ハーウィッツ問題

数学において、フルヴィッツ問題（アドルフ・フルヴィッツにちなんで名付けられた）は、特定の数の変数の平方和の間に存在すると知られている関係を一般化した 二次形式間の乗法関係を見つける問題である。

説明

2つの変数の平方和の間にはよく知られた乗法関係がある。

（ × 2 + y 2 ） （ あなた 2 + v 2 ） ＝ （ × あなた − y v ） 2 + （ × v + y あなた ） 2   、 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})(u^{2}+v^{2})=(xu-yv)^{2}+(xv+yu)^{2}\ ,}

（ブラフマグプタ・フィボナッチ恒等式として知られる）、またオイラーの四平方恒等式とデゲンの八平方恒等式も存在する。これらはそれぞれ複素数（）、四元数（）、八元数（ ）のノルムの乗法性として解釈できる。[1] : 1–3  [2] C {\displaystyle \mathbb {C} } H {\displaystyle \mathbb {H} } お {\displaystyle \mathbb {O} }

K体に対するフルヴィッツ問題は、次の形の一般関係を求めることである。

（ × 1 2 + ⋯ + × r 2 ） ⋅ （ y 1 2 + ⋯ + y s 2 ） ＝ （ z 1 2 + ⋯ + z n 2 ）   、 {\displaystyle (x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\cdots +y_{s}^{2})=(z_{1}^{2}+\cdots +z_{n}^{2})\ ,}

ここで、 zはxとyの双線型形式である。つまり、各zはx i y jの形式の項のK線型結合である。[3] : 127 

Kに対してそのような恒等式が存在するとき、その三重項は許容可能と呼ばれる。 [1] : 125 許容可能な三重項の自明な例としては、以下のものが挙げられる。標数2のKの 場合、そのような体上ではすべての平方和が平方となるため、この問題は無意味であり、この場合は除外する。それ以外の場合、許容可能性は定義体に依存しないと考えられる。[1] : 137  （ r 、 s 、 n ） {\displaystyle \;(r,s,n)\;} （ r 、 s 、 r s ） 。 {\displaystyle \;(r,s,rs)\;.}

フルヴィッツ・ラドン定理

ハーウィッツは1898年に特別なケースでこの問題を提起し、係数が に考慮されるとき、許容される値は のみであることを示した[3] : 130 彼の証明は 2以外の任意の標数の体に拡張される。 [1] : 3  r ＝ s ＝ n {\displaystyle \;r=s=n\;} C {\displaystyle \mathbb {C} } （ n 、 n 、 n ） {\displaystyle \,(n,n,n)\,} n ∈ { 1 、 2 、 4 、 8 } 。 {\displaystyle \;n\in \{1,2,4,8\}\;.}

「ハーウィッツ・ラドン問題」とは、形式が許容可能な三つ組を見つける問題である。明らかに許容可能である。ハーウィッツ・ラドン定理は、任意の体上で許容可能であることを述べている。ここで、はvが奇数で定義される関数であり、 [1] : 137  [3] : 130である。  （ r 、 n 、 n ） 。 {\displaystyle \,(r,n,n)\;.} （ 1 、 n 、 n ） {\displaystyle \;(1,n,n)\;} （ ρ （ n ） 、 n 、 n ） {\displaystyle \;\left(\rho (n),n,n\right)\;} ρ （ n ） {\displaystyle \,\rho (n)\,} n ＝ 2 あなた v 、 {\displaystyle \;n=2^{u}v\;,} あなた ＝ 4 1つの + b 、 {\displaystyle \;u=4a+b\;,} 0 ≤ b ≤ 3 、 {\displaystyle \;0\leq b\leq 3\;,} ρ （ n ） ＝ 8 1つの + 2 b 。 {\displaystyle \;\rho (n)=8a+2^{b}\;.}

他の許容されるトリプルとしては、[1] : 138 と[1] : 137 がある。 （ 3 、 5 、 7 ） {\displaystyle \,(3,5,7)\,} （ 10 、 10 、 16 ） 。 {\displaystyle \,(10,10,16)\;.}

参照

参考文献

  1. ^ abcdefg Rajwade, AR (1993). Squares . ロンドン数学会講義ノートシリーズ. 第171巻.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-42668-5. Zbl  0785.11022。
  2. ^ Curtis, CW (1963). 「4平方問題と8平方問題と除算代数」. Albert, AA (編). 『現代代数研究』 .アメリカ数学協会. pp.  100– 125, 特に115.— 115 ページの Hurwitz の問題の解決。
  3. ^ abc Lam, Tsit-Yuen (2005).体上の二次形式入門.数学大学院研究. 第67巻.アメリカ数学会. ISBN 0-8218-1095-2. MR  2104929. Zbl  1068.11023.
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