12進数

十二進法（12進法、ダーセラルとも呼ばれる）は、 12を基数とする位取り記数法です。十二進法では、12という数字は「10」と表記され、12と0の位取りを意味します。十進法では、この数字は「12」と表記され、10と2の位取りを意味します。また、「10」という文字列は10を意味します。十二進法では、「100」は12の2 乗（144）、「1,000」は12の3 乗（1,728）、「0.1」は12分の1（0.08333...）を意味します。

12進法では、10 と 11 を表すためにさまざまな記号が使用されています。このページでは、16進法と同様に A と B を使用します。これにより、0 から 12 までの 12進数は、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、最後に 10 となります。アメリカとイギリスの 12進法協会 (12進法の使用を推進する組織) は、出版物で数字を反転して使用しています。2（aが2を回した）10（dek、発音は/dɛk/）と3(a が 3 になって) 11 (el、/ɛl/ と発音) を表します。

12という数は、優れた高度合成数であり、4つの非自明な因数（2、3、4、6）を持つ最小の数であり、素因数として4つの数（1から4）すべてを含む最小の数であり、最小の過剰数である。3次元平滑数（⁠）の逆数のすべての倍数は、1つの/2 b ·3 c⁠（a,b,cは整数）は12進数で終端表現を持つ。特に、 ⁠+1/4⁠  (0.3)、⁠+1/3⁠  (0.4)、⁠+1/2⁠  (0.6)、⁠+2/3⁠  (0.8)、および⁠+3/4⁠  (0.9) はすべて、12進法では短い終端表現を持ちます。また、12進法の掛け算表にはより高い規則性が見られます。その結果、12進法は最適な数体系であると説明されてきました。[ 1 ]

これらの点において、12進数は、2と5のみを約数とする10進数や、8進数や16進数といった他の基数よりも優れていると考えられています。60進数（基数が60）はこの点でさらに優れています（ 5の倍数を持つすべての数の逆数が無限大になる）。ただし、扱いにくい掛け算表と、覚えるべき記号の数が非常に多くなります。

起源

このセクションでは、数字は10進数で表記します。例えば、「10」は9+1、「12」は9+3を意味します。

ジョルジュ・イフラは、 12進法の起源を、 4本の太い指の指節骨に基づいた指数えのシステムに推測的に辿り着きました。親指をポインターとして使い、小指の一番遠い骨から始めて、それぞれの指の骨に触れながら数えていくことで、12まで数えることができます。このシステムでは、片方の手で12まで繰り返し数え、もう片方の手で繰り返し回数を示し、5ダース、つまり60まで数えます。このシステムは、アジアの多くの地域で今でも使用されています。[ 2 ] [ 3 ]

12進数を用いる言語は稀である。ナイジェリア中部ベルト地帯のジャンジー語、グビリ・ニラグ語（グレ・カフグ語）、ピティ語、グワンダラのニンビア方言[ 4 ]、ネパールのチェパン語[ 5 ]などは12進数を用いることが知られている。

ゲルマン語には、英語のelevenやtwelveのように、11 と 12 を表す特別な単語がある。これらはゲルマン祖語の* ainlifと * twalif（それぞれ1 つ左、2 つ左を意味する）に由来し、12進法ではなく 10 進法に由来することを示唆している。[ 6 ] [ 7 ]しかし、古ノルド語では10 進法と 12 進法を組み合わせた数え方を採用しており、「180」は 200 を、「200」は 240 を意味していた。[ 8 ]イギリス諸島では、この数え方は中世まで長らく 100進法（「100」は 120 を意味する）として生き残った。

歴史的に、多くの文明における時間の単位は12進法である。黄道十二宮、 1年は12か月、バビロニア人は1日を12時間（ある時点で24時間に変更されたが）としていた。伝統的な中国の暦、時計、コンパスは、十二支または24（12×2）節気に基づいている。1ヤードは12インチ、1トロイポンドは12 トロイオンス、1日は24（12×2）時間である。他の多くのものは、ダース、グロス（144、12の2乗）、またはグレートグロス（1728、12の3乗）で数えられる。ローマ人は、英語のオンスとインチの両方の語源となったアンシアを含む、12に基づく分数システムを使用していた。歴史的に、西ヨーロッパの多くの地域では、1 ポンドが20 シリング、1 シリングが 12 ペンスという 20 進法と 12 進法の混合通貨システムが使用されており、これはもともと780 年代に カール大帝によって確立されました。

12進法で分割された単位
相対的な価値 長さ 重さ
フランス語 英語 英語（トロイ） ローマ
12 0ピエ足ポンド天秤座
12 −1プースインチオンスウンシア
12 −2ラインライン2つの良心2つのscrupula
12 −3ポイントポイントシードシリカ

表記と発音

n基数（12進法では12）の位取り記数法では、最初のn個の自然数それぞれに固有の数字記号が与えられ、nは「10」と表記されます。これは1× nに0を足した数を意味します。12進法では、0から9までの標準的な数字記号は通常0から9まで保持されますが、「10」と「11」を表す数字の表記方法については多くの提案があります。[ 9 ]より急進的な提案では、「分離した同一性」の原則に基づき、アラビア数字を一切使用しません。 [ 9 ]

12進数の発音にも標準はなく、さまざまなシステムが提案されています。

超小数点記号

2 3
12進数 ⟨10、11⟩
ユニコード ​
  • U+218A ↊数字2を反転
  • U+218B ↋数字の3を反転
ブロック番号フォーム
注記

数人の著者が、16進数記号にアルファベットの文字を使用することを提案している。⟨ A、B ⟩ （ 16進数のように）や⟨ T、E ⟩（TenとElevenの頭文字）などのラテン文字は、広くアクセスしやすく、例えばタイプライターで入力できるため便利である。しかし、通常の文章に混ぜると、文字と混同される可能性がある。代わりに、⟨ τ、ε ⟩などのギリシャ文字を使用することもできる。[ 9 ] 12進数の初期のアメリカ人提唱者であるフランク・エマーソン・アンドリュースは、1935年の著書「New Numbers 」の中で、 ⟨ X、Ɛ ⟩（ローマ数字の10を表すイタリック体の大文字Xと、開いたEに似た丸みを帯びたイタリック体の大文字E ）をイタリック体の数字0～9とともに提案し、使用した。[ 11 ]

エドナ・クレイマーは1951年の著書『数学の主流』の中で、⟨ ⚹ ⟩ と ⟨ # ⟩ （六分位と数字記号）を使用しました。[ 9 ]これらの記号が選ばれたのは、一部のタイプライターで使用できたためです。また、プッシュボタン式の電話にも使用されています。[ 9 ]この表記法は、1974年から2008年までアメリカ数学者協会（DSA）の出版物で使用されていました。[ 12 ] [ 13 ]

2008年から2015年まで、DSAはウィリアム・アディソン・ドウィギンズが考案した記号⟨ 、 ⟩を使用していました。[ 9 ] [ 14 ]

英国ドゼナル協会（DSGB）が提案したシンボル⟨ 2、3 ⟩。[ 9 ]この表記法は、アラビア数字を180度回転させて作られ、1857年にアイザック・ピットマンによって導入されました。 [ 9 ] [ 15 ] 2013年3月、Dozenal Societiesによって普及された10と11の数字形式をUnicode標準に含める提案が提出されました。[ 16 ]これらのうち、英国/ピットマン形式は、コードポイントU+218A ↊ TURNED DIGIT TWOとU+218B ↋ TURNED DIGIT THREEの文字としてエンコードすることが承認されました。これらはUnicode 8.0 （2015年）に含まれていました。[ 17 ] [ 18 ]

ピットマン数字がユニコードに追加された後、DSAは投票を行い、代わりにピットマン数字を使用してPDFコンテンツの公開を開始しましたが、ウェブページでは引き続きXとEの文字を使用しています。[ 19 ]

シンボル 背景 注記
あB16進数のようにタイプライターでの入力を許可します。
TE10と11の頭文字音楽集合論で使用される（小文字で表記）[ 20 ]
XEX はローマ数字、E はElevenから。
XZZの起源は不明 DSAによってダランベール＆ビュフォンの作品とされている。 [ 9 ]
δεδέκα「十」からのギリシャ語デルタ。 ένδεκα「イレブン」のイプシロン[ 9 ]
τεギリシャ語のタウ、イプシロン[ 9 ]
⚹#六分位または六角形のアスタリスク、数字記号（ハッシュまたはオクトソープ） プッシュボタン式電話について；エドナ・クレイマーの著書『数学の主流』 （1951年）で使用；DSA 1974–2008で使用[ 21 ] [ 22 ] [ 9 ]
23
  • 2と3の数字を180°回転
アイザック・ピットマン（1857）[ 15 ] DSGBで使用; 2015年からDSAで使用; Unicode 8.0（2015）に含まれる[ 17 ] [ 23 ]
「デク」、「エル」と発音します

基数表記

12進数と10進数を区別する方法についても様々な提案があります。主流の数学文献で様々な基数を比較する際に最も一般的に用いられる方法は、添え字に「10」または「12」を用います。例えば、「54 12 = 64 10」です。添え字10の意味が曖昧にならないように、「54 twelve = 64 ten」のように綴る場合もあります。2015年、アメリカ12進数協会は、12進数を「z」、 10進数を「d」とする、より簡潔な一文字略語を採用しました。「54 z = 64 d」です。[ 24 ]

他に提案されている方法としては、12進数をイタリック体で表記する（「54 = 64」）、12進数に「ハンフリーポイント」（小数点の代わりにセミコロン）を付ける（「54;6 = 64.5」）、12進数の先頭にアスタリスクを付ける（「*54 = 64」）、あるいはこれらを組み合わせる方法などがある。英国12進数協会は、12進数の整数にはアスタリスクを、その他の12進数にはハンフリーポイントをそれぞれ使用している。[ 24 ]

発音

アメリカ・ドゼナル協会は、10 と 11 をそれぞれ「デク」と「エル」と発音することを提案しました。

12の累乗を表す用語は英語にすでに存在している。12という数字（10⁻¹²または12⁻¹² ）はa dozen（ダース）とも呼ばれる。12の2乗（100⁻¹²または144⁻¹² ）はgross （グロス）と呼ばれる。[ 25 ] 12の3乗（1000⁻¹²または1728⁻¹² ）はgreat gross（グレートグロス）と呼ばれる。[ 26 ]

アドボカシーと「ドゼナリズム」

ウィリアム・ジェームズ・サイディスは1906年に人工言語ベンダーグッドの基数として12を使用し、これが4つの因数を持つ最小の数であり、商業において広く普及していることを指摘した。[ 27 ]

12進法の利点は、フランク・エマーソン・アンドリュースが1935年に著した『新しい数：12進法の採用が数学をいかに簡素化するか』の中で詳しく論じられている。エマーソンは、多くの伝統的な度量衡の単位で12の因数が広く用いられているため、メートル法で主張されている計算上の利点の多くは、10を基準とする度量衡の採用か、 12進法の採用によって実現できると指摘した。[ 11 ]

アメリカ十​​二進法協会のロゴに見られる十二進法の文字盤。ここでは音楽のキーを表すために使われている。

アメリカ十​​二進法協会（1944 年にアメリカ十​​二進法協会として設立）とイギリス十二進法協会（1959 年に設立）はどちらも十二進法の採用を推進しています。

数学者であり暗算家であったアレクサンダー・クレイグ・エイトキンは、12進法の熱心な支持者であった。

12進法の表は習得しやすく、10進法の表よりも簡単です。小学校の授業では、12進法の方がはるかに興味深いものになるでしょう。なぜなら、幼い子供たちは10個の棒やブロックよりも12個の棒やブロックを使った方が面白いことに気づくからです。これらの表を使える人なら誰でも、12進法の表を使えば、10進法の1.5倍以上の速さで計算できるでしょう。これは私の経験ですが、他の人もきっともっと速く計算できるはずです。

— ACエイトキン「12と10」『リスナー』 （1962年1月25日）[ 28 ]

しかし、私の経験上、最終的な定量的な利点は次のようになります。長年にわたり実行された、通常の、過度に複雑ではない種類の多様で広範な計算では、12進数を100とすると、10進法の効率は約65以下と評価される可能性があるという結論に達しました。

— ACエイトキン『十進法化反対の論拠』（1962年）[ 29 ]

メディアで

アメリカの教育テレビシリーズ『スクールハウス・ロック！』のエピソード「リトル・トゥエルブトゥーズ」では、農夫が12本の指と12本の足を持つエイリアンに遭遇します。このエイリアンは10と11を「dek」と「el」で表し、数字記号にはアンドリュース式XとEを使用します。[ 30 ] [ 31 ]

12進法

ダーゼ主義者によって提案された測定システムには、トム・ペンドルベリーのTGMシステム[ 32 ] [ 33 ] 、菅隆のユニバーサルユニットシステム[ 34 ] [ 33 ] 、ジョン・ヴォランのプライメルシステム[ 35 ]などがある。

他の記数法との比較

このセクションでは、数字は10進法で表記されます。例えば、「10」は9+1、「12」は9+3を意味します。

アメリカ・ドーゼナル協会は、基数が小さすぎると、数の展開に非常に長い計算時間が必要になると主張している。一方、基数が大きすぎると、計算を行うために膨大な掛け算表を暗記しなければならない。したがって、同協会は「基数は7～8程度から16程度まで、場合によっては18や20も含む必要がある」と推定している。[ 36 ]

12 という数には 1、2、3、4、6、12 の 6 つの因数があり、そのうち 2 と 3 は素数です。12 は 6 つの因数を持つ最小の数であり、それ以下の数の少なくとも半分を約数として持つ最大の数であり、10 よりわずかに大きいだけです (18 と 20 も 6 つの因数を持ちますが、はるかに大きい数です)。対照的に 10 には 1、2、5、10 の 4 つの因数しかなく、そのうち 2 と 5 が素数です。[ 36 ] 6 は 12 と 2 と 3 という素因数を共有しますが、10 と同様に、6 には 6 つではなく 4 つの因数 (1、2、3、6) しかありません。対応する6進数 は、DSA で規定されたしきい値を下回っています。

8と16は2を素因数としてしか持ちません。したがって、8進数と16進数では、分母が2のべき乗である分数のみが有限分数となります。

30 は、3 つの異なる素因数 (最初の 3 つの素数である 2、3、5) を持つ最小の数字であり、合計で 8 つの因数 (1、2、3、5、6、10、15、30) を持ちます。60 進法は、古代シュメール人やバビロニア人などによって実際に使用されていました。その底である 60 は、30 に 4、12、20、60 という 4 つの便利な因数を加算しますが、新しい素因数は追加しません。4 つの異なる素因数を持つ最小の数字は 210 で、このパターンは原始数に従います。ただし、これらの数字は底として使用するには非常に大きく、DSA が規定するしきい値をはるかに超えています。

すべての基数システムには、基数より 1 小さい数または 1 大きい数の倍数の表現に類似点があります。

次の掛け算表では、数字は12進法で書かれています。例えば、「10」は12を意味し、「12」は14を意味します。

12進数の掛け算表
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 あ B 10
1 123456789あB10
2 2468あ10121416181A20
3 369101316192023262930
4 4810141820242830343840
5 5あ131821262B3439424750
6 61016202630364046505660
7 71219242B364148535A6570
8 81420283440485460687480
9 91623303946536069768390
あ あ18263442505A68768492A0
B B1A2938475665748392A1B0
10 102030405060708090A0B0100

10進数との変換表

数値を基数間で変換するには、一般的な変換アルゴリズムを使用できます（位取り記法の関連セクションを参照）。あるいは、桁変換表を使用することもできます。以下に示す表は、0.1からBB,BBB.Bまでの12進数を10進数に変換したり、0.1から99,999.9までの10進数を12進数に変換したりするために使用できます。これらの表を使用するには、まず与えられた数を、それぞれ有効数字が1桁だけの数の和に分解する必要があります。例えば、

12,345.6 = 10,000 + 2,000 + 300 + 40 + 5 + 0.6

この分解は、数値がどの基数で表現されていても同じように機能します。ゼロ以外の各桁を分離し、それぞれの位取りを維持するために必要な数のゼロを追加します。与えられた数値の桁にゼロが含まれている場合（例えば7,080.9）、桁分解ではゼロは除外されます（7,080.9 = 7,000 + 80 + 0.9）。その後、桁変換表を使用して、各桁に対応する変換後の基数の値を取得できます。与えられた数値が12進数で、変換後の基数が10進数の場合、以下のようになります。

(10 進数) 10,000 + 2,000 + 300 + 40 + 5 + 0.6 = (10 進数) 20,736 + 3,456 + 432 + 48 + 5 + 0.5

加数はすでに小数に変換されているため、通常の小数演算を使用して加算を実行し、数値を再構成して、変換結果に到達します。 

12進数 ---> 10進数 10,000 = 20,736 2,000 = 3,456 300 = 432 40 = 48 5 = 5 + 0.6 = + 0.5 ----------------------------- 12,345.6 = 24,677.5

つまり、（12進数） 12,345.6は（10進数） 24,677.5 に等しい。

与えられた数値が10進数で、変換先の基数が12進数の場合も、方法は同じです。桁変換表を使用します。

(10 進数) 10,000 + 2,000 + 300 + 40 + 5 + 0.6 = (20 進数) 5,954 + 1,1A8 + 210 + 34 + 5 + 0.7249

これらの部分積を合計して数を再構成するには、10進数ではなく12進数で加算を行う必要があります。 

 10進数 --> 12進数 10,000 = 5,954 2,000 = 1,1A8 300 = 210 40 = 34 5 = 5 + 0.6 = + 0.7249 -------------------------------12,345.6 = 7,189.7249

つまり、（10進数） 12,345.6は（12進数）7,189に等しい。7249

12進数から10進数への変換

デュオド。 12月 デュオド。 12月 デュオド。 12月 デュオド。 12月 デュオド。 12月 デュオド。 12月
10,00020,736 1,0001,728 100144 1012 11 0.10.08 3
2万41,472 2,0003,456 200288 2024 22 0.20.1 6
3万62,208 3,0005,184 300432 3036 33 0.30.25
4万82,944 4,0006,912 400576 4048 44 0.40.3​
5万103,680 5,0008,640 500720 5060 55 0.50.41 6
6万124,416 6,00010,368 600864 6072 66 0.60.5
7万145,152 7,00012,096 7001,008 7084 77 0.70.58 3
8万165,888 8,00013,824 8001,152 8096 88 0.80.6​
9万186,624 9,00015,552 9001,296 90108 99 0.90.75
0,000207,360 1,00017,280 A001,440 A0120 あ10 0.A0.8 3
0,000ポンド228,096 B,00019,008 B001,584 B0132 B11 0.B0.91 6

10進数から12進数への変換

12月 デュオド。 12月 デュオド。 12月 デュオド。 12月 デュオド。 12月 デュオド。 12月 12進数
10,0005,954 1,0006B4 10084 10あ 11 0.10.1 2497
2万B,6A8 2,0001,1A8 200148 2018 22 0.20.2497​
3万15,440 3,0001,8A0 300210 3026 33 0.30.3 7249
4万1B,194 4,0002,394 400294 4034 44 0.40.4972​
5万24,B28 5,0002,A88 500358 5042 55 0.50.6
6万2A,880 6,0003,580 600420 6050 66 0.60.7249​
7万34,614 7,0004,074 7004A4 705A 77 0.70.8 4972
8万3A,368 8,0004,768 800568 8068 88 0.80.9724​
9万44,100 9,0005,260 900630 9076 99 0.90.A 9724

分数と無理数

分数

3次元の滑らかな分母を持つ有理数の12進分数は次のように終了します。

  • ⁠1/2⁠ = 0.6
  • ⁠1/3⁠ = 0.4
  • ⁠1/4⁠ = 0.3
  • ⁠1/6⁠ = 0.2
  • ⁠1/8⁠ = 0.16
  • ⁠1/9⁠ = 0.14
  • ⁠1/10⁠ = 0.1 (これは12分の1、⁠1/あ⁠は10分の1です）
  • ⁠1/14⁠ = 0.09（これは16分の1、⁠1/12⁠は14分の1です）

他の有理数は循環的な12進分数を持ちます。

  • ⁠1/5⁠ = 0.2497
  • ⁠1/7⁠ = 0.186A35
  • ⁠1/あ⁠ = 0.1 2497 (10分の1)
  • ⁠1/B⁠ = 0.1 （11分の1）
  • ⁠1/11⁠ = 0.0B（13分の1）
  • ⁠1/12⁠ = 0.0 A35186 (14分の1)
  • ⁠1/13⁠ = 0.0 9724 (15分の1)
12進数の例 10進数相当
1 × ⁠5/8⁠ = 0.76 1 × ⁠5/8⁠ = 0.625
100 × ⁠5/8⁠ = 76 144 × ⁠5/8⁠ = 90
⁠576/9⁠ = 76 ⁠810/9⁠ = 90
⁠400/9⁠ = 54 ⁠576/9⁠ = 64
1A.6 + 7.6 = 26 22.5 + 7.5 = 30

循環小数で説明されているように、既約分数が任意の基数の基数点表記で表されている場合、その分数は、その分母のすべての素因数がその基数の素因数でもある 場合にのみ正確に表現できます (終了できます) 。

10進法では、分母が2と5の倍数のみで構成される分数は次のように終了します。⁠2×5＝10{\displaystyle 2\times 5=10}1/8⁠  =  ⁠1/（2×2×2）⁠、⁠1/20⁠  =  ⁠1/（2×2×5）⁠、そして⁠1/500⁠  =  ⁠1/（2×2×5×5×5）⁠ はそれぞれ 0.125、0.05、0.002 と正確に表すことができます。⁠1/3⁠と⁠1/7⁠ただし、（0.333...および0.142857142857...）が再発します。

なぜなら、12進法では、⁠2×2×3＝12{\displaystyle 2\times 2\times 3=12}1/8⁠は正確です。⁠1/20⁠と⁠1/500⁠ 5 を因数として含むため、繰り返します。⁠1/3⁠は正確であり、⁠1/7⁠ は、小数点の場合と同じように繰り返します。

bを底とする数において、与えられた桁数n以内で分数が成り立つ分母の数は、bのn乗の因数（約数）の数です（ただし、これには分母として使用しても分数にならない 1 も含まれます）。 の因数の数は、素因数分解によって求められます。 bn{\displaystyle b^{n}}bn{\displaystyle b^{n}}

小数の場合、。約数の数は、各素数の各指数に 1 を加え、その結果の量を掛け合わせることで求められるため、 の因数の数はです。 10n＝2n×5n{\displaystyle 10^{n}=2^{n}\times 5^{n}}10n{\displaystyle 10^{n}}（n+1）（n+1）＝（n+1）2{\displaystyle (n+1)(n+1)=(n+1)^{2}}

たとえば、数字 8 は 10 3 (1000) の因数なので、分母が 8 であるその他の分数では、小数点以下 3 桁以上で終了することはできません。18{\textstyle {\frac {1}{8}}}58＝0.62510。{\textstyle {\frac {5}{8}}=0.625_{10}.}

12進数の場合、。これは約数を持ちます。サンプルの分母8は10進数の約数であるため、8分の1は12進数の小数点以下2桁以上で終了することはできません。10n＝22n×3n{\displaystyle 10^{n}=2^{2n}\times 3^{n}}（2n+1）（n+1）{\displaystyle (2n+1)(n+1)}122＝144{\textstyle 12^{2}=144}58＝0.7612。{\textstyle {\frac {5}{8}}=0.76_{12}.}

10 と 12 はどちらも 2 つの固有の素因数を持つため、 b = 10 または 12 の場合の の約数の数は指数nの 2 乗で増加します(つまり、 の順序になります)。 bn{\displaystyle b^{n}}n2{\displaystyle n^{2}}

繰り返し数字

アメリカ十​​二進法協会は、現実の割り算問題では5の因数よりも3の因数の方が頻繁に遭遇すると主張している[ 36 ] 。したがって、実用上、12進法を用いると循環小数の問題に遭遇する機会は少なくなる。12進法の支持者は、これは特に12ヶ月が計算に頻繁に登場する金融計算において当てはまると主張している。

しかし、12進数表記で循環分数が現れる場合、 10進数表記よりも非常に短い周期になる可能性は低くなります。これは、12 (十二) が2つの素数11 (一一) と 13 (一三) の間にあり、10 が合成数9 に隣接しているためです。とはいえ、周期が短くても長くても、与えられた基数でそのような分数を有限に表現できないという主な不便さは解消されません (そのため、計算で分数を扱うには、不正確さをもたらす四捨五入が必要です)。また、分数を10進数で表す場合、12進数よりも無限の循環桁を扱う可能性が高くなります。これは、連続する3つの数のうち1つは因数分解で素因数 3 を含むのに対し、5つのうち1つだけが素因数 5 を含むためです。2 を除く他のすべての素因数は、10 にも 12 にも共有されないため、循環数字に遭遇する相対的な可能性には影響しません (分母にこれらの他の因数のいずれかを含む既約分数は、どちらの底でも循環します。

また、素因数 2 は 12 の因数分解では 2 回現れますが、10 の因数分解では 1 回しか現れません。つまり、分母が2 の累乗である分数のほとんどは、10 進数よりも 12 進数の方が短くて便利な終端表現になります。

  • 1/(2 2 ) = 0.25 10 = 0.3 12
  • 1/(2 3 ) = 0.125 10 = 0.16 12
  • 1/(2 4 ) = 0.0625 10 = 0.09 12
  • 1/(2 5 ) = 0.03125 10 = 0.046 12
10進法の基数 基数の素因数: 2、5基数より1小さい数の素因数: 3基数より1大きい数の素因数: 11その他のすべての素数: 7、13、17、19、23、29、3112進数基数の素因数: 2 , 3基数より1小さい数の素因数: B基数より1大きい数の素因数: 11 (=13 10 )その他のすべての素数: 5 , 7 , 15 (=17 10 ) , 17 (=19 10 ) , 1B (=23 10 ) , 25 (=29 10 ) , 27 (=31 10 )
分数 分母の素因数位置表現 位置表現 分母の素因数分数
1/2 20.5 0.6 21/2
1/3 30.3​0.4 31/3
1/4 20.25 0.3 21/4
1/5 50.2 0.2497​51/5
1/6 2、3​​0.1 60.2 2、3​​1/6
1/7 70. 1428570.186A35​71/7
1/8 20.125 0.16 21/8
1/9 30.1​0.14 31/9
1/10 2、5​​0.1 0.1 24972、5​​1/A
1/11 110.09​0.1​B1/B
1/12 2、3​​0.08 30.1 2、3​​1/10
1/13 130.076923​0.0B​111/11
1/14 2、7​​0.0 7142850.0 A351862、7​​1/12
1/15 3、5​​0.0 60.0 97243、5​​1/13
1/16 20.0625 0.09 21/14
1/17 170. 05882352941176470. 08579214B36429A7151/15
1/18 2、3​​0.0 50.08 2、3​​1/16
1/19 190. 0526315789473684210.076B45​171/17
1/20 2、5​​0.05 0.0 72492、5​​1/18
1月21日 3、7​​0.047619​0.0 6A35183、7​​1/19
1/22 2、11​​0.0 450.0 62、 B1/1A
1/23 230. 04347826086956521739130. 063169484211B1/1B
1/24 2、3​​0.041 60.06 2、3​​1/20
1/25 50.04 0. 05915343A0B62A68781B51月21日
1/26 2、13​​0.0 3846150.0 562、11​​1/22
1/27 30.037​0.054 31/23
1/28 2、7​​0.03 5714280.0 5186A32、7​​1/24
1/29 290. 03448275862068965517241379310.04B7​251/25
1/30 2、3、5​​​​0.0 30.0 49722、3、5​​​​1/26
1月31日 310. 0322580645161290. 0478AA093598166B74311B28623A55271/27
1/32 20.03125 0.046 21/28
1/33 3、11​​0.03​0.0 43、 B1/29
1/34 2、17​​0.0 29411764705882350.0 429A708579214B362、15​​1/2A
1/35 5、7​​0.0 2857140. 0414559B39315、7​​1/2B
1/36 2、3​​0.02 70.04 2、3​​1/30

1/ nの12進法の周期の長さは（10進法）

0, 0, 0, 0, 4, 0, 6, 0, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 4, 0, 16, 0, 6, 4, 6, 1, 11, 0, 20, 2, 0, 6, 4, 4, 30, 0, 1, 16, 12, 0, 9, 6, 2, 4, 40, 6, 42, 1, 4, 11, 23, 0, 42, 20, 16, 2, 52, 0, 4, 6, 6, 4, 29, 4, 15, 30, 6, 0, 4, 1, 66, 16, 11, 12, 35, 0, ... (シーケンスOEISのA246004）

1/( n番目の素数)の12進法の周期の長さは（10進法で）

0、0、4、6、1、2、16、6、11、4、30、9、40、42、23、52、29、15、66、35、36、26、41、8、16、100、102、53、54、112、126、65、136、138、148、150、3、162、83、172、89、90、95、24、196、66、14、222、113、114、8、119、120、125、256、131、268、54、 138、280、…（OEISの配列A246489）

12進数の周期nを持つ最小の素数（10進数）

11, 13, 157, 5, 22621, 7, 659, 89, 37, 19141, 23, 20593, 477517, 211, 61, 17, 2693651, 1657, 29043636306420266077, 85403261, 8177824843189, 57154490053, 47, 193, 303551, 79, 306829, 673, 59, 31, 373, 153953, 886381, 2551, 71, 73, ... (シーケンスA252170 in OEIS ）​

無理数

あらゆる位取り記数法（10進数や12進数を含む）における無理数の表現は、終了したり繰り返されたりしません。例:

小数点 12進数
√2、2の平方根1.414213562373... 1.4B79170A07B8...
φ = ⁠1 + √5/2⁠、黄金比1.618033988749... 1.74BB6772802A...
e、自然対数の底2.718281828459... 2.875236069821...
π、円周率3.141592653589... 3.184809493B91...

参照

参考文献

  1. ^ Dvorsky, George (2013年1月18日). 「なぜ12進法に切り替えるべきなのか」 . Gizmodo . 2013年12月21日閲覧。
  2. ^ピットマン、リチャード (1990). 「メソポタミアの12進法と60進法の起源」.フィリピン言語学ジャーナル. 21 (1): 97.
  3. ^イフラ、ジョルジュ（2000）[フランス語初版1981年] 『数の普遍史：先史時代からコンピュータの発明まで』ワイリー社、ISBN 0-471-39340-1。フランス語からの翻訳は David Bellos、EF Harding、Sophie Wood、Ian Monk が担当しました。
  4. ^松下修司 (1998年10月). 「十進法と十二進法：二つの記数法の相互作用」 . www3.aa.tufs.ac.jp. 2008年10月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2011年5月29日閲覧。
  5. ^マザウドン、マルティーヌ (2002). 「チベットビルマネの言語建設の原則」。フランソワ、ジャック編著。ラ・プルラリテ(PDF)。ルーヴェン: ピーターズ。ページ 91–119。ISBN​​ 90-429-1295-2. 2016年3月28日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2014年3月27日閲覧。
  6. ^フォン・メンデン、フェルディナンド (2006). 「古英語の数字体系の特異性」ニコラウス・リット、ハーバート・シェンドル、クリスティアーネ・ダルトン＝パファー、ディーター・カストフスキー編. 『中世英語とその遺産：構造、意味、そして変化のメカニズム』中世英語言語文学研究第16巻、フランクフルト：ペーター・ラング、pp.  125– 145.
  7. ^フォン・メンデン、フェルディナンド (2010). 「基数詞：言語横断的観点から見た古英語」 . 英語学の話題. 第67巻. ベルリン; ニューヨーク: De Gruyter Mouton. pp.  159– 161.
  8. ^ゴードン, EV (1957). 『古ノルド語入門』オックスフォード: クラレンドン・プレス. pp.  292– 293.
  9. ^ a b c d e f g h i j k l m De Vlieger, Michael (2010). 「記号学の概要」(PDF) . The Duodecimal Bulletin . 4X [58] (2).
  10. ^ Pakin, Scott (2021) [2007]. 「包括的なLATEXシンボルリスト」 .包括的TEXアーカイブネットワーク(14.0版).
    福井玲（2004）[2002]. 「tipa - IPA音声記号用フォントとマクロ」 . Comprehensive TEX Archive Network（1.3版）.
    TIPA パッケージで使用されている回転数字 2 と 3 は、 1949 年にロンドン大学ユニバーシティ・カレッジが発行した『国際音声協会の原則』に由来しています。
  11. ^ a bアンドリュース、フランク・エマーソン (1935). 「新しい数：12進数の採用は数学をどのように簡素化するか」ハーコート、ブレース他共著. 52ページ.
  12. ^ 「1973年度年次総会および理事会会議」(PDF) . The Duodecimal Bulletin . 25 [29] (1). 1974年.
  13. ^ De Vlieger, Michael (2008). 「Going Classic」（PDF） . The Duodecimal Bulletin . 49 [57] (2).
  14. ^ a b「Mo for Megro」（PDF） . The Duodecimal Bulletin . 1 (1). 1945年.
  15. ^ a bピットマン、アイザック（1857年11月24日）「清算改革」、ベッドフォードシャー・インディペンデント。「ダース制度に関するサー・アイザック・ピットマン：計算改革」として再録（PDF）。The Duodecimal Bulletin 3 ( 2): 1– 5. 1947年。
  16. ^ Pentzlin, Karl (2013年3月30日). 「UCSにおける12進数形式のエンコード提案」(PDF) . ISO/IEC JTC1/SC2/WG2 . 2024年6月25日閲覧。
  17. ^ a b「Unicode標準バージョン8.0：数値形式」（PDF） . Unicodeコンソーシアム. 2016年5月30日閲覧。
  18. ^ 「Unicode標準8.0」（PDF） . 2014年7月18日閲覧。
  19. ^アメリカ・ドゼナル協会 (nd). 「DSAはトランスデシマル文字について何をすべきか？」アメリカ・ドゼナル協会. アメリカ・ドゼナル協会. 2018年1月1日閲覧。
  20. ^アーノルド・ウィットオール『ケンブリッジ・セリアリズム入門』（ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局、2008年）：276ページ。ISBN 978-0-521-68200-8（pbk）。
  21. ^ a b「1973年度年次総会および理事会会議」(PDF) . The Duodecimal Bulletin . 25 [29] (1). 1974年.
  22. ^ a b De Vlieger, Michael (2008). 「Going Classic」（PDF） . The Duodecimal Bulletin . 49 [57] (2).
  23. ^ 「Unicode標準8.0」（PDF） . 2014年7月18日閲覧。
  24. ^ a b Volan, John (2015年7月). 「Base Annotation Schemes」(PDF) . The Duodecimal Bulletin . 62 .
  25. ^ 「GROSSの定義」www.merriam-webster.com . 2025年2月17日閲覧。
  26. ^ 「GREAT GROSSの定義」 www.merriam-webster.com . 2025年2月17日閲覧。
  27. ^『天才少年』（WJSの伝記）pg [42』
  28. ^ AC Aitken (1962年1月25日)「Twelves and Tens」The Listener。
  29. ^ AC Aitken (1962)『十進法化に反対するケース』 エディンバラ/ロンドン: Oliver & Boyd.
  30. ^ “SchoolhouseRock - Little Twelvetoes” . 2010年2月6日.オリジナルの2010年2月6日時点のアーカイブ。
  31. ^ベロス、アレックス(2011年4月4日). 『アレックスのナンバーランドの冒険』 A&Cブラック. p. 50. ISBN 978-1-4088-0959-4。
  32. ^ペンドルベリー、トム、グッドマン、ドナルド (2012). 「TGM：一貫性のある12進法計測学」(PDF) . 英国12進法協会.
  33. ^ a bグッドマン、ドナルド (2016). 「Dozenal System マニュアル」(PDF) . アメリカDozenal協会. 2018年4月27日閲覧。
  34. ^菅 隆 (2019年5月22日). 「世界単位系の提案」(PDF) .
  35. ^ Volan, John. 「プライメル計量学」(PDF) . The Duodecimal Bulletin . 63 (1): 38– 60.
  36. ^ a b cデ・フリーガー、マイケル・トーマス (2011 年 11 月 30 日)。「12 件の FAQ」(PDF)。dozenal.org。アメリカ・ダゼナル協会。2022 年11 月 20 日に取得。
「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Duodecimal&oldid=1333541857#Humphrey_point」から取得