相同安定性

数学において、ホモロジー安定性とは、群の系列の群ホモロジーが安定である と主張する定理のいずれかである。${\displaystyle G_{1}\subset G_{2}\subset \cdots }$

${\displaystyle H_{i}(G_{n})}$

は、 nが十分大きい場合（ iに依存する）、 nに依存しない。写像が同型となる最小のnは安定範囲と呼ばれる。ホモロジー安定性の概念はダニエル・キレンによって開拓され、彼の証明手法は様々な状況で応用されてきた。^{[ 1 ]}${\displaystyle H_{i}(G_{n})\to H_{i}(G_{n+1})}$

例

このようなグループの例としては次のようなものがあります。

グループ	名前
対称群${\displaystyle S_{n}}$	中岡安定性[ 2 ]
編組グループ${\displaystyle B_{n}}$	[ 3 ]
（特定の）環Rの一般線型群${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(R)}$	[ 4 ] [ 5 ]
面の写像類群（ nは面の種数）	ハラー安定性[ 6 ]
自由群の自己同型群、${\displaystyle \operatorname {Aut} (F_{n})}$	[ 7 ]

アプリケーション

場合によっては、グループの相同性

${\displaystyle G_{\infty }=\bigcup _{n}G_{n}}$

は他の方法で計算できるか、他のデータと関連しています。例えば、バラット・プリディの定理は、無限対称群のホモロジーが球面の写像空間と一致することを関係付けています。これは、のプラス構成と球面スペクトルとの関係としても述べることができます。同様に、のホモロジーは、+構成を介して、Rの代数的K理論と関連しています。 ${\displaystyle \operatorname {BS} _{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{\infty }(R)}$

参考文献

1. Quillen, D. (1973). 「代数的整数環の群K _iの有限生成」.代数的K理論 I：高次K理論. 数学講義ノート. 第341巻. Springer. pp.  179– 198.
2. 中岡実 (1961). 「無限対称群のホモロジー」.数学会誌. 2. 73 : 229–257 . doi : 10.2307/1970333 .
3. Arnol'd, VI (1969). 「有色組紐群のコホモロジー環」.数学ノート. 5 (2): 138– 140. doi : 10.1007/bf01098313 .
4. Suslin, AA (1982),代数的K理論における安定性. 代数的K理論 第1部 (Oberwolfach, 1980) , Lecture Notes in Math., 966, Springer, pp.  304– 333
5. Van der Kallen, W. (1980). 「線型群のホモロジー安定性」(PDF) . Invent. Math . 60 : 269–295 . doi : 10.1007/bf01390018 .
6. Harer, JL (1985). 「有向曲面の写像類群のホモロジーの安定性」Annals of Mathematics . 121 : 215– 249. doi : 10.2307/1971172 .
7. Hatcher, Allen ; Vogtmann, Karen (1998). 「グラフのサーフ理論」J. London Math. Soc . Series 2. 58 (3): 633– 655. doi : 10.1112/s0024610798006644 .