超平面の配置

幾何学と組合せ論において、超平面の配置とは、線型空間、アフィン空間、または射影空間Sにおける超平面の有限集合Aの配置である。超平面の配置Aに関する質問は、一般に、空間全体から超平面を取り除いたときに残る集合である補集合M ( A )の幾何学的、位相的、またはその他の特性に関するものである。これらの特性が配置とその交差半格子とどのように関係するかという疑問が生じるかもしれない。Aの交差半格子( L ( A )と表記) は、超平面のいくつかを交差させることによって得られるすべての部分空間の集合である。これらの部分空間には、 S自体、すべての個々の超平面、超平面のペアのすべての交差などが含まれる (アフィンの場合、空集合 は除く)。Aのこれらの交差部分空間は、 Aのフラットとも呼ばれる。交差半格子L ( A ) は、逆包含によって部分的に順序付けられる。

空間S全体が2次元の場合、超平面は直線です。このような配置はしばしば直線の配置と呼ばれます。歴史的に、直線の実配置は最初に研究された配置でした。S が3次元の場合、平面の配置となります。

空間における超平面配置

一般理論

交差半格子とマトロイド

交差半格子L ( A ) は交差半格子であり、より具体的には幾何学的半格子である。配置が線型または射影的である場合、あるいはすべての超平面の交差が空でない場合、交差格子は幾何学的格子である。（これが、半格子を包含順ではなく逆包含順で順序付けしなければならない理由である。包含順の方が自然に思えるかもしれないが、幾何学的（半）格子にはならない。）

L ( A ) が格子の場合、 AのマトロイドはM ( A )と表記され、 A を基底集合として階数関数r ( B ) := codim( f(B) ) を持ちます。ここで、BはAの任意の部分集合であり、f(B)はB内の超平面の交差です。一般に、L ( A ) が半格子の場合、半マトロイドと呼ばれる類似のマトロイドのような構造があります。これはマトロイドの一般化であり (交差半格子との関係は、格子の場合のマトロイドと格子の関係と同じです)、L ( A ) が格子でない場合はマトロイドではありません。

多項式

Aの部分集合Bについて、 f ( B ) := Bの超平面の交点と定義する。B が空集合の場合、これは S となる。Aの特性多項式p A ( _y )は次のように定義される 。

${\displaystyle p_{A}(y):=\sum _{B}(-1)^{|B|}y^{\dim f(B)},}$

Aのすべての部分集合Bについて和をとる。ただし、アフィン集合の場合は、その交差が空集合となる部分集合は除く。（空集合の次元は -1 と定義される。）この多項式は、いくつかの基本的な疑問を解決するのに役立つ。以下を参照。A に関連するもう一つの多項式は、ホイットニー数多項式w _A ( x , y ) であり、これは次のように定義される。

${\displaystyle w_{A}(x,y):=\sum _{B}x^{n-\dim f(B)}\sum _{C}(-1)^{|CB|}y^{\dim f(C)},}$

B ⊆ C ⊆ Aにわたって合計され、 f ( B ) は空でない。

L ( A )は幾何学的格子または半格子であるため、特性多項式p _{L ( A )} ( y ) を持ち、これは広範な理論（マトロイドを参照）を持つ。したがって、 p _A ( y ) = y ⁱ p _{L ( A )} ( y ) であることは重要である。ここでiは任意の平面の最小次元であるが、射影の場合はy ^{i + 1} p _{L ( A )} ( y ) となる。 Aのホイットニー数多項式は、 L ( A )のホイットニー数多項式と同様の関係にある。（これらの関係が有効となるように、アフィンの場合、空集合は半格子から除外される。）

オルリック・ソロモン代数

交差半格子は、配置のもう一つの組合せ不変量であるオルリック・ソロモン代数を決定する。これを定義するには、基本体の可換部分環Kを固定し、ベクトル空間の 外積代数Eを形成する。

${\displaystyle \bigoplus _{H\in A}Ke_{H}}$

超平面によって生成される。E上には、通常の境界演算子 を用いて鎖複素構造が定義される。Orlik–Solomon 代数は、Eを、空の交差を持つ形式の の元と、余次元がp未満である同じ形式の の元の境界によって生成されるイデアルで割ったものである。 ${\displaystyle \partial}$ ${\displaystyle e_{H_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{H_{p}}}$ ${\displaystyle H_{1},\dots ,H_{p}}$ ${\displaystyle H_{1}\cap \cdots \cap H_{p}}$

実際の取り決め

実アフィン空間では、補空間は分離しており、セル、領域、またはチャンバーと呼ばれる個別の部分で構成されます。各部分は、凸多面体である有界領域、または無限に広がる凸多面体である無界領域のいずれかです。 Aの各平面も、その平面を含まない超平面によって部分に分割されます。これらの部分はAの面と呼ばれます。領域が面であるのは、空間全体が平面であるためです。余次元 1 の面は、Aのファセットと呼ぶことができます。配置の面半格子は、包含によって順序付けられたすべての面の集合です。面半格子に余分な最上位要素を追加すると、面格子が得られます。

2 次元 (つまり、実アフィン平面) では、各領域は凸多角形(境界がある場合) または無限に続く凸多角形領域です。

• 例えば、配列が3本の平行線で構成されている場合、交差半格子は平面と3本の直線で構成されますが、空集合は含まれません。4つの領域が存在しますが、いずれも境界がありません。
• 3本の平行線を横切る直線を加えると、交差半格子は平面、4本の直線、そして3つの交点から構成されます。8つの領域がありますが、いずれも境界で区切られていません。
• 最後の線に平行な線をもう 1 本追加すると、領域は 12 個になり、そのうち 2 つは境界のある平行四辺形になります。

n次元実空間における配置に関する典型的な問題は、領域がいくつあるか、次元4の面がいくつあるか、あるいは有界領域がいくつあるか、といったことである。これらの問いは、交差半格子からのみ答えることができる。例えば、Zaslavsky (1975) による2つの基本定理は、アフィン配置の領域の数は(−1) ⁿ p _A (−1)に等しく、有界領域の数は(−1) ⁿ p _A (1)に等しいというものである。同様に、 k次元面または有界面の数は、(−1) ⁿ w _A (− x , −1)または(−1) ⁿ w _A (− x , 1)におけるx ^{n − k}の係数として読み取ることができる。

Meiser (1993) は、入力点を含む超平面の配置の面を決定する高速アルゴリズムを設計しました。

実空間における配置に関するもう一つの問題は、いくつの領域が単体（三角形と四面体のn次元一般化）であるかを決定することである。これは、交差半格子のみに基づいて答えることはできない。マクマレン問題は、実射影空間における一般位置において、与えられた次元の配置のうち、すべての超平面が接するセルが存在しない 最小の配置を求める問題である。

実線状配置は、面半格子の他に、領域ごとに異なる poset を持つ。この poset は、任意の基本領域 B 0 を選択し、各領域 R に、 R と B を分離する超平面からなる集合 S ( R ) を関連付けることによって形成される。領域_は、S ( R 1 , R )がS ( R 2 , R ) を含む場合、 R 1 ≥ R 2 となるように部分的に順序付けられる。超平面_がルートシステムから生じる特殊_なケースでは、結果_として得られる_posetは、弱順序を持つ対応するWeyl 群である。一般に、領域 poset は分離超平面の数によって順位付けされ、そのメビウス関数が計算されている ( Edelman 1984 )。

Vadim SchechtmanとAlexander Varchenkoは、領域をインデックスとする行列を導入しました。領域とに対する行列要素は、これら2つの領域を分離するすべての超平面Hに対する不定変数の積によって与えられます。これらの変数がすべてqの値になるように特殊化されると、これは配置に対する（ユークリッド領域上の）q行列と呼ばれ、そのスミス正規形には多くの情報が含まれています。 ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle R_{j}}$ ${\displaystyle a_{H}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [q]}$

複雑な取り決め

複素アフィン空間（複素アフィン平面でも実数が 4 次元なので視覚化が困難） では、補空間は超平面が削除された穴と（すべて 1 つのピースとして）接続されます。

複雑な空間での配置に関する典型的な問題は、穴を記述することです。

複素配置に関する基本定理は、補集合M ( A ) のコホモロジーは交差半格子によって完全に決定されるというものである。正確には、M ( A )のコホモロジー環（整数係数）はZ上のオルリック・ソロモン代数と同型である。

同型性は明示的に記述することができ、生成元と関係を用いてコホモロジーを表現する。ここで、生成元は（ド・ラーム・コホモロジーでは）対数微分形式として表現される。

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d\alpha }{\alpha }}.}$

任意の線形形式が配置の一般的な超平面を定義します。 ${\displaystyle \alpha}$

技術的な詳細

退化した超平面 （空間S全体）を配置に含めておくと便利な場合があります。Aが退化した超平面を含む場合、補空間が空なので領域は存在しません。しかし、平面、交差半格子、面は依然として存在します。これまでの議論では、退化した超平面が配置に含まれていないことを前提としています。

配置において、超平面の重複を許容したい場合があります。これまでの議論ではこの可能性は考慮していませんが、実質的には違いはありません。

参照

• 超可解配置
• 有向マトロイド

参考文献

• 「超平面の配置」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• エデルマン、ポール・H. (1984)、「超平面によって分割される領域における半順序」、アメリカ数学会誌、283 (2): 617– 631、CiteSeerX 10.1.1.308.820、doi : 10.2307/1999150、JSTOR 1999150、MR 0737888${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$    。
• マイザー、ステファン（1993）、「超平面配置における点の位置」、情報と計算、106（2）：286–303、doi：10.1006/inco.1993.1057、MR  1241314。
• ピーター・オルリック;寺尾宏明(1992)、超平面の配置、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学の基礎]、vol. 300、ベルリン: Springer-Verlag、土井: 10.1007/978-3-662-02772-1、ISBN 978-3-642-08137-8、MR  1217488。
• スタンリー、リチャード(2011). 「3.11 超平面配置」.列挙的組合せ論第1巻（第2版）. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1107602625。
• ザスラフスキー、トーマス（1975）、「配置への対応：超平面による空間分割の面数え公式」、アメリカ数学会報、1（154）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、doi：10.1090/memo/0154、MR  0357135。