超有限タイプII因子

数学において、同型性を除き、分離して作用する超有限タイプII因子は正確に2つ存在する。1つは無限でもう1つは有限である。マレーとフォン・ノイマンは、同型性を除き、タイプII _1の因子でありかつ超有限でもある唯一のフォン・ノイマン代数が存在することを証明した。これは超有限タイプII ₁因子と呼ばれる。タイプII ₁の因子は他に無数に存在する。コンヌは、無限因子もまた唯一であることを証明した。

建設

無限共役類の性質を持つ離散群のフォン・ノイマン群代数はII ₁型の因子であり、群が従順かつ可算であれば因子は超有限である。局所有限群は従順であるように、これらの性質を持つ群は多数存在する。例えば、有限個以外の元を固定する可算無限集合のすべての順列からなる無限対称群のフォン・ノイマン群代数は、超有限型II ₁因子を与える。
超有限タイプ II ₁因子は、確率空間上の可算従属群のエルゴード自由測度保存作用に対する群測度空間構成からも生じます。
可算個数のI _n型の因子とその軌跡状態に関する無限テンソル積は、超有限II 1 型因子である。n = ₂のとき、これは無限可分ヒルベルト空間のクリフォード代数と呼ばれることもある。
p がII 型の超有限フォン・ノイマン代数Aにおける任意の非零有限射影である場合、 pApは II 型の超有限₁因子である。同様に、Aの基本群は正の実数の群である。これは直接的に理解するのが難しい場合が多い。しかし、Aが I _n型の因子の無限テンソル積である場合（ここで n は 1 より大きいすべての整数に対して無限回実行される）、つまりpを射影p _nの無限テンソル積と等価とすれば、その軌跡状態はまたはとなる。 $1$ $1-1/n$

プロパティ

超有限 II ₁因子Rは、次の意味で唯一の最小の無限次元因子です。つまり、 R は他の任意の無限次元因子に含まれており、Rに含まれる任意の無限次元因子はRと同型です。

Rの外部自己同型群は、正の整数pと複素数p乗根 1 からなるペアでインデックス付けされた、可算な数の共役類を持つ無限単純群です。

_{超有限 II 1}因子の射影は連続した幾何学を形成します。

無限超有限タイプII因子

II _∞型因子は他にも存在しますが、同型性を除いて唯一の超有限因子が存在します。これは、有界作用素を定義する超有限 II ₁型因子を要素とする無限正方行列から構成されます。

参照

サブファクター

参考文献

A. Connes,単射因子の分類The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 104, No. 1 (Jul., 1976), pp. 73–115
FJ Murray, J. von Neumann, On rings of operators IV Ann. of Math. (2), 44 (1943) pp. 716–808. これは、II ₁型のすべての近似有限因子が同型であることを示しています。