静水力平衡
流体にかかる外力と内部の圧力勾配の間のバランス状態
静水力平衡状態にある新しく形成された惑星の図

流体力学において、静水力平衡（静水力バランス、ハイドロスタシーとも呼ばれる）は、流体または塑性固体が静止している状態であり、重力などの外力が圧力勾配力によって釣り合っているときに発生します。[1]地球の惑星物理学では、圧力勾配力は、重力によって地球の大気が薄くて密度の高い殻に崩壊するのを防ぎ、一方で重力は圧力勾配力が大気を宇宙空間に拡散するのを防ぎます。[2] [3]一般的に、これが宇宙の物体が球形になる原因です。

静水圧平衡は、準惑星と太陽系小天体との区別基準であり、天体物理学および惑星地質学における重要な特徴です。この静水圧平衡の要件は、天体の形状が主に自転によって対称的に丸みを帯び、楕円体状になっていることを示し、表面の不規則な特徴は比較的薄い固体地殻に起因するものです。太陽に加えて、太陽系には十数個の静水圧平衡天体の存在が確認されています。

数学的考察

強調表示された体積の流体が加速していない場合、その流体に加わる上向きの力は下向きの力と等しくなければなりません。

地球上の静水圧流体の場合: d P = − ρ ( P ) g ( h ) d h {\displaystyle dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh}

力の総和からの導出

ニュートンの運動の法則によれば、運動していない、または等速状態にある流体の体積には、正味の力はゼロでなければならないとされています。これは、ある方向への力の合計は、反対方向への等しい力の合計によって必ず打ち消されることを意味します。この力の釣り合いは静水圧平衡と呼ばれます。

流体は多数の直方体の体積要素に分割することができ、単一の要素を考慮することで流体の作用を導き出すことができます。

3つの力があります。直方体の上部に働く下向きの力は、圧力の定義から、 その上にある流体の圧力Pから、同様に、下側の流体の圧力から 体積要素 に働く上向きの力は、 F top = − P top A {\displaystyle F_{\text{top}}=-P_{\text{top}}A} F bottom = P bottom A {\displaystyle F_{\text{bottom}}=P_{\text{bottom}}A}

最後に、体積要素の重さによって下向きの力が作用します。密度をρ、体積をV、標準重力をgとすると、 この直方体の体積は、上面または底面の面積に高さを掛けたものに等しくなります。これは、立方体の体積を求める公式です。 F weight = − ρ g V {\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho gV} F weight = − ρ g A h {\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho gAh}

これらの力を釣り合わせると、流体にかかる力の合計は、 流体の速度が一定であればゼロになります。これをAで割ると、 P top − P bottomは圧力の変化、hは体積要素の高さ、つまり地面からの距離の変化です。これらの変化は極めて小さいと言えるため、この式は微分形式で表すことができます。 密度は圧力によって変化し、重力は高さによって変化するため、式は次のようになります。 ∑ F = F bottom + F top + F weight = P bottom A − P top A − ρ g A h {\displaystyle \sum F=F_{\text{bottom}}+F_{\text{top}}+F_{\text{weight}}=P_{\text{bottom}}A-P_{\text{top}}A-\rho gAh} 0 = P bottom − P top − ρ g h {\displaystyle 0=P_{\text{bottom}}-P_{\text{top}}-\rho gh} P top − P bottom = − ρ g h {\displaystyle P_{\text{top}}-P_{\text{bottom}}=-\rho gh} d P = − ρ g d h {\displaystyle dP=-\rho g\,dh} d P = − ρ ( P ) g ( h ) d h {\displaystyle dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh}

ナビエ・ストークス方程式からの導出

最後に、この最後の方程式は、次の平衡状態について 3 次元ナビエ–ストークス方程式を解くことによって導出できることに注目してください 。この場合、唯一の非自明な方程式は -方程式であり、次のようになります。 したがって、静水力平衡は、ナビエ–ストークス方程式の特に単純な平衡解と見なすことができます。 u = v = ∂ p ∂ x = ∂ p ∂ y = 0 {\displaystyle u=v={\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial p}{\partial y}}=0} z {\displaystyle z} ∂ p ∂ z + ρ g = 0 {\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}+\rho g=0}

一般相対性理論からの導出

完全流体のエネルギー運動量テンソルをアインシュタイン場の方程式 に代入し 、保存条件を使用すること で、等方座標における静的で球対称な相対論的星の構造に対する トールマン・オッペンハイマー・フォルコフ方程式 を導くことができます。 実際には、Ρとρは、 f ( Ρ , ρ ) = 0という形式の状態方程式によって関連しており、f は星の構成に固有です。M ( r ) は質量密度ρ ( r )で重み付けされた球の葉脈構造で、最大の球の半径はrです。 非相対論的極限をとる標準的な手順に従って、c → ∞とすると、因子 したがって 、非相対論的極限では、トールマン・オッペンハイマー・フォルコフ方程式はニュートンの静水力平衡に簡約されます。 (自明な表記法をh  =  r に変更し、 f ( Ρ , ρ ) = 0を使用してρ をPに関して表しました)。[4]回転する軸対称の星についても同様の方程式を計算できます。ゲージに依存しない形式では次のようになります。TOV 平衡方程式とは異なり、これらは 2 つの方程式です (たとえば、星を扱うときに通常どおり球座標を基底座標 として選択すると、インデックスi は座標rおよびに対して実行されます)。 T μ ν = ( ρ c 2 + P ) u μ u ν + P g μ ν {\displaystyle T^{\mu \nu }=\left(\rho c^{2}+P\right)u^{\mu }u^{\nu }+Pg^{\mu \nu }} R μ ν = 8 π G c 4 ( T μ ν − 1 2 g μ ν T ) {\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)} ∇ μ T μ ν = 0 {\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0} d P d r = − G M ( r ) ρ ( r ) r 2 ( 1 + P ( r ) ρ ( r ) c 2 ) ( 1 + 4 π r 3 P ( r ) M ( r ) c 2 ) ( 1 − 2 G M ( r ) r c 2 ) − 1 {\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}} M ( r ) = 4 π ∫ 0 r d r ′ r ′ 2 ρ ( r ′ ) . {\displaystyle M(r)=4\pi \int _{0}^{r}dr'\,r'^{2}\rho (r').} ( 1 + P ( r ) ρ ( r ) c 2 ) ( 1 + 4 π r 3 P ( r ) M ( r ) c 2 ) ( 1 − 2 G M ( r ) r c 2 ) − 1 → 1 {\displaystyle \left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}\rightarrow 1} d P d r = − G M ( r ) ρ ( r ) r 2 = − g ( r ) ρ ( r ) ⟶ d P = − ρ ( h ) g ( h ) d h {\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}=-g(r)\,\rho (r)\longrightarrow dP=-\rho (h)\,g(h)\,dh} ∂ i P P + ρ − ∂ i ln ⁡ u t + u t u φ ∂ i u φ u t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial _{i}P}{P+\rho }}-\partial _{i}\ln u^{t}+u_{t}u^{\varphi }\partial _{i}{\frac {u_{\varphi }}{u_{t}}}=0} ( t , r , θ , φ ) {\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )} θ {\displaystyle \theta }

アプリケーション

体液

静水圧平衡は、流体静力学および流体の平衡の原理に関係する。静水圧天秤は、水中の物質の重量を量るための特別な天秤である。静水圧天秤を用いることで、物質の比重を求めることができる。この平衡は、理想的な流体が安定した水平層流にある場合、および流体が静止しているか一定速度で垂直方向に運動している場合に厳密に適用可能である。また、流速が十分に低く、加速度が無視できる場合も、この平衡は十分な近似値となり得る。

天体物理学と惑星科学

アイザック・ニュートンの時代から、宇宙空間で流体が回転する際に達成される平衡状態については、多くの研究が行われてきました。これは、過去に流体であった可能性のある恒星や惑星などの天体、あるいは非常に高い応力を受けると固体が流体のように変形する天体にも適用されます。

恒星のどの層においても、外向きに押す圧力勾配と、その上にある物質の内向きに押す重力との間には静水圧平衡が存在します。静水圧平衡を仮定して惑星を研究することもできます。静水圧平衡状態にある自転する恒星または惑星は、通常、扁平回転楕円体、すなわち主軸のうち2つが等しく、3つ目よりも長い 楕円体です。

この現象の一例として、自転周期が12.5時間の恒星ベガが挙げられます。その結果、ベガは赤道上では極から極までよりも約20%大きくなります。

ニュートンは1687年に出版した著書『自然哲学の数学的原理』の中で、重力の影響下にある均一な密度の回転流体は回転楕円体の形をとり、重力（遠心力の影響を含む）は赤道上で極よりも弱くなり、その量は（少な​​くとも漸近的には）赤道上の遠心力の4分の5に等しいと正しく述べています。[5] 1742年、コリン・マクローリンは流数に関する論文を発表し、回転楕円体が正確な解であることを示しました。赤道半径をで、極半径を で、離心率を で表すと、 r e , {\displaystyle r_{e},} r p , {\displaystyle r_{p},} ϵ , {\displaystyle \epsilon ,}

ϵ = 1 − r p 2 / r e 2 , {\displaystyle \epsilon ={\sqrt {1-r_{p}^{2}/r_{e}^{2}}},}

彼は極地の重力が[6]であることを発見した。

g p = 4 π r p r e ϵ r e − r p arctan ⁡ ( ϵ r e / r p ) ϵ 3 G ρ = 3 ϵ r e − r p arctan ⁡ ( ϵ r e / r p ) ϵ 3 r e 3 G M {\displaystyle {\begin{aligned}g_{p}&=4\pi {\frac {r_{p}}{r_{e}}}{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}}}G\rho \\&=3{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}

ここで、は重力定数、は（均一な）密度、は全質量である。流体が回転していない場合、この比と重力の比は漸近的に次の式で表される。 G {\displaystyle G} ρ {\displaystyle \rho } M {\displaystyle M} g 0 , {\displaystyle g_{0},}

g p / g 0 ∼ 1 + 1 15 ϵ 2 ∼ 1 + 2 15 f {\displaystyle g_{p}/g_{0}\sim 1+{\frac {1}{15}}\epsilon ^{2}\sim 1+{\frac {2}{15}}f}

がゼロになると、平坦化は次のようになります。 ϵ {\displaystyle \epsilon } f {\displaystyle f}

f = r e − r p r e . {\displaystyle f={\frac {r_{e}-r_{p}}{r_{e}}}.}

赤道上の重力（遠心力を除く）は

g e = 3 2 ( 1 r e r p − ϵ r e − r p arctan ⁡ ( ϵ r e / r p ) ϵ 3 r e 2 r p ) G M = 3 2 r e arctan ⁡ ( ϵ r e / r p ) − ϵ r p ϵ 3 r e 3 G M {\displaystyle {\begin{aligned}g_{e}&={\frac {3}{2}}\left({\frac {1}{r_{e}r_{p}}}-{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{2}r_{p}}}\right)GM\\&={\frac {3}{2}}{\frac {r_{e}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})-\epsilon r_{p}}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}

漸近的に次のようになります。

g e / g 0 ∼ 1 − 1 30 ϵ 2 ∼ 1 − 1 15 f {\displaystyle g_{e}/g_{0}\sim 1-{\frac {1}{30}}\epsilon ^{2}\sim 1-{\frac {1}{15}}f}

マクローリンは（やはり均一密度の場合）、自転軸に向かう重力成分は自転軸からの距離のみに依存し、その距離に比例することを示し、赤道面に向かう成分は赤道面からの距離のみに依存し、その距離に比例することを示した。ニュートンは既に、極から赤道、あるいは中心に向かう水路の底部で同じ圧力を得るためには、赤道上で感じる重力（遠心力による軽量化を含む）が一定でなければならないことを指摘していた。したがって、赤道における遠心力は一定でなければならない。 r p r e g p {\displaystyle {\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}}

g e − r p r e g p ∼ 2 5 ϵ 2 g e ∼ 4 5 f g e . {\displaystyle g_{e}-{\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}\sim {\frac {2}{5}}\epsilon ^{2}g_{e}\sim {\frac {4}{5}}fg_{e}.}

緯度を子午線の接線と回転軸の間の角度と定義すると、緯度で感じる重力の合計（遠心力の影響を含む）は ϕ {\displaystyle \phi }

g ( ϕ ) = g p ( 1 − f ) 1 − ( 2 f − f 2 ) sin 2 ⁡ ϕ . {\displaystyle g(\phi )={\frac {g_{p}(1-f)}{\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi }}}.}

この回転楕円体の解は、ある一定の（臨界）角運動量（ で正規化）までは安定しているが、1834 年にカール ヤコビは、離心率が 0.81267（または0.3302）に達すると不安定になることを示した。臨界値を超えると、解はヤコビ楕円体、つまり不等辺楕円体（3 つの軸がすべて異なるもの）になる。1885年にアンリ ポアンカレは、さらに高い角運動量では楕円体ではなく梨状または卵形 になることを発見した。対称性は、8 倍の D 2h点群から、軸が回転軸に垂直な4 倍の C 2vに低下する。 [7]他の形状は、それを超える方程式を満たしているが、少なくとも分岐点 の近くでは安定していない。[7] [8]ポアンカレは、より高い角運動量で何が起こるかは確信が持てなかったが、最終的には塊が2つに分裂すると結論付けた。 M G ρ r e {\displaystyle M{\sqrt {G\rho r_{e}}}} f {\displaystyle f}

密度が均一であるという仮定は、溶融惑星や岩石惑星にはある程度当てはまるかもしれないが、恒星や、地球のような高密度の金属核を持つ惑星には当てはまらない。1737年、アレクシ・クレローは、密度が深度によって変化するケースを研究した。[9] クレローの定理は、重力（遠心力を含む）の変化は緯度の正弦の2乗に比例し、その比例性は扁平率（）と赤道における遠心力と重力の比に線形に依存することを述べている。（密度が均一な場合の上記の正確な関係と比較すること。）クレローの定理は、後にピエール＝シモン・ラプラスによって発見された、形状と重力の変化との関連性の、扁平回転楕円体に関する特殊なケースである。[10] f {\displaystyle f}

恒星の近くに質量の大きい伴天体がある場合、潮汐力も作用し、自転だけでは回転楕円体になるは​​ずの恒星が不等辺形に歪んでしまう。その例として、こと座β星が挙げられる。

静水力学的平衡は銀河団内媒質にとっても重要であり、銀河団の中心核に存在できる流体の量を制限します。

静水力平衡の原理を用いて、銀河団における暗黒物質の速度分散を推定することもできます。X線放射を発するのはバリオン物質（あるいは、それらの衝突）のみです。単位体積あたりの絶対X線輝度は、次の式で表されます。ここで、 とはバリオン物質の温度と密度であり、 は温度と基本定数の関数です。バリオン密度は上記の式を満たします。 積分は銀河団の総質量を表す尺度であり、 は銀河団の中心までの適切な距離です。理想気体の法則（はボルツマン定数、はバリオン気体粒子の特性質量） を使って整理すると、次の式が得られる。 を掛け て について微分すると、次の式が得 られる 。 冷たい暗黒物質粒子が等方的な速度分布を持つと仮定すると、同じ導出がこれらの粒子に適用され、その密度は非線形微分方程式を満たす。 完全なX線データと距離データがあれば、クラスター内の各ポイントでのバリオン密度、つまり暗黒物質密度を計算できる。 次に、暗黒物質の速度分散を計算することができ、これは 次のように与えられる 。 中心密度比はクラスターの 赤方偏移に依存し、次のように与えられる。 ここではクラスターの角幅、 はクラスターまでの適切な距離である。この比の値は、さまざまな調査で0.11から0.14の範囲である。[11] L X = Λ ( T B ) ρ B 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=\Lambda (T_{B})\rho _{B}^{2}} T B {\displaystyle T_{B}} ρ B {\displaystyle \rho _{B}} Λ ( T ) {\displaystyle \Lambda (T)} d P = − ρ g d r {\displaystyle dP=-\rho g\,dr} p B ( r + d r ) − p B ( r ) = − d r ρ B ( r ) G r 2 ∫ 0 r 4 π r 2 ρ M ( r ) d r . {\displaystyle p_{B}(r+dr)-p_{B}(r)=-dr{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.} r {\displaystyle r} p B = k T B ρ B / m B {\displaystyle p_{B}=kT_{B}\rho _{B}/m_{B}} k {\displaystyle k} m B {\displaystyle m_{B}} d d r ( k T B ( r ) ρ B ( r ) m B ) = − ρ B ( r ) G r 2 ∫ 0 r 4 π r 2 ρ M ( r ) d r . {\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)=-{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.} r 2 / ρ B ( r ) {\displaystyle r^{2}/\rho _{B}(r)} r {\displaystyle r} d d r [ r 2 ρ B ( r ) d d r ( k T B ( r ) ρ B ( r ) m B ) ] = − 4 π G r 2 ρ M ( r ) . {\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{B}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).} ρ D = ρ M − ρ B {\displaystyle \rho _{D}=\rho _{M}-\rho _{B}} d d r [ r 2 ρ D ( r ) d d r ( k T D ( r ) ρ D ( r ) m D ) ] = − 4 π G r 2 ρ M ( r ) . {\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{D}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{D}(r)\rho _{D}(r)}{m_{D}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).} σ D 2 {\displaystyle \sigma _{D}^{2}} σ D 2 = k T D m D . {\displaystyle \sigma _{D}^{2}={\frac {kT_{D}}{m_{D}}}.} ρ B ( 0 ) / ρ M ( 0 ) {\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)} z {\displaystyle z} ρ B ( 0 ) / ρ M ( 0 ) ∝ ( 1 + z ) 2 ( θ s ) 3 / 2 {\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)\propto (1+z)^{2}\left({\frac {\theta }{s}}\right)^{3/2}} θ {\displaystyle \theta } s {\displaystyle s}

惑星地質学

静水力平衡の概念も、天体が惑星、準惑星、または太陽系小天体であるかどうかを決定する上で重要になってきています。国際天文学連合が 2006 年に採択した惑星の定義によると、惑星と準惑星の特徴の 1 つは、自身の剛性を克服して静水力平衡をとるのに十分な重力を持つ天体であるという点です。このような天体は多くの場合、世界 (惑星) の分化した内部と地質を備えていますが、原始惑星4 ベスタなどの近静水力天体または以前は静水力天体であった天体も分化している可能性があり、一部の静水力天体 (特にカリスト) は形成以来完全に分化していません。平衡形状は、地球の場合と同様に、扁平回転楕円体であることが多いです。ただし、同期軌道にある衛星の場合は、ほぼ一方向の潮汐力が不等辺楕円体を作り出します。また、準惑星とされるハウメアは、現在は平衡状態にないかもしれないが、急速に自転しているため不等辺である。

氷の天体はこれまで、岩石の天体よりも静水力平衡に達するのに必要な質量が少ないと考えられていた。平衡形状をしているように見える最小の天体は、396 km の氷衛星ミマスであるが、明らかに非平衡形状であることが知られている最大の氷天体は、420 ​​km の氷衛星プロテウスであり、明らかに非平衡形状である最大の岩石天体は、約 520 km の小惑星パラスとベスタである。しかし、ミマスは現在の回転では実際には静水力平衡状態ではない。静水力平衡状態にあることが確認されている最小の天体は、945 km の氷である準惑星ケレスであり、静水力平衡から顕著に逸脱している最大の既知の天体は、ほとんどが浸透性の氷でできており岩石がほとんどないイアペトゥスである。 [12]イアペトゥスは 1,469 km で球形でも楕円体でもない。むしろ、独特の赤道海嶺によって、奇妙なクルミのような形をしています。[13]一部の氷天体は、少なくとも部分的には地下海によって平衡状態にある可能性がありますが、これはIAUが用いる平衡の定義（重力が内部の剛体力に打ち勝つ）とは異なります。さらに大きな天体も、楕円体であっても静水圧平衡状態から外れます。例として、地球の月は3,474km（主に岩石）、[14]や水星は4,880km（主に金属）です。[15]

2024年、キスらは、クワオアーが現在の自転速度では静水力平衡に適さない楕円体形状をしていることを突き止めました。彼らは、クワオアーは元々は高速で静水力平衡状態にあったものの、衛星ウェイウォットの潮汐力によって「固定」され、自転速度が下がっても形状が変化しなかったという仮説を立てました。[16]もしそうであれば、これは現在の自転速度では扁平すぎるイアペトゥスの状況に似ています。[17] [18]それでもイアペトゥスは一般的には依然として惑星質量の衛星と考えられていますが[19]、常にそうであるとは限りません。[20]

固体の表面は不規則ですが、局所的な不規則性は地球全体の平衡と一致する場合があります。例えば、地球で最も高い山であるマウナケアの巨大な山麓は、周囲の地殻を変形させて地表を沈下させているため、全体的な質量分布は平衡に近づいています。

大気モデリング

大気中では、高度が上昇するにつれて気圧が低下します。この圧力差によって、気圧傾度力と呼ばれる上向きの力が生まれます。重力はこの力とバランスを取り、大気を地球に結びつけ、高度による気圧差を維持します。

参照

参考文献

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