ホップ代数

数学において、ホップ代数の理論において、ホップ代数（ホップだいすく）は、弱ホップ代数、特定の歪ホップ代数、可換ホップk代数（かくかく）の一般化である。kが体である場合、可換k代数（かくかく）はk代数のカテゴリにおけるコ群オブジェクトである。したがって、そのようなもののカテゴリは、群 k スキームのカテゴリと双対である。この可換バージョンは、1970 年代に代数幾何学および安定ホモトピー理論で使用されてきた。ホップ代数とその構造の主要部分である結合双代数（かくかく）の非可換基底代数への一般化は、J.-H. によって導入された。 1996年にLuはポアソン幾何学における群素体に関する研究の結果としてこの概念を提唱した（後に1970年代のTakeuchiによる構成や2000年頃のXuによる構成と非自明な方法で等価であることが示された）。これらは、非可換基本環上のホップ代数として大まかに考えることができ、弱ホップ代数は可分代数上のホップ代数となる。可分代数上の有限射影条件を満たすホップ代数は弱ホップ代数であり、逆に弱ホップ代数Hはその可分部分代数H ^L上のホップ代数であるという定理がある。対蹠公理は、テンソルカテゴリカルな理由と、深さ 2 のフロベニウス代数拡張に関連する例に対応するために、2004 年に G. Böhm と K. Szlachányi (J. Algebra) によって変更されました。

意味

ホップ代数^[1]^{pg301-302の定義の背後にある主な動機は、それが}アフィンスキームとして表現できる代数スタックの可換代数表現であるということである。より一般的には、ホップ代数は、アフィンスキームのカテゴリ上の群体の前層のデータを符号化する。^[2]つまり、アフィンスキームの群体オブジェクトがある場合、 ${\text{Aff}}$

$s,t:X_{1}\rightrightarrows X_{0}$

恒等写像が矢印へのオブジェクトの埋め込みを与えるので、ホップ代数の定義として、この構造を符号化する可換環の双対オブジェクトをとることができる。この処理は本質的に、アフィンスキームの圏における群スキームの定義への米田の補題の適用であることに注意されたい。基底環を固定したい場合もあるため、代わりに可換 -代数の圏を考える。 $\iota :X_{0}\to X_{1}$ ${\text{CRing}}$ ${\text{Aff}}$ ${\text{CRing}}_{k}$ $k$

スキーム理論的定義

定義における代数的対象

可換環上のホップ代数は、その点の関数が $k$ $k$ $(A,\Gamma )$ ${\text{CRing}}_{k}$

${\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,-)\rightrightarrows {\text{Hom}}_{k}(A,-)$

はの群体を符号化する。をの何らかの対象として固定すると、は群体内の対象の集合であり、は矢印の集合である。これは、写像 ${\text{Aff}}$ $B$ ${\text{CRing}}_{k}$ ${\text{Hom}}_{k}(A,B)$ ${\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,B)$

${\begin{aligned}\eta _{L}&:A\to \Gamma &{\text{ left unit/ source map}}\\\eta _{R}&:A\to \Gamma &{\text{ right unit/ target map}}\\\Delta &:\Gamma \to \Gamma \otimes _{A}\Gamma &{\text{ coproduct/ composition map}}\\\varepsilon &:\Gamma \to A&{\text{ counit/ identity map }}\\c&:\Gamma \to \Gamma &{\text{ conjugation/ inverse map}}\end{aligned}}$

ここで、スラッシュの左側のテキストはホップ代数構造を与える代数の写像を表す伝統的な言葉であり、スラッシュの右側のテキストは群体上の対応する構造である。

${\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,-)\rightrightarrows {\text{Hom}}_{k}(A,-)$

これらの写像は対応する。つまり、米田埋め込みからの双対写像は群体の構造を与える。例えば、

$\eta _{L}^{*}:{\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,-)\rightarrow {\text{Hom}}_{k}(A,-)$

ソースマップに対応します。 $s$

これらの地図が満たさなければならない公理

これらの写像に加えて、それらは群体の公理と双対な公理を多数満たす。注意： $B$ ${\text{CRing}}_{k}$

$\varepsilon \eta _{L}=\varepsilon \eta _{R}={\text{Id}}_{A}$ 、つまり、双対共単位写像は、 $\varepsilon ^{*}$ ${\text{Hom}}_{k}(A,B)$
$({\text{Id}}_{\Gamma }\otimes \varepsilon )\Delta =(\varepsilon \otimes {\text{Id}}_{\Gamma })\Delta ={\text{Id}}_{\Gamma }$ つまり、恒等式で矢印を構成しても、その矢印は変化しない。
$({\text{Id}}_{\Gamma }\otimes \Delta )\Delta =(\Delta \otimes {\text{Id}}_{\Gamma })\Delta$ 射の合成の結合性に対応する
$c\eta _{R}=\eta _{L}$ そして、射の反転はソースとターゲットを入れ替えることに等しい。 $c\eta _{L}=\eta _{R}$
$cc={\text{Id}}_{\Gamma }$ 、つまり逆写像の逆写像は元の写像である。
射とその逆射の両側の合成を表すこれらの存在写像は、恒等射を与える。これは以下の可換図で表すことができ、破線矢印はこれら2つの矢印の存在を表す。 $\Gamma \otimes _{A}\Gamma \rightrightarrows \Gamma$

地図とはどこですか？ $c\cdot \Gamma$ $c\cdot \Gamma (\gamma _{1}\otimes \gamma _{2})=c(\gamma _{1})\gamma _{2}$ $\Gamma \cdot c(\gamma _{1}\otimes \gamma _{2})=\gamma _{1}c(\gamma _{2})$

追加の構造

ホップ代数の標準的な定義に加えて、上に示した次数可換構造写像を持つ次数可換代数のペアである次数可換ホップ代数も存在します。 $(A,\Gamma )$

また、次数付きホップ代数は、右と左の部分加群が両方とも次のものと同型である場合に連結であるという。 $(A,\Gamma )$ $A$ $\Gamma _{0}\hookrightarrow \Gamma$ $A$

別の定義

左ホップ代数 ( H , R ) は、対掌体を伴う左双代数である。双代数 ( H , R ) は、全代数Hと基本代数Rおよび 2 つのマッピング、ソースマップと呼ばれる代数準同型s : R → Hとターゲットマップと呼ばれる代数反準同型t : R → Hで構成され、すべてのr ₁、r ₂ ∈ Rに対して、可換条件s ( r ₁ ) t ( r ₂ ) = t ( r 2 ) s ( r ₁₎が満たされる。公理はホップ代数の公理に似ているが、 Rが非可換代数であるか、sおよびtによるその像がHの中心にない可能性があることによって複雑になる。特に、左双代数 ( H , R ) はH上にR - R双加群構造を持ち、次のように左側が優先されます: r ₁ ⋅ h ⋅ r ₂ = s ( r ₁ ) t ( r ₂ ) h ( H、r ₁、r ₂ ∈ Rのすべてのhに対して)。余積 Δ: H → H ⊗ _R Hと余単位 ε: H → Rがあり、これにより ( H、R、 Δ、ε) はRコアリングになります (すべてのマッピングがR - R双加群準同型で、すべてのテンソルが R 上のRであるような余代数の公理と同様です)。さらに、双代数体（H、R）は、 H内のすべてのa、bに対してΔ（ ab）=Δ（a）Δ（b）を満たす必要があり、この最後の条件が意味を成すことを確認する条件：すべての像点Δ（a ) はRのすべてのrに対してa ₍₁₎ t ( r ) ⊗ a ₍₂₎ = a ₍₁₎ ⊗ a ₍₂₎ s ( r ) を満たす。また、 Δ(1) = 1 ⊗ 1 である。コユニットは ε(1 _H ) = 1 _Rと条件 ε( ab ) = ε( as (ε( b ))) = ε( at (ε( b ))) を満たす必要がある。

対蹠体S : H → Hは通常、ソース写像とターゲット写像の交換という条件を満たし、ホップ代数の対蹠体公理のような2つの公理を満たす代数反自己同型であるとされる。対蹠体Sの公理群については、より例カテゴリに馴染みやすいがやや複雑な、Lu または Böhm-Szlachányi の文献を参照のこと。後者の公理群は右双代数体の公理にも依存しており、これは上記の左双代数体の公理の左から右への単純な入れ替え（sとt ）である。

例

代数的位相幾何学から

ホップ代数の主要な例の一つは、スペクトルの対である。^[3]例えば、複素コボルディズムとブラウン・ピーターソン・ホモロジーを表すスペクトルのホップ代数、、およびそれらの切断は、代数位相幾何学において広く研究されている。これは、球面の安定ホモトピー群を計算するためのアダムズ・ノビコフ・スペクトル列において、これらが用いられるためである。 $(\pi _{*}(E),E_{*}(E))$ $E$ $(\pi _{*}({\text{MU}}),{\text{MU}}_{*}({\text{MU}}))$ $(\pi _{*}({\text{BP}}),{\text{BP}}_{*}({\text{BP}}))$

ホップ代数コアは形式群法則の積み重ねを表現する

ホップ代数体があり、これは代数位相幾何学を用いて構築される形式群法則の積み重ねを表わす。 ^[4]スペクトルをとすると、 ${\mathcal {M}}_{FG}$ ${\text{MP}}$

${\text{MP}}=\bigvee _{m\in \mathbb {Z} }\Sigma ^{2m}{\text{MU}}$

ホップ代数が存在する

${\text{MP}}_{0}\rightrightarrows {\text{MP}}_{0}({\text{MP}})$

スタックをコア表現する。これは、関数の同型性が存在することを意味する。 ${\mathcal {M}}_{FG}$

${\mathcal {M}}_{FG}(-)\cong [{\text{MP}}_{0}\rightrightarrows {\text{MP}}_{0}({\text{MP}})](-)$

ここで、右辺の関数は可換環を群に送る。 $B$

${\text{MP}}_{0}(B)\rightrightarrows {\text{MP}}_{0}({\text{MP}})(B)$

その他の例

左双代数体の例として、体k上の任意の代数Rを取ります。Hをその線型自己写像の代数とします。s(r) をR上のrによる左乗算、t ( r ) をR上のrによる右乗算とします。H はR上の左双代数体で、次のように見ることができます。H ⊗ R _H ≅ Hom _k ( R ⊗ R , R )という事実から、 Rからそれ自身とR内のすべての r 、 u への各線型変換f に対して、 Δ( f )( r ⊗ u ) = f ( ru )によって余積を定義できます。余積の共結合性は、 R上の積の共結合性から得られます。余単位は ε( f ) = f (1) で与えられます。コアリングの余単位公理は、Rにおける乗算の単位元条件から得られます。読者は、( H , R ) が左双代数であることを確認すると、面白く、あるいは少なくとも啓発されるでしょう。Rがアズマヤ代数の場合、つまりHがR ⊗ Rと同型である場合、テンソルの転置から反対称体が得られ、H はR上のホップ代数になります。別の例として、R を基底体とした場合が挙げられます。この場合、ホップ代数 ( H , R ) はホップ代数です。

参照

ホップ代数上の余加群

参考文献

^ レイヴネル、ダグラス・C. (1986). 複素コボルディズムと球面の安定ホモトピー群. オーランド: アカデミック・プレス. ISBN 978-0-08-087440-1 OCLC 316566772 。
^ Hovey, Mark (2001-05-16). 「ホップ代数と群素の前束に対する森田理論」. arXiv : math/0105137 .
^ ホプキンス. 「複素数指向コホモロジー理論とスタックの言語」(PDF) .
^ Douglas, Christopher L.; Francis, John; Henriques, André G.; Hill, Michael A. (2014年12月4日). 「4. Landweber exact functor theorem」. 位相モジュラー形式(PDF) . プロビデンス、ロードアイランド州. ISBN 978-1-4704-1884-7. OCLC 884782304。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

さらに読む

ボーム、ガブリエラ (2005). 「ホップ代数の代替概念」. ステファン・カネピール編.ホップ代数の非可換幾何学と物理学における応用数学. ホップ代数と量子群に関する会議議事録, ブリュッセル, ベルギー, 2002年5月28日–6月1日. 純粋応用数学講義ノート. 第239巻. ニューヨーク, マルセル・デッカー. pp. 31– 53. ISBN 978-0-8247-5759-5. Zbl 1080.16034。
ベーム、ガブリエラ。シュラチャニ、コルネル (2004)。「深さ 2 の抽象フロベニウス拡張のホップ代数対称性」。共通。代数。32 (11): 4433–4464。arXiv : math / 0305136 。土井：10.1081/AGB-200034171。S2CID 119162795。Zbl 1080.16036 。
Jiang-Hua Lu, "ホップ代数と量子群"、Int. J. Math. 7, n. 1 (1996) pp. 47–70、https://arxiv.org/abs/q-alg/9505024、https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=95e:16037、https://dx.doi.org/10.1142/S0129167X96000050

[Ravenel-1] レイヴネル、ダグラス・C. (1986). 複素コボルディズムと球面の安定ホモトピー群. オーランド: アカデミック・プレス. ISBN 978-0-08-087440-1 OCLC 316566772 。

[2] Hovey, Mark (2001-05-16). 「ホップ代数と群素の前束に対する森田理論」. arXiv : math/0105137 .

[3] ホプキンス. 「複素数指向コホモロジー理論とスタックの言語」(PDF) .

[4] Douglas, Christopher L.; Francis, John; Henriques, André G.; Hill, Michael A. (2014年12月4日). 「4. Landweber exact functor theorem」. 位相モジュラー形式(PDF) . プロビデンス、ロードアイランド州. ISBN 978-1-4704-1884-7. OCLC 884782304。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)