超調和数

数学において、で表されるr次n次超調和数は、次の関係によって再帰的に定義されます。 ${\displaystyle H_{n}^{(r)}}$

${\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}},}$

そして

${\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}\quad (r>0).}$ ^[要引用]

特に、はn番目の調和数です。 ${\displaystyle H_{n}=H_{n}^{(1)}}$

ハイパーハーモニック数は、JHコンウェイとRKガイが1995年に出版した著書『The Book of Numbers』の中で論じられている。^{[1] : 258}

超調和数に関する恒等式

定義により、超調和数は再帰関係を満たす。

${\displaystyle H_{n}^{(r)}=H_{n-1}^{(r)}+H_{n}^{(r-1)}.}$

繰り返しの代わりに、これらの数値を計算するより効果的な式があります。

${\displaystyle H_{n}^{(r)}={\binom {n+r-1}{r-1}}(H_{n+r-1}-H_{r-1}).}$

超調和数は順列の組合せ論と強い関係がある。恒等式の一般化は

${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].}$

次のように読む

${\displaystyle H_{n}^{(r)}={\frac {1}{n!}}\left[{n+r \atop r+1}\right]_{r},}$

ここでr-第一種スターリング数である。 ^[2]${\displaystyle \left[{n \atop r}\right]_{r}}$

漸近解析

二項係数を持つ上記の式は、r>=2のすべての固定次数に対して次の式を簡単に与えます。^[3]

${\displaystyle H_{n}^{(r)}\sim {\frac {1}{(r-1)!}}\left(n^{r-1}\ln(n)\right),}$

つまり、 nが無限大に近づくにつれて、左辺と右辺の商は 1 に近づきます。

すぐに得られる結果は、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}}+\infty}$

m>r の場合。

母関数と無限級数

超調和数の 生成関数は

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}z^{n}=-{\frac {\ln(1-z)}{(1-z)^{r}}}.}$

指数関数の生成関数を推論するのははるかに困難です。r=1,2,...の全ての場合において、

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}{\frac {t^{n}}{n!}}=e^{t}\left(\sum _{n=1}^{r-1}H_{n}^{(rn)}{\frac {t^{n}}{n!}}+{\frac {(r-1)!}{(r!)^{2}}}t^{r}\,_{2}F_{2}\left(1,1;r+1,r+1;-t\right)\right),}$

ここで_、2 F ₂は超幾何関数である。調和数r=1の場合の証明は古典的なものであり、一般的な場合は2009年にI. MezőとA. Dilによって証明された。 ^[4]

次の関係は超調和数とフルヴィッツゼータ関数を結び付ける：^[3]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}=\sum _{n=1}^{\infty }H_{n}^{(r-1)}\zeta (m,n)\quad (r\geq 1,m\geq r+1).}$

整数超調和数

調和数は、n=1 の場合を除いて整数にならないことが知られています。同じ質問がハイパーハーモニック数に関しても提起できます。整数のハイパーハーモニック数は存在するのでしょうか? István Mező は^{[5] 、} r=2またはr=3の場合、 n=1 の自明な場合を除いてこれらの数は決して整数にならないことを証明しました。彼は、これは常に当てはまること、つまり、 r次ハイパーハーモニック数はn=1の場合を除いて整数にならないと予想しました。この予想は、R. Amrane と H. Belbachir によって、あるクラスのパラメータに対して正当化されました。^[6]特に、これらの著者は、r<26および n=2,3,...のすべての場合で が整数にならないことを証明しました。高次への拡張は、 Göral と Sertbaş によって行われました。^{[7]これらの著者はまた、} nが偶数または素数乗、あるいはrが奇数のときは が整数にならないことも示しました。 ${\displaystyle H_{n}^{(4)}}$ ${\displaystyle H_{n}^{(r)}}$

もう一つの結果は次の通りである。^[8]を となる非整数超調和数の個数とする。すると、クラメールの予想を仮定すると、 ${\displaystyle S(x)}$ ${\displaystyle (n,x)\in [0,x]\times [0,x]}$

${\displaystyle S(x)=x^{2}+O(x\log^{3}x).}$

における整数格子点の数はであり、これはハイパーハーモニック数の大半が整数にはならないことを示していることに注意する。 ${\displaystyle [0,x]\times [0,x]}$ ${\displaystyle x^{2}+O(x^{2})}$

この問題は最終的にDCセルトバシュによって解決されました。彼は、超調和整数は無限に存在するものの、それらは非常に巨大であることを発見しました。これまでに発見された最小の超調和整数は^[9]です。

${\displaystyle H_{33}^{(64(2^{2659}-1)+32)}.}$

外部リンク

• ウルフラムMathWorld

参考文献

1. ジョン・H・コンウェイ、リチャード・K・ガイ (1995). 『数の書』コペルニクス. ISBN  9780387979939。
2. Benjamin, AT; Gaebler, D.; Gaebler, R. (2003). 「超調和数への組み合わせ的アプローチ」. Integers (3): 1–9 .
3. メズー、イシュトヴァーン;ディル、アイハン (2010)。 「フルヴィッツのゼータ関数を含む超高調波系列」。数論ジャーナル。130 (2): 360–369。土井:10.1016/j.jnt.2009.08.005。hdl : 2437/90539。
4. Mező, István; Dil, Ayhan (2009). 「特定の組み合わせ数に対するオイラー・ザイデル法とフィボナッチ数列の新たな特徴づけ」. Central European Journal of Mathematics . 7 (2): 310– 321. doi : 10.2478/s11533-009-0008-5 .
5. メズー、イシュトヴァーン (2007)。 「超高調波数の非整数性について」。Annales Universitatis Scientarium Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae、数学セクション(50): 13–20。
6. アムラン、RA;ベルバシール、H. (2010)。 「超高調波数のクラスの非整数性」。Annales Mathematicae et Informaticae (37): 7–11 .
7. Göral, Haydar; Doğa Can, Sertbaş (2017). 「ほとんどすべての超調和数は整数ではない」. Journal of Number Theory . 171 (171): 495– 526. doi : 10.1016/j.jnt.2016.07.023 .
8. アルカン、エムレ;ゲーラル、ヘイダル;ドーア・カン、セルトバス（2018）。 「超高調波の数が整数になることはほとんどありません。」整数(18)。
9. ドーア・カン、セルトバス (2020). 「超調和整数は存在する」。Comptes Rendus Mathématique (358)。