カック・ムーディ代数

数学において、カツ・ムーディ代数（1968年に独立して同時に発見したビクター・カツとロバート・ムーディにちなんで名付けられた^）は、通常無限^次元の^リー代数であり、一般化されたカルタン行列を介した生成元と関係によって定義できる。これらの代数は有限次元半単純リー代数の一般化を形成し、リー代数の構造に関連する多くの性質、例えばルート系、既約表現、旗多様体への接続などは、カツ・ムーディの設定に自然な類似性を持つ。

カック・ムーディ代数の一種であるアフィン・リー代数は、数学と理論物理学、特に2次元共形場理論と厳密に解ける模型理論において特に重要である。カックは、アフィン・カック・ムーディ代数の表現論に基づく、ある種の組合せ論的恒等式、すなわちマクドナルド恒等式のエレガントな証明を発見した。ハワード・ガーランドとジェームズ・レポウスキーは、ロジャース・ラマヌジャン恒等式も同様の方法で導出できることを実証した。 ^{[ 2 ]}

カッツ・ムーディ代数の歴史

エリー・カルタンとヴィルヘルム・キリングによるカルタン整数からの有限次元単純リー代数の初期構築は、型に依存していました。1966年、ジャン＝ピエール・セールは、クロード・シュヴァレーとハリシュ＝チャンドラの関係^{[ 3 ]}とネイサン・ジェイコブソンによる簡略化^{[ 4 ]}により、リー代数の定義的な表現が得られることを示しました^{[ 5 ]}。こうして、カルタン整数の行列（これは自然に正定値行列です）のデータを用いて、生成元と関係式を用いて単純リー代数を記述できるようになりました。

1967年、ソ連のヴィクトル・カツとカナダのロバート・ムーディはほぼ同時に、後にカツ・ムーディ代数となるものを開発した。カツとムーディは、ヴィルヘルム・キリングの条件を緩和しても、カルタン行列にリー代数を関連付けることができ、必然的に無限次元となることに気づいた。 – AJコールマン^{[ 6 ]}

ロバート・ムーディは1967年の学位論文で、カルタン行列がもはや正定値ではないリー代数を考察した。 ^{[ 7 ] [ 8 ]}この学位論文でもリー代数は生まれたが、今度は無限次元となった。同時期に、Z次数リー代数はモスクワで研究されており、そこでIL・カントールは後にカツ・ムーディ代数として知られるようになるものを含むリー代数の一般クラスを導入し研究した。^{[ 9 ]}ヴィクター・カツもまた、多項式増加を伴う単純またはほぼ単純なリー代数を研究していた。無限次元リー代数の豊富な数学理論が発展した。この主題の説明は、他の多くの研究も含め、(カツ 1990)に示されている。^{[ 10 ]}また、(セリグマン 1987)も参照のこと。^{[ 11 ]}

導入

n × nの一般化カルタン行列 が与えられれば、生成元、 、 と次の関係 で定義されるリー代数を構築できます。${\displaystyle C={\begin{pmatrix}c_{ij}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}\left(i\in \{1,\ldots ,n\}\right)}$

• ${\displaystyle \left[h_{i},h_{j}\right]=0\ }$ すべてのために;${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$
• ${\displaystyle \left[h_{i},e_{j}\right]=c_{ij}e_{j}}$ ;
• ${\displaystyle \left[h_{i},f_{j}\right]=-c_{ij}f_{j}}$ ;
• ${\displaystyle \left[e_{i},f_{j}\right]=\delta _{ij}h_{i}}$ 、クロネッカーのデルタはどこにあるか。${\displaystyle \delta _{ij}}$
• （つまり）の場合、 であり、 はの随伴表現です。${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle c_{ij}\leq 0}$ ${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y],}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

「対称化可能性」の仮定の下では、以下で定義されるアフィンカッツ・ムーディ代数の導来部分代数と同一視される。^{[ 12 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)=[{\mathfrak {g}}(C),{\mathfrak {g}}(C)]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}(C)}$

意味

階数rの一般化カルタン行列C = ( c _ij )が与えられていると仮定する。任意のに対して、同型写像を除いて唯一の実現である3つ組) が存在する。ここでは複素ベクトル空間、は の元の部分集合、は双対空間の部分集合であり、以下の3つの条件を満たす：^{[ 13 ]}${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {h}},\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n},\{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$

1. ベクトル空間の次元は2 n  −  rである。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
2. 集合と集合は線形独立であり、${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n}}$
3. すべての について。${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,\alpha _{i}\left(\alpha _{j}^{\vee }\right)=c_{ji}}$

は半単純リー代数の単純ルートに類似しており、 は単純コルートに類似しています。 ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee }}$

次に、生成元とと関係 の元によって定義されるリー代数として、関連するカッツ・ムーディ代数を定義します。${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:={\mathfrak {g}}(C)}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}\left(i\in \{1,\ldots ,n\}\right)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• ${\displaystyle \left[h,h'\right]=0\ }$ のために;${\displaystyle h,h'\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \left[h,e_{i}\right]=\alpha _{i}(h)e_{i}}$ 、 のために;${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \left[h,f_{i}\right]=-\alpha _{i}(h)f_{i}}$ 、 のために;${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$
• ${\displaystyle \left[e_{i},f_{j}\right]=\delta _{ij}\alpha _{i}^{\vee }}$ 、クロネッカーのデルタはどこにあるか。${\displaystyle \delta _{ij}}$
• （つまり）の場合、 であり、 はの随伴表現です。${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle c_{ij}\leq 0}$ ${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y],}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

実数（おそらく無限次元）リー代数は、その複素化がKac-Moody 代数である場合、 Kac-Moody 代数ともみなされます。

カッツ・ムーディ代数のルート空間分解

${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ は、カッツ・ムーディ代数のカルタン部分代数の類似体である。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

が の元であり、${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x}$

ある に対してはルートベクトルと呼ばれ、は のルートです。（慣例により、零関数はルートとはみなされません。） のすべてのルートの集合は、しばしば で表され、 で表されることもあります。与えられたルート に対して、のルート空間は で表されます。つまり、 ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\backslash \{0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:\forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x\}}$ 。

との定義関係から、 が成り立つことがわかります。また、とならば、ヤコビ恒等式が成り立ちます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle e_{i}\in {\mathfrak {g}}_{\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle f_{i}\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle x_{1}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}}}$ ${\displaystyle x_{2}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}}}$ ${\displaystyle \left[x_{1},x_{2}\right]\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$

この理論の基本的な結果は、任意のカッツ・ムーディ代数はそのルート空間の直和に分解できることである。つまり、 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\lambda \in \Delta }{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$ 、

そして、すべての根はと書くことができ、はすべて同じ符号の整数である。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}z_{i}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle z_{i}}$

カッツ・ムーディ代数の種類

Kac-Moody代数の性質は、その一般化カルタン行列Cの代数的性質によって制御されます。Kac-Moody代数を分類するには、分解不可能な行列Cの場合を考えれば十分です。つまり、添え字集合Iを、空でない部分集合I ₁とI _{2の互いに素な和集合に分解して、} I ₁のすべてのiとI ₂のすべてのjに対してC _ij = 0となるような分解は存在しないと仮定します。一般化カルタン行列の任意の分解は、対応するKac-Moody代数の直和分解につながります。

${\displaystyle {\mathfrak {g}}(C)\simeq {\mathfrak {g}}\left(C_{1}\right)\oplus {\mathfrak {g}}\left(C_{2}\right),}$

ここで、右側の2つのKac-Moody代数は、インデックスセットI ₁とI _{2に対応する}Cの部分行列に関連付けられています。

Kac-Moody代数の重要なサブクラスは、対称化可能な一般カルタン行列Cに対応し、これはDSに分解できる。ここで、Dは正の整数要素を持つ対角行列であり、 Sは対称行列である。 Cが対称化可能かつ分解不可能であるという仮定の下、Kac-Moody代数は3つのクラスに分類される。

• 正定値行列Sは有限次元の単純リー代数を生成します。
• 半正定値行列Sは、アフィン型無限次元 Kac-Moody 代数、またはアフィンリー代数を生じます。
• 不定行列Sは不定型Kac-Moody代数を生成します。
• CとDの対角要素は正であるため、S は負定値または負半定値にはできません。

有限型およびアフィン型の対称化可能かつ非分解な一般化カルタン行列は完全に分類されている。これらはディンキン図およびアフィン・ディンキン図に対応する。不定型のカッツ・ムーディー代数についてはほとんど知られていないが、これらのカッツ・ムーディー代数に対応する群はジャック・ティッツによって任意の体上に構成されている。^{[ 14 ]}

不定値型のカッツ・ムーディ代数のうち、最も多くの研究は双曲型に焦点が当てられてきた。双曲型では行列Sは不定値であるが、 Iの各固有部分集合に対して、対応する部分行列は正定値または半正定値である。双曲型カッツ・ムーディ代数の階数は最大10であり、完全に分類されている。^{[ 15 ]} 階数が2のものは無限個存在し、階数が3から10のものは238個存在する。

参照

• ワイル・カック指標式
• 一般化カッツ・ムーディ代数
• 積分可能なモジュール
• 怪物のような密造酒

引用

1. Zhe-xian 1991、序文。
2. (?) Garland, H.; Lepowsky, J. (1976). 「リー代数ホモロジーとマクドナルド・カック公式」. Invent. Math. 34 (1): 37– 76. Bibcode : 1976InMat..34...37G . doi : 10.1007/BF01418970 . S2CID  122385055 .
3. Harish-Chandra (1951). 「半単純リー代数の普遍包絡代数のいくつかの応用について」 . Trans. Amer. Math. Soc. 70 (1): 28– 96. doi : 10.1090/S0002-9947-1951-0044515-0 . JSTOR 1990524 . 
4. Jacobson, N. (1962).リー代数. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics. 第10巻. ニューヨーク・ロンドン: Interscience Publishers (a division of John Wiley & Sons).
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8. ムーディ 1968,リー代数の新しいクラス
9. Kantor, IL (1970). 「Graded Lie algebras」. Trudy Sem. Vektor. Tenzor. Anal. (ロシア語). 15 : 227– 266.
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11. セリグマン, ジョージ・B. (1987). 「書評：無限次元リー代数」 . Bull. Amer. Math. Soc . NS 16 (1): 144– 150. doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15492-9 .
12. Kac 1990,無限次元リー代数、第3版
13. Kac 1990,無限次元リー代数、命題1.1
14. Tits, J. (1987). 「体上のKac–Moody群の一意性と表現」 . Journal of Algebra . 105 (2): 542– 573. doi : 10.1016/0021-8693(87)90214-6 .
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参考文献

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• ロバート・V・ムーディ「新しいリー代数のクラス」、代数ジャーナル、10（1968）、211–230。doi：10.1016 / 0021-8693 ( 68 ) 90096-3 MR 0229687 
• Victor Kac , Infinite dimensional Lie algebras , 3rd edition, Cambridge University Press (1990) ISBN 0-521-46693-8[1]
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• 「カッツ・ムーディ代数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• Victor G. Kac,有限成長の単純既約次数付きリー代数Math. USSR Izv., 2 (1968) pp. 1271–1311, Izv. Akad. Nauk USSR Ser. Mat., 32 (1968) pp. 1923–1967
• スタヌモーシー、N.ミスラ、カイラス C. 編(2004)。Kac-Moody リー代数と関連トピック。アムス。ISBN 0-8218-3337-5。
• Shrawan Kumar , Kac–Moody Groups, their Flag Varieties and Representation Theory , 初版, Birkhäuser (2002). ISBN 3-7643-4227-7。
• ワン・ゼシアン (1991)。Kac-Moody 代数の紹介。世界科学。ISBN 981-02-0224-5。

外部リンク

• SIGMA: Kac-Moody代数とその応用に関する特集号