フーパーのパラドックス

錯視

フーパーのパラドックスは、錯視に基づく偽りのパラドックスです。面積が32単位の幾何学的図形が4つの部分に分割され、最終的に面積がわずか30単位の長方形に組み立てられます。

説明

よく見ると、分割された図形の三角形は長方形の三角形と一致していないことに気づくでしょう。直角の短辺の長さは、元の図形では2単位ですが、長方形では1.8単位しかありません。これは、元の図形の実三角形が長方形の中で重なり合っていることを意味します。重なり合う部分は平行四辺形であり、その対角線と辺はピタゴラスの定理によって計算できます。

d_{1}={\sqrt {2^{2}+1^{2}}}={\sqrt {5}}

d_{2}={\sqrt {3^{2}+10^{2}}}={\sqrt {109}}

s_{1}={\sqrt {2^{2}+6^{2}}}={\sqrt {40}}

s_{2}={\sqrt {1^{2}+4^{2}}}={\sqrt {17}}

この平行四辺形の面積は、三角形のヘロンの公式を使って求めることができます。

s={\frac {d_{1}+s_{1}+s_{2}}{2}}={\frac {{\sqrt {5}}+{\sqrt {17}}+{\sqrt {40}}}{2}}

三角形の半分の円周（平行四辺形の半分）と平行四辺形の面積

{\begin{aligned}F&=2\cdot {\sqrt {s\cdot (s-s_{1})\cdot (s-s_{2})\cdot (s-d_{1})}}\\[5pt]&=2\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {({\sqrt {5}}+{\sqrt {17}}+{\sqrt {40}})\cdot (-{\sqrt {5}}+{\sqrt {17}}+{\sqrt {40}})\cdot ({\sqrt {5}}-{\sqrt {17}}+{\sqrt {40}})\cdot ({\sqrt {5}}+{\sqrt {17}}-{\sqrt {40}})}}\\[5pt]&=2\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {16}}\\[5pt]&=2\end{aligned}}

。

したがって、2 つの三角形の重なり合う領域は、消失した領域 2 単位とまったく同じになります。

歴史

ウィリアム・フーパーは1774年に著書『合理的レクリエーション』の中でこのパラドックスを「幾何学的貨幣」と名付けて発表した。1774年版の著書には依然として誤った図が含まれており、1782年版で修正された。しかし、フーパーがこの幾何学的誤謬を初めて発表したわけではない。フーパーの著書は、 1769年にフランスで出版されたエドメ＝ジル・ギヨーの『物理学と数学の新たなレクリエーション』を大部分翻案したものだったからである。この本の記述にはフーパーの著書と同じ誤った図が含まれているが、これも後の版で修正された。

参照

参考文献

マーティン・ガードナー著『 数学、魔術、ミステリー』クーリエ社（ドーバー）、1956年、ISBN 9780486203355、129～155頁
グレッグ・N・フレデリクソン著『Dissections: Plane and Fancy』ケンブリッジ大学出版局、2003年、ISBN 9780521525824第23章、268～277ページ、特に271～274ページ（第23章のオンライン更新）
サイモン・デュアリング著『モダン・エンチャントメント：世俗的魔術の文化的力』ハーバード大学出版局、2004年、ISBN 978-0674013711、87ページ
ウィリアム・フーパー『合理的娯楽』ロンドン、1774年、286～287ページ（初版に欠陥あり）
ウィリアム・フーパー『合理的娯楽』ロンドン、1782年、286～287頁（訂正第2版）

外部リンク

フーパーのパラドックス：それはなぜ可能なのか？ cut-the-knot.orgより
マリアーノ・トマティス：クリスタル・スカルの呪いとその他の消失領域パズル
W.フーパーによる合理的な再現