狩猟振動

鉄道車輪軸のハンチング振動

ハンチング振動とは、平衡点を中心として起こる、通常は望ましくない自己振動である。^{[ 1 ]}この表現は19世紀に使われ始め、システムがどのように平衡点を「探す」かを説明する。^{[ 1 ]}この表現は、電子工学、航空学、生物学、鉄道工学など、多様な分野における現象を説明するために使われている。^{[ 1 ]}

鉄道の車輪セット

古典的なハンチング振動は、粘着鉄道の方向安定性が左右されるコーニング作用によって引き起こされる鉄道車両の揺れ（多くの場合、トラック ハンチングまたはボギー ハンチングと呼ばれる）です。これは粘着力と慣性力の相互作用から生じます。低速では粘着力が支配的ですが、速度が上昇するにつれて粘着力と慣性力の大きさが同程度になり、臨界速度で振動が始まります。この速度を超えると、動きが激しくなり、線路や車輪が損傷し、脱線を引き起こす可能性があります。この問題は差動装置を備えたシステムでは発生しません。これは、動作が輪軸の両方の車輪が同じ角速度で回転することに依存するためです。ただし、差動装置はまれであり、従来の列車では車輪が対になって車軸に固定されています。タルゴ 350などの一部の列車には差動装置がありませんが、ほとんどの車輪が互いに独立して回転するため、ハンチング振動の影響を受けることはほとんどありません。しかし、動力車の車輪は従来の台車と同様に車軸に2つ1組で固定されているため、ハンチング振動の影響を受ける可能性がある。円錐台車や、互いに独立して回転する独立した車輪を備え、車軸に2つ1組で固定されていない台車は、列車台車に適した差動装置よりも安価である。^{[ 2 ]}

この問題は、列車の速度がこの問題に遭遇するほど高くなった19世紀末頃に初めて認識されました。1930年代には、この問題への真剣な取り組みが開始され、台車の延長や、横方向に減衰力をかけるスイングハンガー台車が開発されました。日本の新幹線の開発では、より円錐形の少ない車輪やその他の設計変更によって、台車の設計速度が225 km/h (140 mph) を超えました。欧州と日本での研究開発の成果に基づく車輪と台車設計の進歩により、鋼鉄車輪システムの速度は最初の新幹線で達成された速度をはるかに超えるものとなり、また、下位互換性という利点から、ホバートレインや磁気浮上システムなどの代替技術に対して、この技術が優位に立っています。鋼鉄車輪の列車の速度記録は、フランスのTGVの574.9 km/h (357 mph)です。

運動学的解析

鉄道車輪のコーニング動作の運動学

運動学的記述は、運動を引き起こす力とは無関係に、運動の幾何学的形状を扱うため、解析は直線軌道上を走行する車輪の幾何学的形状の記述から始まります。ニュートンの運動学第二法則は、力と物体の加速度を関連付けているため、作用する力は、各構成要素の加速度を計算することで運動学から導出できます。しかし、これらの力が運動学的記述を変化させる場合（この場合のように）、結果は近似的にしか正しくない可能性があります。

仮定と非数学的記述

この運動学的記述では、力を無視するため、いくつかの単純化する仮定が立てられています。まず、転がり抵抗はゼロであると仮定します。車輪セット（列車やトラックに接続されていない）が、まっすぐで水平な線路上を前方に押されます。車輪セットは惰性で動き始め、力が加わっていないため（車輪セットを線路に密着させて滑らせないようにするための下向きの力を除く）、減速することはありません。最初に車輪セットが線路の中央にある場合、各車輪の有効直径は同じで、車輪セットは完全に直線で線路上を永遠に転がり続けます。しかし、車輪セットが少し中心から外れていて有効直径（または半径）が異なる場合、車輪セットは半径Rの曲線を描き始めます（これらの車輪セットの半径などによって異なります。これは後で導出します）。問題は、運動学的推論を用いて輪軸の軌道、より正確には、線路中央の路盤に垂直に投影された輪軸中心の軌道を求めることです。これは、水平な地球表面上の軌道であり、 x - yグラフ上にプロットされます。ここで、 xは線路に沿った距離、yは「トラッキングエラー」、つまり線路中央（2本のレールの中間点）を走る線路の直線からの輪軸中心の偏差です。

輪軸の軌道が曲線を描くことを説明するには、平らなテーブルの上に釘やネジを置き、軽く押すと、円弧を描いて転がります。これは、釘やネジが車輪の直径が大きく異なる輪軸のように見えるためです。釘やネジの先端は大きな直径の車輪に、先端は小さな直径の車輪に似ています。釘やネジは完全に円（あるいはそれ以上）回転しますが、鉄道の輪軸は異なる挙動を示します。曲線を描き始めるとすぐに、有効直径が変化し、軌道の曲率が減少するからです。ここで「半径」と「曲率」は、輪軸の軌道の曲率を指し、鉄道の曲率を指しているわけではないことに注意してください。なぜなら、これは完全に直線の線路だからです。輪軸が転がるにつれて、曲率は減少し、最終的に車輪の有効直径が等しくなり、軌道が曲線ではなくなる点に到達します。しかし、軌道はこの時点で傾斜しており (線路の中心線を斜めに横切る直線です)、線路の中心線をオーバーシュートして有効直径が逆転します (以前の小さい直径の車輪が大きい直径になり、その逆も同様です)。その結果、輪軸は反対方向に曲線を描きながら動きます。再び中心線をオーバーシュートし、この現象は輪軸が左右に振動しながら無限に続きます。車輪のフランジがレールに接触することはないことに注意してください。このモデルでは、レールは常にレールの頭部の同じ線に沿って車輪の踏面に接触すると想定されており、レールはナイフ エッジであり、線に沿って (幅がゼロの) 車輪の踏面にのみ接触すると想定されています。

数学的分析

列車が線路上にとどまるのは、車輪の踏面が円錐形をしているためです。輪軸が片側に量y (軌道誤差) だけずれると、レールと接触する踏面の半径は片側では減少し、反対側では増加します。両方の車輪の角速度は同じ (剛体車軸で連結されている) なので、直径が大きい方の踏面は加速し、小さい方の踏面は減速します。輪軸は、レール上の車輪との接触点を通る円錐の母線と輪軸の交点によって定義される曲率中心の周りを回転します。相似三角形を適用すると、回転半径は次のようになります。

旋回半径の計算

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {2ky}{rd}}}$

ここで、 dは軌道ゲージ、r は直線走行時の車輪の半径、kは踏面テーパー（軌道に垂直な水平方向の踏面の傾斜）です。

直線軌道に対する車輪の軌跡は関数y ( x )で定義される。ここでxは軌道に沿った進行方向である。これはトラッキングエラーと呼ばれることもある。^{[ 3 ]}運動方向がレールとほぼ平行であれば、軌跡の曲率は、軌道に沿った距離に関するyの2次微分とほぼ次のように関係づけられる。 ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \left|{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}\right|\approx {\frac {1}{R}}}$

したがって、軌道に沿った軌道は次の式で表されます。 ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)y}$

これは波長を持つ単振動です。

${\displaystyle \lambda =2\pi {\sqrt {\frac {rd}{2k}}}}$  クリンゲルの公式として知られる（1883年に導出された）^{[ 6 ]}

この運動学的解析は、列車が常に左右に揺れていることを示しています。実際には、この振動は臨界速度以下では減衰し、乗り心地はそれに応じて向上します。この運動学的結果は、運動を引き起こす力を無視しています。これらの力はクリープ（非線形）の概念を用いて解析できますが、車輪とレールの接触領域における弾性変形によって生じるため、単純に定量化するのはやや困難です。これらは摩擦接触力学の主題であり、これらの影響を蛇行動解析に組み込んだ初期の研究はCarterによって発表されました^{[ 7 ]} 。歴史的概要については Knothe ^{[ 8 ]を参照してください。}

動きがレールとほぼ平行である場合、車輪セットの角度変位は次のように表されます。 ${\displaystyle \left(\theta \right)}$

${\displaystyle \theta ={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$

したがって:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} \theta}{\operatorname {d} x}}&={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)y\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta}{\operatorname {d} x^{2}}}&=-\left({\frac {2k}{rd}}\right){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta \end{aligned}}}$

角変位も単振動運動に従い、左右方向の運動より1/4周期遅れて運動します。2つの異なる状態（この場合は車軸のヨー角変位と横方向の変位）を伴う振動運動を特徴とする多くのシステムでは、2つの運動間の1/4周期の遅れにより、システムは前進運動からエネルギーを引き出すことができます。この効果は、航空機の翼の「フラッター」、道路車両の「シミー」、鉄道車両のハンチングなどで観察されます。上記で導出した運動学的な解は、臨界速度における運動を記述しています。

実際には、臨界速度未満では、2 つの動作間の遅れは 1/4 サイクル未満であるため、動作は減衰されますが、臨界速度を超えると、遅れは 1/4 サイクルよりも大きくなるため、動作は増幅されます。

慣性力を推定するためには、距離微分を時間微分として表す必要があります。これは、車両の速度U（一定と仮定）を用いて行われます。

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}=U{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}}$

ヨー方向の車軸の 角加速度は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}=-U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta }$

慣性モーメント（ジャイロ効果を無視）は次のとおりです。

${\displaystyle Fd=C{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}}$

ここで、Fはレールに沿って作用する力、Cは輪軸の 慣性モーメントです。

${\displaystyle F=-CU^{2}\left({\frac {2k}{rd^{2}}}\right)\theta }$

車輪とレール間の 最大摩擦力は次のように表されます。

${\displaystyle F=\mu {\frac {W}{2}}}$

ここで、Wは車軸荷重、は摩擦係数です。グロススリップは、速度と車軸のたわみの組み合わせで次のように表されるときに発生します。 ${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle \theta U^{2}=\mu W{\frac {rd^{2}}{4Ck}}}$

この式は臨界速度を大幅に過大評価するが、ハンチングが発生する物理的な理由、すなわち、ある速度を超えると慣性力が粘着力と同程度になるという理由を示している。この場合、限界摩擦は粘着力の適切な表現ではない。

実際の粘着力は、接触領域における踏面とレールの歪みによって生じます。大きな滑りはなく、弾性歪みと局所的な滑り（クリープ滑り）のみが生じます。通常の運転中、これらの力は摩擦限界の制約範囲内にあります。転がり接触力学理論を用いた完全な解析では、これらの力を考慮します。

しかし、運動学解析では、車輪とレールの接触部において滑りが全くないと仮定していました。しかし、クリープ滑りが存在することが明らかになり、その結果、クリンゲルの式に基づいて計算された輪軸の正弦波軌道は必ずしも正確ではありません。

エネルギーバランス

臨界速度の推定値を得るために、この運動学的解が有効な条件は周囲との正味エネルギー交換がない場合に相当するという事実を利用します。したがって、システムの運動エネルギーと位置エネルギーを考慮すると、臨界速度を導き出すことができるはずです。

させて：

${\displaystyle \omega ={\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}}$

演算子の使用:

${\displaystyle \omega {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \theta }}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}}$

角加速度の式は、ヨー方向の角速度で表すことができます。 ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega {\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} \theta }}=-U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta }$

統合：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\omega ^{2}=-{\frac {1}{2}}U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

したがって、回転による運動エネルギーは次のようになります。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}C\omega ^{2}=-{\frac {1}{2}}CU^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

車軸ヨーとの接触点の外方向変位

車軸がヨーイングすると、踏面上の接触点が外側に移動し、車軸の高さが低下します。支持点間の距離は次のように増加します。

${\displaystyle {\frac {d}{cos(\theta )}}=d\left(1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\right)}$

（小さな量の2次まで）。踏面の中心からの支持点の変位は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(d+{\frac {1}{2}}d\theta ^{2}-d\right)}$

車軸荷重は

${\displaystyle h={\frac {1}{4}}kd\theta ^{2}}$

したがって、車軸荷重を下げることによって行われる仕事は次のようになります。

${\displaystyle E={\frac {1}{4}}Wkd\theta ^{2}}$

これはシステムから失われたエネルギーなので、動きを継続させるためには、車輪の前進運動から同量のエネルギーを抽出する必要があります。

外輪の速度は次のように表されます。

${\displaystyle V={\frac {U}{r}}\left(r+ky\right)}$

運動エネルギーは、

${\displaystyle {\frac {1}{4}}m\left(U^{2}+2U^{2}{\frac {ky}{r}}+U^{2}{\frac {k^{2}y^{2}}{r^{2}}}\right)}$

内輪の場合は

${\displaystyle {\frac {1}{4}}m\left(U^{2}-2U^{2}{\frac {ky}{r}}+U^{2}{\frac {k^{2}y^{2}}{r^{2}}}\right)}$

ここで、mは両方の車輪の 質量です。

運動エネルギーの増加は次のようになります。

${\displaystyle \delta E={\frac {1}{2}}m\left({\frac {Uky}{r}}\right)^{2}}$

前進運動から抽出され、ゼロヨーに設定された車輪の運動エネルギーの増加として現れるエネルギーが、最大ヨーでの車軸荷重の低下によって失われる位置エネルギーに等しい限り、運動は 一定の振幅で継続します。

さて、運動学から見てみましょう。

${\displaystyle {\begin{aligned}2U{\frac {ky}{rd}}&=\omega \\\delta E&={\frac {1}{8}}md^{2}\omega ^{2}\end{aligned}}}$

しかし

${\displaystyle \omega^{2}=-U^{2}\left({\frac{2k}{rd}}\right)\theta^{2}}$

並進運動エネルギーは

${\displaystyle \delta E=-{\frac {1}{8}}U^{2}md^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

総運動エネルギーは、

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}U^{2}\left(C+{\frac {md^{2}}{4}}\right)\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

臨界速度はエネルギーバランスから求められます。

${\displaystyle {\frac {Wkd}{2}}=U^{2}{\frac {2k}{rd}}\left(C+{\frac {md^{2}}{4}}\right)}$

したがって、臨界速度は次のように与えられる。

${\displaystyle U^{2}={\frac {Wrd^{2}}{4C+md^{2}}}}$

これは車輪のテーパとは無関係ですが、車軸荷重と輪軸質量の比に依存します。踏面が真に円錐形状であれば、臨界速度はテーパとは無関係になります。しかし実際には、車輪の摩耗により踏面幅全体にわたってテーパが変化するため、位置エネルギーを求める際に用いるテーパの値は、運動エネルギーを計算する際に用いる値とは異なります。前者をaとすると、臨界速度は次のようになります。

${\displaystyle U^{2}={\frac {Ward^{2}}{k(4C+md^{2})}}}$

ここで、 aは車輪の摩耗によって決まる形状係数である。この結果は、Wickens (1965) ^{[ 9 ]}において、標準的な制御工学的手法を用いたシステムダイナミクスの解析から導き出された。

単純化された分析の限界

輪軸の運動は、この解析が示すよりもはるかに複雑である。車両のサスペンションによって付加的な拘束力が加わり^{[ 10 ]}、高速走行時には輪軸が追加のジャイロトルクを発生し、これが危険速度の推定値を変化させる。通常、鉄道車両は低速時には安定した運動を示すが、高速走行時には安定性が不安定な状態に変化する。鉄道車両システムダイナミクスの非線形解析の主な目的は、接線路における鉄道車両の分岐、非線形横方向安定性、およびハンチング挙動の解析的研究の視点を示すことである。本研究では、この解析にボゴリュボフ法を用いる。^{[ 11 ]}

研究では主に2つの事項、すなわち車体を固定支持と仮定することと、ハンチング速度の計算における非線形要素の影響に焦点が当てられています。^{[ 12 ]}実際の鉄道車両ははるかに多くの自由度を持ち、その結果、複数の臨界速度を持つ可能性があります。最低速度が輪軸の動きによって決定されることは決して確実ではありません。しかし、この解析はハンチングが発生する理由を示しているため有益です。速度が増加すると、慣性力が粘着力に匹敵するようになります。そのため、臨界速度は、粘着力を決定付ける車軸荷重と慣性力を決定付ける輪軸質量の比に依存します。

あるいは、ある速度以下では、前進運動から抽出されるエネルギーは、車軸を下げることによって失われるエネルギーを補うのに不十分であり、運動は減衰します。この速度以上では、抽出されるエネルギーは位置エネルギーの損失よりも大きくなり、振幅が増加します。

車軸ヨー角が最大となる場合の位置エネルギーは、車軸のヨー運動に弾性拘束を加えることで増加させることができ、バネ張力による寄与が加わります。台車に車輪を配置して輪軸のヨー運動に対する拘束を強化し、台車に弾性拘束を加えることでも、臨界速度は上昇します。弾性力を方程式に導入することで、従来のハンチング現象ではなく、大きな滑りの発生のみを制限とするサスペンション設計が可能になります。ハンチング現象を事実上排除する代償として、直線軌道となり、それに伴う通行権の問題や既存インフラとの非互換性が生じます。

ハンチングは動的な問題であり、少なくとも原理的には、軌道の状態に合わせて適応可能なアクティブフィードバック制御によって解決できます。しかしながら、アクティブ制御の導入は信頼性と安全性の問題を引き起こします。

ハンチングが始まって間もなく、大きな滑りが発生し、車輪のフランジがレールに衝突して、両方に損傷を与える可能性があります。

道路・鉄道車両

独立した鉄道車輪軸は道路鉄道車両では一般的である

多くの軌道車両は、各車輪に独立した車軸とサスペンションシステムを備えています。これに車輪がレール上に接していることが加わると、上記の式を適用することが難しくなります。歴史的に、軌道車両は前輪をわずかにトーインに設定しており、これにより車両がレール上を走行する際のハンチングを最小限に抑えられることが分かっています。

参照

• 摩擦接触力学
• レール粘着
• レールプロファイル
• スピードウォブル
• 車両ダイナミクス
• ホイールセット

この種の問題に対処する一般的な方法については、

• 制御工学

参考文献

1. オックスフォード英語辞典（第2版）。オックスフォード大学出版局。1989年。f. 機械、器具、システムなどのハンチング動作（hunt v. 7bを参照）。平衡速度、位置、または状態を中心とした望ましくない振動。
2. 「タルゴ」。
3. 車輪の軌跡が線路に沿って完全に真っ直ぐ走り、車輪のペアが線路の中央に位置する場合、追跡誤差はゼロになります。
4. 数学的な詳細については、曲率#関数のグラフを参照してください。近似的な等式は、トラッキングエラーyがxに対して傾きがゼロの。トラッキングエラーは正弦波となるため、傾きがゼロの点はトラッキングエラーy が最大となる点にあります。ただし、 yの傾きが小さい場合、等式は近似的に正しいです
5. yが正のとき は負でありことに注意してください。R に関するもう一つの式は、 y が負になる成立しなくなります。これは、半径Rが負になることが許されていないためです（数学的定義により）。しかし、 2つの式を結合して半径Rを消去すると、 y が負の場合とy が正の場合の2つのケースを検証することで、結果として得られる式は正しいものになります。${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {2ky}{rd}}}$
6. Iwnicki、p.7 式2.1
7. Carter, FW (1928年7月25日). 「機関車の走行安定性について」 . Proceedings of the Royal Society . 121 (788): 585– 610. Bibcode : 1928RSPSA.121..585C . doi : 10.1098/rspa.1928.0220 .
8. Knothe, K. (2008). 「車輪／レール接触力学の歴史：RedtenbacherからKalkerまで」. Vehicle System Dynamics . 46 ( 1–2 ): 9– 26. Bibcode : 2008VSD....46....9K . doi : 10.1080/00423110701586469 . S2CID 109580328 . 
9. Wickens, AH (1965–66). 「直線軌道における鉄道車両のダイナミクス：横方向安定性に関する基礎的考察」機械学会論文集：29–.
10. Wickens, AH; Gilchrist, AO; Hobbs, AEW (1969–70). 「高性能2軸貨物車両のサスペンション設計」. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers : 22–.
11. Serajian, Reza (2013). 「台車のハンチング挙動の非線形解析における横剛性の違いによるパラメータ変化の影響」『Journal of Measurements in Engineering』195–206ページ。
12. Serajian, Reza (2011). 「ホップ分岐理論によって認識された非線形輪軸ハンチングに対する台車と車体の慣性の影響」Int J Auto Engng : 186–196 .

• イヴニッキ、サイモン（2006年）『鉄道車両ダイナミクスハンドブック』CRCプレス。
• Shabana, Ahmed A.; et al. (2008).鉄道車両のダイナミクス：計算論的アプローチ. CRC Press.
• Wickens, AH (2003年1月1日).鉄道車両力学の基礎：誘導と横方向安定性. Swets & Zeitlinger.
• セラジアン、レザ (2013).台車のハンチング挙動の非線形解析における横剛性の違いによるパラメータ変化の影響. CRC Press.
• セラジアン、レザ (2011).ホップ分岐理論によって認識される非線形輪軸ハンチングに対する台車と車体の慣性の影響. CRC Press.