alpha /4=0.0125}$ ${\displaystyle p_{1}=p_{(2)}=0.01<0.0167=\alpha /3}$ ${\displaystyle H_{1}=H_{(2)}}$ ${\displaystyle H_{3}}$ ${\displaystyle p_{3}=p_{(3)}=0.03>0.025=\alpha /2}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{4}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H_{3}}$ ${\displaystyle \alpha =0.05}$ ${\displaystyle p_{2}=p_{(4)}=0.04<0.05=\alpha }$ ${\displaystyle H_{2}}$

拡張機能

ホルム・シダーク法

仮説検定が負に依存していない場合は、次のように置き換えることができます。 ${\displaystyle {\frac {\alpha }{m}},{\frac {\alpha }{m-1}},\ldots ,{\frac {\alpha }{1}}}$

${\displaystyle 1-(1-\alpha )^{1/m},1-(1-\alpha )^{1/(m-1)},\ldots ,1-(1-\alpha )^{1}}$

結果的に、テストの威力が若干増します。

加重バージョン

を順序付けされた未調整p値とする。をに対応するものと する。${\displaystyle P_{(1)},\ldots ,P_{(m)}}$ ${\displaystyle H_{(i)}}$ ${\displaystyle 0\leq w_{(i)}}$ ${\displaystyle P_{(i)}}$ ${\displaystyle H_{(i)}}$

${\displaystyle P_{(j)}\leq {\frac {w_{(j)}}{\sum _{k=j}^{m}w_{(k)}}}\alpha ,\quad j=1,\ldots ,i}$

調整済みp-値

Holm–Bonferroni法の 調整済みp値は次のとおりです。

${\displaystyle {\widetilde {p}}_{(i)}=\max _{j\leq i}\left\{(m-j+1)p_{(j)}\right\}_{1},{\text{ where }}\{x\}_{1}\equiv \min(x,1).}$

前の例では、調整済みp値は、、です。レベル では仮説とのみが棄却されます。 ${\displaystyle {\widetilde {p}}_{1}=0.03}$ ${\displaystyle {\widetilde {p}}_{2}=0.06}$ ${\displaystyle {\widetilde {p}}_{3}=0.06}$ ${\displaystyle {\widetilde {p}}_{4}=0.02}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{4}}$ ${\displaystyle \alpha =0.05}$

Holm-Šidák法の同様の調整p値は、 （ ）として再帰的に定義できます。の不等式により、Holm-Šidák法はHolm–Bonferroni法よりも強力になります。 ${\displaystyle {\widetilde {p}}_{(i)}=\max \left\{{\widetilde {p}}_{(i-1)},1-(1-p_{(i)})^{m-i+1}\right\}}$ ${\displaystyle {\widetilde {p}}_{(1)}=1-(1-p_{(1)})^{m}}$ ${\displaystyle 1-(1-\alpha )^{1/n}<\alpha /n}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

加重調整p値は次のとおりです。^{[引用が必要]}

${\displaystyle {\widetilde {p}}_{(i)}=\max _{j\leq i}\left\{{\frac {\sum _{k=j}^{m}{w_{(k)}}}{w_{(j)}}}p_{(j)}\right\}_{1},{\text{ where }}\{x\}_{1}\equiv \min(x,1).}$

仮説は、調整済みp値がα未満の場合にのみ、水準αで棄却されます。先ほどの均等重み付けの例では、調整済みp値は0.03、0.06、0.06、0.02でした。これは、α = 0.05とした場合、この手順では仮説1と4のみが棄却されることを示す別の表現です。

代替案と使用法

Holm–Bonferroni 法は、古典的なBonferroni 補正よりも「一様に」強力であり、常に少なくとも同等の強力であることを意味します。

FWERを制御するための、Holm-Bonferroni法よりも強力な他の方法も存在します。例えば、Hochberg法では、となる最大指数を見つけた後に を棄却します。したがって、Hochberg法はHolm法よりも一様に強力です。しかし、Hochberg法では仮説が独立であるか、特定の形式の正の従属関係にあることが必要ですが、Holm-Bonferroni法はそのような仮定なしに適用できます。同様のステップアップ法としてHommel法があり、これはHochberg法よりも一様に強力です。^[3]${\displaystyle H_{(1)}\ldots H_{(k)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P_{(k)}\leq {\frac {\alpha }{m+1-k}}}$

ネーミング

カルロ・エミリオ・ボンフェローニは、ここで説明する手法の発明には関与していません。ホルムは当初この手法を「逐次拒絶ボンフェローニ検定」と呼んでいましたが、その後しばらくしてホルム・ボンフェローニとして知られるようになりました。ホルムがボンフェローニにちなんでこの手法を命名した理由は、原著論文で説明されています。「多重推論理論におけるブール不等式の使用は、通常ボンフェローニ法と呼ばれており、このため、本稿ではこの検定を逐次拒絶ボンフェローニ検定と呼ぶことにします。」

参考文献

1. Holm, S. (1979). 「単純な逐次拒否多重検定手順」. Scandinavian Journal of Statistics . 6 (2): 65– 70. JSTOR  4615733. MR  0538597.
2. Marcus, R.; Peritz, E.; Gabriel, KR (1976). 「順序付き分散分析を特に考慮した閉試験手順について」Biometrika . 63 (3): 655– 660. doi :10.1093/biomet/63.3.655.
3. Hommel, G. (1988). 「改良Bonferroni検定に基づく段階的拒否多重検定法」. Biometrika . 75 (2): 383– 386. doi :10.1093/biomet/75.2.383. hdl : 2027.42/149272 . ISSN  0006-3444.