数学の一分野である組み合わせゲーム理論では、ホットゲームとは、各プレイヤーが次の動きをすることで自分の立場を向上させることができるゲームのことです。
対照的に、コールドゲームとは、各プレイヤーが次の手を取ることで自分の立場を悪化させることしかできないゲームです。コールドゲームのクラスは超実数クラスと同値であるため、値によって順序付けることができます。一方、ホットゲームは他の値を持つ場合があります。[1]
ぬるいゲーム、つまり温度がちょうどゼロのゲームもあります。ぬるいゲームは、厳密に数的なゲーム、つまり数と無限小数を足すゲームに分類されます。
ハッケンブッシュは、（紫色の山と緑のジャングルに 分解することによって[2] ）冷たく生ぬるいゲームしか表現できません。
例
例えば、プレイヤーが交互に自分の色のトークンをテーブルから取り除くゲームを考えてみましょう。青のプレイヤーは青のトークンだけを、赤のプレイヤーは赤のトークンだけを取り除き、最後にトークンを取り除いたプレイヤーが勝者となります。当然、より多くのトークンを最初に持っているプレイヤーが勝利しますが、赤と青のトークンの数が同数の場合は、後からトークンを取り除いたプレイヤーが勝利します。自分の色のトークンを取り除くと、そのプレイヤーのテーブル上のトークンの数が減るため、そのプレイヤーの立場はわずかに悪くなります。したがって、各トークンはゲームの「コールド」要素を表します。
ここで、「100」という数字が書かれた特別な紫色のトークンを考えてみましょう。このトークンはどちらのプレイヤーでも取り除くことができ、取り除いたプレイヤーは紫色のトークンを自分の色のトークン100個と交換します。（コンウェイの記法では、紫色のトークンは{100|-100}です。）紫色のトークンは「ホット」な要素です。なぜなら、紫色のトークンを取り除くプレイヤーは非常に有利だからです。実際、テーブル上に紫色のトークンがある場合、プレイヤーは最初にそれらを取り除いて、赤または青のトークンを最後に残すことを好むでしょう。一般的に、プレイヤーはホットゲームよりもコールドゲームで動くことを好むでしょう。なぜなら、ホットゲームで動くと自分のポジションが向上し、コールドゲームで動くと自分のポジションが損なわれるからです。
温度
ゲームの温度は、2人のプレイヤーにとっての価値の尺度です。紫色の「100」トークンは、各プレイヤーにとって100回の移動に相当するため、温度は100です。一般的に、プレイヤーは利用可能な最も熱いコンポーネントを動かすことを優先します。例えば、紫色の「100」トークンと、紫色の「1,000」トークンがあり、これを取ったプレイヤーは自分の色のトークンを1,000個テーブル上に捨てることができるとします。各プレイヤーは、温度1,000の「1,000」トークンを、温度100の「100」トークンよりも先に取り除くことを優先します。
もう少し複雑な例として、{10|2} + {5|−5} というゲームを考えてみましょう。{5|−5} はどちらのプレイヤーも自分の色のトークン 5 個と交換できるトークンであり、{10|2} は青のプレイヤーが青のトークン 10 個と交換するか、赤のプレイヤーが青のトークン 2 個と交換できるトークンです。
{10|2} 要素の温度は ½(10 − 2) = 4 であるのに対し、{5|−5} 要素の温度は 5 です。これは、各プレイヤーが {5|−5} 要素でプレイすることを優先すべきであることを示唆しています。実際、赤プレイヤーにとって最善の最初の動きは {5|−5} を −5 に置き換え、次に青プレイヤーが {10|2} を 10 に置き換えて合計 5 にすることです。赤プレイヤーが代わりにより冷たい {10|2} 要素に動いていた場合、最終的な位置は 2 + 5 = 7 となり、赤にとってより悪い結果になります。同様に、青プレイヤーにとって最善の最初の動きもより熱い要素、つまり {5|−5} から 5 への動きです。ただし、{10|2} 要素に動くと短期的にはより多くの青のトークンが生成されます。
スノート
Snortというゲームでは、赤と青のプレイヤーが交代でグラフの頂点を塗り分けます。ただし、辺で繋がれた2つの頂点は異なる色で塗ってはならないという制約があります。通常通り、最後に有効な手番を取ったプレイヤーが勝者となります。プレイヤーの手番は、隣接する頂点を事実上自分だけのものにすることで自分のポジションを向上させるため、Snort ではポジションは一般的にホットになります。一方、Snort によく似たゲームColでは、隣接する頂点が同じ色ではないため、ポジションは通常コールドになります。
アプリケーション
ホットゲームの理論は、囲碁の終盤戦略の分析にも応用されている。[3] [4]
参照
- ドミニアリング、ホットポジションが発生するもう一つのゲーム
- 冷却と加熱（組み合わせゲーム理論）、ホットゲームをコールドゲームと同じタイプの分析に適合させる操作
参考文献
- ^ 「ゲームの人生」. Mathenchant.wordpress.com. 2015年8月12日. 2019年1月9日閲覧。
- ^ シーゲル、アーロン（2023年11月20日）『組合せゲーム理論』アメリカ数学会ISBN 978-1-4704-7568-0。第2章、演習7.9
- ^ ベルレカンプ、エルウィン、ウルフ、デイヴィッド(1997). 『数学の囲碁：冷戦が最後の一点を握る』 AKピーターズ社ISBN 1-56881-032-6。
- ^ 参考文献はConway 2001, p. 108に掲載されている。
- バーレカンプ, エルウィン・P. ;コンウェイ, ジョン・H. ;ガイ, リチャード・K. (1982). 『Winning Ways』 第1巻（第1版）.ニューヨーク:アカデミック・プレス. ISBN 0-12-091150-7。
- コンウェイ、ジョン・H. (2001). 『数とゲームについて』（第2版）. AKピーターズ社. pp. 101– 108. ISBN 1-56881-127-6。
