双曲線余弦定理

双曲幾何学において、「余弦定理」は双曲平面上の三角形の辺と角度を関連付ける一対の定理であり、平面三角法における平面余弦定理、あるいは球面三角法における球面余弦定理に類似している。^{[1]また、相対論的}速度加法の公式とも関連している。^{[2] [3]}

歴史

双曲幾何学の関係を記述して、フランツ・タウリヌスは1826年に球面余弦定理が虚半径の球面と関連していることを示し、次のように双曲余弦定理を導きました。 [ ^{5 ]}

$${\displaystyle A=\operatorname {arccos} {\frac {\cos \left(\alpha {\sqrt {-1}}\right)-\cos \left(\beta {\sqrt {-1}}\right)\cos \left(\gamma {\sqrt {-1}}\right)}{\sin \left(\beta {\sqrt {-1}}\right)\sin \left(\gamma {\sqrt {-1}}\right)}}}$$

これはニコライ・ロバチェフスキー（1830）によっても示されている： ^[6]

$${\displaystyle \cos A\sin b\sin c-\cos b\cos c=\cos a;\quad [a,\ b,\ c]\rightarrow \left[a{\sqrt {-1}},\ b{\sqrt {-1}},\ c{\sqrt {-1}}\right]}$$

フェルディナンド・ミンディングは、これを一定の負の曲率を持つ曲面との関係で示した。^[7]

$${\displaystyle \cos a{\sqrt {k}}=\cos b{\sqrt {k}}\cdot \cos c{\sqrt {k}}+\sin b{\sqrt {k}}\cdot \sin c{\sqrt {k}}\cdot \cos A}$$

デルフィーノ・コダッツィも1857年に次のように述べた。^[8]

$${\displaystyle \cos \beta \,p\left({\frac {a}{r}}\right)p\left({\frac {s}{r}}\right)=q\left({\frac {a}{r}}\right)q\left({\frac {s}{r}}\right)-q\left({\frac {\lambda }{r}}\right),\quad \left[{\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}=p(t),\ {\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}=q(t)\right]}$$

ラピディティを用いた相対性理論との関係は、1909年にアーノルド・ゾンマーフェルト^[9]、1910年にウラジミール・ヴァリチャク^[10]によって示されました。

双曲線余弦定理

ガウス曲率が である双曲平面を考えます。角がで辺の長さが、、 である双曲三角形が与えられたとき、次の2つの規則が成り立ちます。1つ目はユークリッドの余弦定理に類似したもので、1辺の長さを他の2辺の長さと、それらの間の角度で表します。 ${\textstyle -{\frac {1}{k^{2}}}}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle BC=a}$ ${\displaystyle AC=b}$ ${\displaystyle AB=c}$

${\displaystyle \cosh {\frac {a}{k}}=\cosh {\frac {b}{k}}\cosh {\frac {c}{k}}-\sinh {\frac {b}{k}}\sinh {\frac {c}{k}}\cos \alpha ,}$

1

第二法則は、双曲三角形の辺の長さが内角によって決まるという事実を表現しているため、ユークリッド法則に相当するものはありません。

$${\displaystyle \cos \alpha =-\cos \beta \cos \gamma +\sin \beta \sin \gamma \cosh {\frac {a}{k}}.}$$

ハウゼルは、双曲余弦定理は理想的な双曲三角形の場合の平行角を意味すると指摘している。 ^[11]

頂点Aが無限大に拒否され、辺BAとCAが「平行」であるとき、最初の要素は 1 に等しくなります。さらに、となり、Bでの角度は値βを取ります。この角度は後に「平行角」と呼ばれ、ロバチェフスキーはそれを「F ( a )」または「Π( a ) 」で示しました。${\displaystyle \alpha =0,}$ ${\displaystyle \gamma =\pi /2}$ ${\displaystyle \cos \gamma =0}$ ${\displaystyle \sin \gamma =1.}$ ${\displaystyle 1=\sin \beta \cosh(a/k);}$

ハーヴァーサインの双曲法則

が小さく、かつ を解く場合、双曲型余弦定理の標準形の数値精度は、球面余弦定理の場合と全く同じ理由で、丸め誤差によって低下します。このような場合、双曲型余弦定理が有用であることが証明されます。 ${\displaystyle a/k}$

$${\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {a}{2k}}=\sinh ^{2}{\frac {b-c}{2k}}+\sinh {\frac {b}{k}}\sinh {\frac {c}{k}}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}},}$$

双曲余弦則による相対論的速度加算

（１ ）を設定し、双曲正接に関する双曲的恒等式を用いると、双曲余弦定理は次のように書ける。 ${\displaystyle \left[{\tfrac {a}{k}},\ {\tfrac {b}{k}},\ {\tfrac {c}{k}}\right]=\left[\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&\cosh \xi &=\cosh \eta \cosh \zeta -\sinh \eta \sinh \zeta \cos \alpha \\&\Rightarrow &{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\xi }}}&={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}-{\frac {\tanh \eta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{\frac {\tanh \zeta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\cos \alpha \\&\Rightarrow &\tanh \xi &={\frac {\sqrt {-\tanh ^{2}\zeta -\tanh ^{2}\eta +2\tanh \eta \tanh \zeta \cos \alpha +\left(\tanh \eta \tanh \zeta \sin \alpha \right)^{2}}}{1-\tanh \eta \tanh \zeta \cos \alpha }}\end{aligned}}}$

2

比較すると、x方向とy方向、および任意の角度での特殊相対論の速度加法式は、vが2つの慣性系間の相対速度、uが他の物体またはフレームの速度、cが光速である場合、次のように与えられる^[2]。${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\left[U_{x},\ U_{y}\right]&=\left[{\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},\ {\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}}\right]\\&&U^{2}&=U_{x}^{2}+U_{y}^{2},\ u^{2}=u_{x}^{2}+u_{y}^{2},\ \tan \alpha ={\frac {u_{y}}{u_{x}}}\\&\Rightarrow &U&={\frac {\sqrt {-u^{2}-v^{2}+2vu\cos \alpha +\left({\frac {vu\sin \alpha }{c}}\right){}^{2}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u\cos \alpha }}\end{aligned}}}$$

この結果は双曲余弦則に対応することが判明しており、相対論的ラピディティと同一視することで（ 2 ）の式は次の形をとる：^{[10] [3]}${\displaystyle \left[\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right]}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \left(\left[{\frac {U}{c}},\ {\frac {v}{c}},\ {\frac {u}{c}}\right]=\left[\tanh \xi ,\ \tanh \eta ,\ \tanh \zeta \right]\right)},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\cosh \xi &=\cosh \eta \cosh \zeta -\sinh \eta \sinh \zeta \cos \alpha \\&\Rightarrow &{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {U^{2}}{c^{2}}}}}}&={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}-{\frac {v/c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {u/c}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\cos \alpha \\&\Rightarrow &U&={\frac {\sqrt {-u^{2}-v^{2}+2vu\cos \alpha +\left({\frac {vu\sin \alpha }{c}}\right)^{2}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u\cos \alpha }}\end{aligned}}}$$

参照

• 双曲線正弦定理
• 双曲三角形の三角法
• ローレンツ変換の歴史

参考文献

1. アンダーソン (2005); Reid & Szendröi (2005)、§3.10 双曲三角形と三角関数。ライマン（1999）。
2. Pauli（1921）、561ページ。
3. Barrett (2019).
4. タウリヌス（1826年）、66ページ
5. ボノーラ（1912）、79ページ；グレイ（1979）、242ページ。
6. ロバチェフスキー（1898）、21-65頁；ボノラ（1912）、89頁；グレイ（1979）、244頁。
7. Minding（1840）；Bonola（1912）137ページ；Gray（1979）246ページ。
8. コダッツィ（1857年）。
9. ゾンマーフェルト（1909年）。
10. Varičak (1912)
11. ハウゼル（1992年）、8ページ。

参考文献

• アンダーソン、ジェームズ・W. (2005).双曲幾何学（第2版）. ロンドン: シュプリンガー. ISBN 1-85233-934-9。
• バレット、JF (2019) [2006].双曲型相対性理論. arXiv : 1102.0462 .
• ボノーラ、R.（1912）『非ユークリッド幾何学：その発展に関する批判的・歴史的研究』シカゴ：オープンコート。
• コダッツィ、D. (1857)。 "Intorno alle superficie le quali hannocostante il prodotto de due raggi di curvatura" [2 つの曲率半径の積が一定である曲面について]。アン。科学。マット。 Fis.（イタリア語で）。8 : 351–354 .
• グレイ, J. (1979). 「非ユークリッド幾何学：再解釈」. Historia Mathematica . 6 (3): 236– 258. doi : 10.1016/0315-0860(79)90124-1 .
• ハウゼル、クリスチャン (1992). 「非ユークリッド幾何学の誕生」. ボイ, L.、フラメント, D.、サランスキス, JM (編). 『1830–1930: 幾何学の世紀：認識論、歴史、数学』 .物理学講義ノート. 第402巻.シュプリンガー出版社. pp.  3– 21. ISBN 3-540-55408-4。
• ロバチェフスキー、N. (1898) [1830]。 「Über die Anfangsgründe der Geometrie」[幾何学の始まりについて]。エンゲル、F.シュテッケル、P. (編)。 Zwei geometrische Abhandlungen [ 2 つの幾何学論文] (ドイツ語)。ライプツィヒ：トイブナー。 21–65ページ。
• マインド、F. (1840)。 「Beiträge zur Theorie der kürzesten Linien auf krummen Flächen」。数学に関するジャーナル。20：324。
• パウリ、ヴォルフガング(1921)。 「Die Relativitätstheorie」[相対性理論]。Encyclopaedie der mathematischen Wissenschaften (ドイツ語)。5 (2): 539–776。
• パウリ、ヴォルフガング (1981) [1921]. 「相対性理論」.物理学基礎理論. 165.ドーバー出版. ISBN 0-486-64152-X。
• マイルズ・リード;センドロイ、バラズ (2005)。ジオメトリとトポロジ。ケンブリッジ大学出版局。 §3.10 双曲三角形と三角形。ISBN 0-521-61325-6. MR  2194744。
• ライマン、イシュトヴァーン (1999)。Geometria és határterületei (ハンガリー語)。 Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. ISBN 978-963-237-012-5。
• ゾンマーフェルト、A. (1909)。 「相対性理論における速度の構成について」そうですね。ドイツ語。物理学。ゲス。（ドイツ語で）。21 : 577–582 .
• タウリヌス、フランツ・アドルフ（1826年）。ジオメトリエ プリマ エレメンタ。 Recensuit et novas Observes adjecit [幾何学の最初の要素。レビューされ、新たに追加された観察結果] (ラテン語)。ケルン: バッヘム。 p. 66.
• ウラジミール、ヴァリチャク（1912年）。「 相対性理論の非ユークリッド解釈について」。Jahresbericht der Deutschen Mathematikar-Vereinigung (ドイツ語)。21 : 103–127 .

外部リンク

• 非ユークリッド幾何学、ベルリン工科大学の数学Wiki
• 速度合成とラピディティ（MathPages）