測地方程式
Atmospheric equation in meteorology

高度方程式（または厚さ方程式）は、仮想温度、重力、そして場合によっては風の層平均を考慮し、大気圧比と大気層の等価厚さを関連付ける方程式です。この方程式は、静水力方程式と理想気体の法則から導出されます。

処方

測地方程式は次のように表される: [1] ここで: h = z 2 − z 1 = R ⋅ T v ¯ g ln ⁡ ( p 1 p 2 ) , {\displaystyle h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g}}\,\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),}

  • h {\displaystyle h} = 層の厚さ [m]、
  • z {\displaystyle z} = 幾何学的高さ [m]、
  • R {\displaystyle R} =乾燥空気の比気体定数、
  • T v ¯ {\displaystyle {\overline {T_{v}}}} = 平均仮想温度（ケルビン[K]）
  • g {\displaystyle g} =重力加速度[m/s 2 ],
  • p {\displaystyle p} =圧力[ Pa ]。

気象学では、、、は等圧面です。ラジオゾンデ観測では、標高方程式を用いて、基準気圧面の高さとその間の平均仮想気温から、ある気圧面の高さを計算できます。そして、新たに計算された高さを新たな基準気圧面として用い、その間の平均仮想気温から次の気圧面の高さを計算します。これを繰り返します。 p 1 {\displaystyle p_{1}} p 2 {\displaystyle p_{2}}

導出

静水力方程式:

p = ρ ⋅ g ⋅ z , {\displaystyle p=\rho \cdot g\cdot z,}

ここで密度[kg/m 3 ]は、微分形式で書かれた静水力平衡の式を生成するために使用されます。 ρ {\displaystyle \rho }

d p = − ρ ⋅ g ⋅ d z . {\displaystyle dp=-\rho \cdot g\cdot dz.}

これは理想気体の法則と組み合わされます。

p = ρ ⋅ R ⋅ T v {\displaystyle p=\rho \cdot R\cdot T_{v}}

排除する： ρ {\displaystyle \rho }

d p p = − g R ⋅ T v d z . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot T_{v}}}\,\mathrm {d} z.}

これは からまで統合されます: z 1 {\displaystyle z_{1}} z 2 {\displaystyle z_{2}}

∫ p ( z 1 ) p ( z 2 ) d p p = ∫ z 1 z 2 − g R ⋅ T v d z . {\displaystyle \int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {-g}{R\cdot T_{v}}}\,\mathrm {d} z.}

Rとg はzに対して一定なので、積分範囲外に持ち出すことができます。温度がzに比例して変化する（例えば、 zがわずかに変化した場合など）場合、 を （との間の平均仮想温度）に置き換えることで、積分範囲外に持ち出すこともできます。 T v ¯ {\displaystyle {\overline {T_{v}}}} z 1 {\displaystyle z_{1}} z 2 {\displaystyle z_{2}}

∫ p ( z 1 ) p ( z 2 ) d p p = − g R ⋅ T v ¯ ∫ z 1 z 2 d z . {\displaystyle \int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}\int _{z_{1}}^{z_{2}}\,\mathrm {d} z.}

統合により

ln ⁡ ( p ( z 2 ) p ( z 1 ) ) = − g R ⋅ T v ¯ ( z 2 − z 1 ) , {\displaystyle \ln \left({\frac {p(z_{2})}{p(z_{1})}}\right)={\frac {-g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}(z_{2}-z_{1}),}

単純化すると

ln ⁡ ( p 1 p 2 ) = g R ⋅ T v ¯ ( z 2 − z 1 ) . {\displaystyle \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)={\frac {g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}(z_{2}-z_{1}).}

並べ替え:

z 2 − z 1 = R ⋅ T v ¯ g ln ⁡ ( p 1 p 2 ) , {\displaystyle z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g}}\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),}

または、自然対数を消去します。

p 1 p 2 = e g R ⋅ T v ¯ ⋅ ( z 2 − z 1 ) . {\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}=e^{{\frac {g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}\cdot (z_{2}-z_{1})}.}

修正

エトヴェシュ効果は、高度法の補正として考慮することができます。物理的には、地球と共に回転する基準系を用いると、東へ移動する気団の質量は実質的に軽くなり、これは気圧層間の厚みの増加に相当し、逆もまた同様です。補正された高度法の補正式は以下のとおりです。[2] ここ で、エトヴェシュ効果 による補正量Aは以下のように表されます。 h = z 2 − z 1 = R ⋅ T v ¯ g ( 1 + A ) ⋅ ln ⁡ ( p 1 p 2 ) , {\displaystyle h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g(1+A)}}\cdot \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),} A = − 1 g ( 2 Ω u ¯ cos ⁡ ϕ + u ¯ 2 + v ¯ 2 r ) , {\displaystyle A=-{\frac {1}{g}}\left(2\Omega {\overline {u}}\cos \phi +{\frac {{\overline {u}}^{2}+{\overline {v}}^{2}}{r}}\right),}

  • Ω {\displaystyle \Omega } = 地球の自転速度、
  • ϕ {\displaystyle \phi } = 緯度、
  • r {\displaystyle r} = 地球の中心から気団までの距離、
  • u ¯ {\displaystyle {\overline {u}}} = 経度方向（東西）の平均速度、および
  • v ¯ {\displaystyle {\overline {v}}} = 緯度方向（南北）の平均速度。

この補正は熱帯の大規模な大気運動では重要です。

参照

参考文献

  1. ^ 「測地方程式 - AMS用語集」アメリカ気象学会. 2013年3月12日閲覧。
  2. ^ Ong, H.; Roundy, PE (2019). 「非伝統的な高度測定方程式」. QJR Meteorol. Soc . 146 (727): 700– 706. arXiv : 2011.09576 . doi : 10.1002/qj.3703 .
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