ハウソンプロパティ
数学的性質

数学の分野である群論において、ハウソン性（有限生成交差性、FGIPとも呼ばれる）とは、群の性質であり、その群の任意の2つの有限生成部分群の交差は、やはり有限生成であるという性質である。この性質は、1954年の論文で自由群がこの性質を持つことを証明したアルバート・G・ハウソンにちなんで名付けられた。 [1]

正式な定義

群が ハウソン性を持つとは、任意の有限生成部分群の交差が再び有限生成部分群となるときである。[2] G {\displaystyle G} H 、 K {\displaystyle H,K} G {\displaystyle G} H ∩ K {\displaystyle H\cap K} G {\displaystyle G}

例と非例

  • すべての有限群はハウソン特性を持ちます。
  • この群はハウソン性を持たない。具体的には、が の因数の生成元である場合、およびに対してが成り立つ。したがって、は有限生成ではない。[3] G ＝ F （ 1つの 、 b ） × Z {\displaystyle G=F(a,b)\times \mathbb {Z} } t {\displaystyle t} Z {\displaystyle \mathbb {Z} } G {\displaystyle G} H ＝ F （ 1つの 、 b ） {\displaystyle H=F(a,b)} K ＝ ⟨ 1つの 、 t b ⟩ ≤ G {\displaystyle K=\langle a,tb\rangle \leq G} H ∩ K ＝ ncl F （ 1つの 、 b ） ⁡ （ 1つの ） {\displaystyle H\cap K=\operatorname {ncl} _{F(a,b)}(a)} H ∩ K {\displaystyle H\cap K}
  • がコンパクト面である場合、の基本群はハウソン性を持つ。[4] Σ {\displaystyle \Sigma } π 1 （ Σ ） {\displaystyle \pi _{1}(\Sigma )} Σ {\displaystyle \Sigma }
  • 自由-無限巡回群 は 、ハウソン性を持たない。[5] F n ⋊ Z {\displaystyle F_{n}\rtimes \mathbb {Z} } n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}
  • 3次元多様体に対する仮想ハーケン予想と仮想ファイバー予想の最近の証明を考慮すると、以前に確立された結果は、 Mが閉じた双曲型3次元多様体である場合、ハウソン性質を持たないことを意味している。[6] π 1 （ M ） {\displaystyle \pi _{1}(M)}
  • 3次元多様体群の中には、ハウソン性を持つものと持たないものが多数存在します。ハウソン性を持つ3次元多様体群には、無限体積の双曲型3次元多様体の基本群、ソル幾何学とニル幾何学に基づく3次元多様体群、いくつかの連結和とJSJ分解構成によって得られる3次元多様体群が含まれます。[6]
  • 任意のバウムスラッグ-ソリター群はハウソン性を持つ。[3] n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} B S （ 1 、 n ） ＝ ⟨ 1つの 、 t ∣ t − 1 1つの t ＝ 1つの n ⟩ {\displaystyle BS(1,n)=\langle a,t\mid t^{-1}at=a^{n}\rangle }
  • G が、すべての有限生成部分群がノイザン群である群である場合、Gはハウソン性を持つ。特に、すべてのアーベル群とすべての冪零群はハウソン性を持つ。
  • すべての多環式有限群はハウソン性を持つ。[7]
  • 群がハウソン性を持つならば、それらの自由積もハウソン性を持つ。[8]より一般的には、ハウソン性は、併合自由積を取ったり、有限部分群上のハウソン性を持つ群のHNN拡張を行ったりしても保存される。[9] あ 、 B {\displaystyle A,B} あ ∗ B {\displaystyle A\ast B}
  • 一般に、ハウソン性は、無限部分群上の併合積やHNN拡張にかなり敏感である。特に、自由群と無限巡回群に対して、併合自由積がハウソン性を持つのは、が と の両方において最大巡回部分群である場合のみである。[10] F 、 F ′ {\displaystyle F,F'} C {\displaystyle C} F ∗ C F ′ {\displaystyle F\ast _{C}F'} C {\displaystyle C} F {\displaystyle F} F ′ {\displaystyle F'}
  • 直角アルティン群が ハウソン性を持つのは、その連結成分が完全グラフである場合に限ります。[11] あ （ Γ ） {\displaystyle A(\Gamma )} Γ {\displaystyle \Gamma}
  • 極限群はハウソン性を持つ。[12]
  • ハウソン特性を有しているかどうかは不明である。 [13] S L （ 3 、 Z ） {\displaystyle SL(3,\mathbb {Z} )}
  • 群は と同型な部分群を含み、ハウソン性を持たない。[13] n ≥ 4 {\displaystyle n\geq 4} S L （ n 、 Z ） {\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )} F （ 1つの 、 b ） × F （ 1つの 、 b ） {\displaystyle F(a,b)\times F(a,b)}
  • 多くの小さな相殺群とコクセター群は、その表示において「周囲縮小」条件を満たし、局所的に準凸な語双曲群であるため、ハウソン性質を持つ。[14] [15]
  • 1関係群は局所準凸語双曲群でもあるため、ハウソン性質を持つ。[16] G ＝ ⟨ × 1 、 … 、 × け ∣ r n ＝ 1 ⟩ {\displaystyle G=\langle x_{1},\dots ,x_{k}\mid r^{n}=1\rangle } n ≥ | r | {\displaystyle n\geq |r|}
  • 中間成長のグリゴルチュク群 Gはハウソン特性を持たない。[17]
  • ハウソン性は第一階の性質ではない。つまり、ハウソン性は第一階の群言語式の集合によって特徴付けることはできない。[18]
  • 自由pro-p群は ハウソン性質の位相的バージョンを満たす。もしが位相的に有限生成の閉部分群であるならば、それらの交差は位相的に有限生成である。[19] F {\displaystyle F} H 、 K {\displaystyle H,K} F {\displaystyle F} H ∩ K {\displaystyle H\cap K}
  • 任意の固定整数に対して、「一般」な-生成子-関係子群は、任意の-生成部分群に対してそれらの交差が再び有限生成であるという性質を持つ。[20] メートル ≥ 2 、 n ≥ 1 、 d ≥ 1 、 {\displaystyle m\geq 2,n\geq 1,d\geq 1,} メートル {\displaystyle m} n {\displaystyle n} G ＝ ⟨ × 1 、 … × メートル | r 1 、 … 、 r n ⟩ {\displaystyle G=\langle x_{1},\dots x_{m}|r_{1},\dots ,r_{n}\rangle } d {\displaystyle d} H 、 K ≤ G {\displaystyle H,K\leq G} H ∩ K {\displaystyle H\cap K}
  • リース積には ハウソン特性はない。[21] Z   わ r   Z {\displaystyle \mathbb {Z} \ wr\ \mathbb {Z} }
  • トンプソン群は ハウソン性を持たない。なぜなら を含むからである。[22] F {\displaystyle F} Z   わ r   Z {\displaystyle \mathbb {Z} \ wr\ \mathbb {Z} }

参照

参考文献

  1. ^ AGハウソン「有限生成自由群の交差について」 ロンドン数学会誌 29（1954）、428-434
  2. ^ O. Bogopolski, 群論入門。2002年のロシア語原著から翻訳、改訂、増補。EMS数学教科書。ヨーロッパ数学協会（EMS）、チューリッヒ、2008年 。ISBN 978-3-03719-041-8; 102ページ
  3. ^ ab DI Moldavanskii,有限生成部分群の交差 （ロシア語） Siberian Mathematical Journal 9（1968）、1422–1426
  4. ^ L. グリーンバーグ「離散的運動群」 カナダ数学ジャーナル 12（1960）、415-426
  5. ^ RGバーンズとAMブルナー、「ハウソンの群性に関する2つのコメント」、Algebra i Logika 18（1979）、513–522
  6. ^ ab T. Soma, 有限生成交差特性を持つ3次元多様体群,アメリカ数学会誌, 331 (1992), no. 2, 761–769
  7. ^ V. Araújo, P. Silva, M. Sykiotis,有限拡大の部分群の有限性結果. Journal of Algebra 423 (2015), 592–614
  8. ^ B. バウムスラッグ「自由積における有限生成部分群の交差」ロンドン数学会誌 41（1966年）、673-679
  9. ^ DE Cohen, 併合自由積の有限生成部分群とHNN群. J. Austral. Math. Soc. Ser. A 22 (1976), no. 3, 274–281
  10. ^ RGバーンズ「 二つの群の併合積の有限生成部分群について」 アメリカ数学会誌 169（1972）、293-306
  11. ^ H. Servatius, C. Droms, B. Servatius ,有限基底拡張特性とグラフ群. 位相と組合せ群論 (Hanover, NH, 1986/1987; Enfield, NH, 1988), 52–58, Lecture Notes in Math., 1440, Springer, Berlin, 1990
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  15. ^ P. Schupp, Coxeter 群、2 完成、周長縮小、部分群の分離可能性、Geometriae Dedicata 96 (2003) 179–198
  16. ^ G. Ch. Hruska, DT Wise, 「塔、梯子、そしてBBニューマンのスペリング定理」 オーストラリア数学会誌 71 (2001), 第1号, 53–69ページ
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  18. ^ B. Fine, A. Gaglione, A. Myasnikov, G. Rosenberger, D. Spellman, 群論の基本理論。タルスキ予想の証明の手引き。De Gruyter 数学解説集、60。De Gruyter、ベルリン、2014年。ISBN 978-3-11-034199-7; 236ページの定理10.4.13
  19. ^ L. Ribes、P. Zalesskii、Profinite グループ。第 2 版。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 3.フォルゲ。数学における一連の現代調査 [数学および関連分野の結果。シリーズ第3弾。 「数学における現代調査シリーズ」、40。Springer-Verlag、ベルリン、2010 年。ISBN 978-3-642-01641-7; 366ページの定理9.1.20
  20. ^ GN Arzhantseva, 有限提示群の一般的な性質とハウソンの定理. Communications in Algebra 26 (1998), no. 11, 3783–3792
  21. ^ AS キルキンスキー「メタベル群における有限生成部分群の交差」 Algebra i Logika 20 (1981), no. 1, 37–54; 補題3。
  22. ^ V. Guba and M. Sapir, R. Thompsonの群F {\displaystyle F}とその他のダイアグラム群の部分群について. Sbornik: Mathematics 190.8 (1999): 1077-1130; 系20.
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