ハイパーホモロジー
鎖複体を用いた（コ）ホモロジーの一般化

ホモロジー代数において、ハイパーホモロジーまたはハイパーコホモロジー（）は、（コ）ホモロジー関手の一般化であり、入力としてアーベル圏の対象ではなく、対象の連鎖複体、つまり の対象をとります。ハイパーコホモロジーは導来大域切断関手に対応するため、これは対象の導来関手コホモロジーと連鎖複体のホモロジーの中間のようなものである。 H ＊ （ − ） 、 H ＊ （ − ） {\displaystyle \mathbb {H} _{*}(-),\mathbb {H} ^{*}(-)} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} Ch （ A ） {\displaystyle {\text{Ch}}({\mathcal {A}})} R ＊ Γ （ − ） {\displaystyle \mathbf {R}^{*}\Gamma (-)}

ハイパーホモロジーは、現在ではあまり使用されていません。1970 年頃から、導来カテゴリ間の導来関手というほぼ同等の概念に大部分置き換えられました。

動機

ハイパーコホモロジーの動機の1つは、コホモロジー長完全列を短完全列に関連付けた明らかな一般化がないという事実から来ています

0 → M ′ → M → M ″ → 0 {\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}

つまり、関連する長い正確なシーケンスが存在する

0 → H 0 （ M ′ ） → H 0 （ M ） → H 0 （ M ″ ） → H 1 （ M ′ ） → ⋯ {\displaystyle 0\to H^{0}(M')\to H^{0}(M)\to H^{0}(M'')\to H^{1}(M')\to \cdots }

ハイパーコホモロジーは、その入力がアーベルカテゴリのオブジェクトだけではなく連鎖複体によって与えられるため、任意の長完全列から同様のコホモロジー関連長完全列を構築する手法を与えることがわかります。

0 → M 1 → M 2 → ⋯ → M k → 0 {\displaystyle 0\to M_{1}\to M_{2}\to \cdots \to M_{k}\to 0}

この連鎖複合体を区別された三角形に変換することができます（導出カテゴリの 三角形化カテゴリの言語を使用）。

M 1 → [ M 2 → ⋯ → M k − 1 ] → M k [ − k + 3 ] → + 1 {\displaystyle M_{1}\to [M_{2}\to \cdots \to M_{k-1}]\to M_{k}[-k+3]\xrightarrow {+1} }

これを

M ∙ ′ → M ∙ → M ∙ ″ → + 1 {\displaystyle {\mathcal {M}}'_{\bullet }\to {\mathcal {M}}_{\bullet }\to {\mathcal {M}}''_{\bullet }\xrightarrow {+1} }

次に、導出グローバルセクションを取ると、ハイパーコホモロジー群の長完全列である長完全列が得られます。 R ＊ Γ （ − ） {\displaystyle \mathbf {R}^{*}\Gamma (-)}

定義

より一般的なハイパーコホモロジーの定義を示します。通常通り、ハイパーコホモロジーとハイパーホモロジーは本質的に同じです。一方から他方への変換は、双対化、つまりすべての矢印の方向を変えたり、単射オブジェクトを射影オブジェクトに置き換えたりすることによって行われます

A が十分な数の入射項を持つアーベル圏であり、F が別のアーベル圏Bへの左完全関数であるとする。CがAの左有界な対象の複体である場合、超コホモロジー

H i ( C )

C（整数iの場合）は次のように計算されます。

  1. 準同型 Φ  : C  →  Iをとります。ここでIはAの入射元の複素数です。
  2. CのハイパーコホモロジーH i ( C )は複体F ( I )のコホモロジー H i ( F ( I ))である。

Cのハイパーコホモロジーは、一意の同型性を除き、準同型性の選択に依存しません。

ハイパーコホモロジーは導出カテゴリを使用して定義することもできます。 Cのハイパーコホモロジーは、 Bの導出カテゴリの要素として考えられるRF ( C )のコホモロジーです。

負の指数に対して消える複体の場合、ハイパーコホモロジーはH 0 = FH 0 = H 0 Fの導出関数として定義できます。

ハイパーコホモロジースペクトル列

ハイパーコホモロジースペクトル列は2つあり、1つは E 2項 を持つ

R i F （ H j （ C ） ） {\displaystyle R^{i}F(H^{j}(C))}

もう1つは E 1項

R j F （ C i ） {\displaystyle R^{j}F(C^{i})}

およびE 2項

H i （ R j F （ C ） ） {\displaystyle H^{i}(R^{j}F(C))}

どちらも超コホモロジーに収束する

H i + j （ R F （ C ） ） {\displaystyle H^{i+j}(RF(C))} 、

ここで、 R j FはFの右導来関手である

応用

ハイパーコホモロジースペクトル列の応用の一つは、ゲルブの研究です。空間上の階数nのベクトル束は、チェフコホモロジー群に分類できることを思い出してください。ゲルブの背後にある主要な考え方は、この考え方をコホモロジー的に拡張することです。つまり、何らかの関数をとる代わりに、コホモロジー群を考えます。これにより、元の分類群の対象によって接着されている対象を分類します。ゲルブとハイパーコホモロジーを研究する密接に関連する分野は、ドリーニュコホモロジーです バツ {\displaystyle バツ} H 1 （ バツ 、 グ ル _ n ） {\displaystyle H^{1}(X,{\underline {GL}}_{n})} H 1 （ バツ 、 R 0 F ） {\displaystyle H^{1}(X,{\textbf {R}}^{0}F)} F {\displaystyle F} H 1 （ バツ 、 R 1 F ） {\displaystyle H^{1}(X,{\textbf {R}}^{1}F)}

例

  • 体k上の多様体 Xに対して、上から2番目のスペクトル列は代数的ド・ラームコホモロジーのホッジ・ド・ラームスペクトル列を与えます
    E 1 p 、 q ＝ H q （ バツ 、 Ω バツ p ） ⇒ H p + q （ バツ 、 Ω バツ ∙ ） ＝： H D R p + q （ バツ / k ） {\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{q}(X,\Omega_{X}^{p})\Rightarrow \mathbf{H}^{p+q}(X,\Omega_{X}^{\bullet})=:H_{DR}^{p+q}(X/k)} 。
  • もう一つの例は、複素多様体上の正則対数複素数から来ます。[1] Xを複素代数多様体と 良好なコンパクト化とします。これは、 Yがコンパクト代数多様体であり、単純な正規交差を持つ上の因子であることを意味します。層の複素数の自然な包含は j ： バツ ↪ Y {\displaystyle j:X\hookrightarrow Y} D ＝ Y − バツ {\displaystyle D=YX} Y {\displaystyle Y}
    Ω Y ∙ （ 対数 ⁡ D ） → j ＊ Ω バツ ∙ {\displaystyle \Ω_{Y}^{\bullet }(\log D)\rightarrow j_{*}\Ω_{X}^{\bullet }}

    は準同型となり、同型を誘導する

    H k （ バツ ; C ） → H k （ Y 、 Ω Y ∙ （ 対数 ⁡ D ） ） {\displaystyle H^{k}(X;\mathbb{C})\rightarrow\mathbf{H}^{k}(Y,\Omega_{Y}^{\bullet}(\log D))} 。

参照

参考文献

  1. ^ ピーターズ、クリス・AM、スティーンブリンク、ジョセフ・HM (2008).混合ホッジ構造. シュプリンガー・ベルリン、ハイデルベルク. ISBN 978-3-540-77017-6。
  • カルタン、H.; アイレンバーグ、S. (1999年12月19日).ホモロジー代数. プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-04991-2。
  • VI Danilov (2001) [1994]、「超ホモロジー関手」、数学百科事典、EMSプレス
  • グロタンディーク、A. (1957)。 「シュール・ケルク・ポインツ・ダルジェブル・ホモロジーク」。東北数学。シリーズ第 2 弾（フランス語）。9 : 119–221。MR 0102537  。​
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