鎖状複体のホモトピー圏

数学のホモロジー代数において、加法圏Aの連鎖複体のホモトピー圏K(A)は、連鎖ホモトピーとホモトピー同値を扱う枠組みである。これは、Aがアーベルである場合のAの連鎖複体の圏Kom(A)とAの導来圏D(A)の中間に位置し、前者とは異なり三角形化された圏であり、後者とは異なり、その形成にはAがアーベルである必要はない。哲学的には、D(A)はKom(A)の準同型である複体の写像を同型に変換するが、K(A)は「十分な理由」、つまりホモトピー同値を除いて実際に逆写像を持つという理由で準同型であるものに対してのみ同型に変換する。したがって、K(A)はD(A)よりも理解しやすい。

定義

Aを加法圏とする。ホモトピー圏K(A)は次の定義に基づく：複体A、BとAからBへの写像f、gがあるとすると、fからgへの連鎖ホモトピーは写像の集合（複体の写像 ではない）であって、${\displaystyle h^{n}\colon A^{n}\to B^{n-1}}$

${\displaystyle f^{n}-g^{n}=d_{B}^{n-1}h^{n}+h^{n+1}d_{A}^{n},}$ あるいは単に${\displaystyle fg=d_{B}h+hd_{A}.}$

これは次のように表すことができます。

また、 fとgは連鎖ホモトピックである、あるいは はヌルホモトピック、あるいは0 にホモトピックであるとも言います。定義から明らかなように、ヌルホモトピックな複体の写像は加法に関して群を形成します。 ${\displaystyle fg}$

連鎖複体K(A)のホモトピー圏は次のように定義される：その対象はKom(A)の対象、すなわち連鎖複体と同じである。その射は「ホモトピーを法とする複体の写像」である。つまり、同値関係を定義する。

${\displaystyle f\sim g\ }$ fがgと同型の場合

定義する

${\displaystyle \オペレーター名 {Hom} _{K(A)}(A,B)=\オペレーター名 {Hom} _{Kom(A)}(A,B)/\sim }$

この関係による商となる。これはヌルホモトピック写像の部分群による商を取ることと同じであることに留意すれば、加法的なカテゴリが得られることは明らかである。

定義の以下の変形も広く使用されています:有界複体の代わりに、下有界複体( n<<0 の場合、 A n =0 ) ^、上有界複体( n >>0 の場合、 A ⁿ =0 )、または有界複体( |n|>>0 の場合、 A n =0 ⁾のみを取る場合は、下有界ホモトピーカテゴリなどと呼ばれます。 これらは、それぞれK ⁺ (A)、K ⁻ (A)、K ^b (A)で表されます。

K(A)における同型射は、 （連鎖）ホモトピー同値と呼ばれます。詳しくは、これは別の写像 が存在し 、その 2 つの合成が恒等写像 および にホモトピーであることを 意味します。 ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle g:B\rightarrow A}$ ${\displaystyle f\circ g\sim Id_{B}}$ ${\displaystyle g\circ f\sim Id_{A}}$

「ホモトピー」という名前は、位相空間のホモトピック写像が特異鎖のホモトピック（上記の意味で）写像を誘導するという事実に由来します。

備考

二つの連鎖ホモトピー写像fとg は、ホモロジー上で同じ写像を誘導します。これは、(f − g) は境界にサイクルを送りますが、境界 はホモロジーではゼロだからです。特に、ホモトピー同値は準同型です。（逆は一般に偽です。）これは、導来カテゴリに標準関数が存在することを示しています（Aがアーベルの場合）。 ${\displaystyle K(A)\rightarrow D(A)}$

三角形の構造

複素数AのシフトA[1]は次の複素数である 。

${\displaystyle A[1]:...\to A^{n+1}{\xrightarrow {d_{A[1]}^{n}}}A^{n+2}\to ...}$ （ご了承ください）、${\displaystyle (A[1])^{n}=A^{n+1}}$

ここで微分は です。 ${\displaystyle d_{A[1]}^{n}:=-d_{A}^{n+1}}$

射fの錐に対して写像錐をとる。自然な写像が存在する。

${\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B\to C(f)\to A[1]}$

この図は三角形と呼ばれます。ホモトピー圏K(A)は、任意のA、B、fに対して、上記の三角形と同型（ K(A)において、すなわちホモトピー同値）となるように区別された三角形を定義する場合、三角形分割圏となります。同じことは、有界変種K ⁺ (A)、K ⁻ (A)、K ^b (A)にも当てはまります。三角形はKom(A)でも意味を持ちますが、この圏はこれらの区別された三角形に関して三角形分割されていません。例えば、

${\displaystyle X{\xrightarrow {id}}X\to 0\to }$

は、恒等写像の円錐が複素数 0 と同型ではないため区別されません（ただし、零写像はホモトピー同値であるため、この三角形はK(A)において区別されます）。さらに、区別された三角形の回転はKom(A)では明らかに区別されませんが、（それほど明白ではありませんが） K(A)では区別されます。詳細は参考文献を参照してください。 ${\displaystyle C(id)\to 0}$

一般化

より一般的には、微分次数圏Cのホモトピー圏Ho(C)はCと同じ対象を持つと定義されますが、射は によって定義されます 。（これは、射が微分を尊重する必要のない複体の圏Cの場合、連鎖複体のホモトピーに帰着します。） Cが適切な意味で錐とシフトを持つ場合、Ho(C)も三角形化圏になります。 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{Ho(C)}(X,Y)=H^{0}\operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

参考文献

• マニン、ユーリ・イワノビッチ; Gelfand, Sergei I. (2003)、ホモロジー代数の方法、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-43583-9
• ワイベル、チャールズ・A.（1994）「ホモロジー代数入門」、ケンブリッジ高等数学研究第38巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-55987-4、MR  1269324、OCLC  36131259