イコシアンゲーム
正十二面体の周期を見つけるゲーム

サンパウロ大学数学統計研究所に展示されているハミルトンのイコシアンゲームの現代的再現

イコシアンゲームは、1856年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって発明された数学ゲームです。このゲームは、正十二面体上のハミルトン閉路を求めるものです。正十二面体とは、正十二面体の辺を用いて、そのすべての頂点を通る多角形です。ハミルトンのこのゲームの発明は、対称性の研究と、正十二面体の対称性を記述する数学体系であるイコシアン計算の発明に由来しています。

ハミルトンは自身の作品をゲームメーカーに売却し、イギリスとヨーロッパで販売されましたが、あまりにも簡単すぎたため商業的に成功しませんでした。博物館に現存する複製品はごくわずかです。ハミルトンはハミルトンサイクルを研究した最初の人物ではありませんでしたが、このゲームに関する研究がハミルトンサイクルの名称の由来となりました。レクリエーション数学の分野では、彼のゲームを研究した作品が数多くあります。ハミルトンサイクルをベースにした他のパズルはスマートフォンアプリとして販売されており、数学者たちはハミルトンサイクルをベースにした 組み合わせゲームの研究を続けています。

ゲームプレイ

このゲームの目的は、正十二面体の辺から作られ、十二面体の各頂点をそれぞれ1回ずつ通過する三次元多角形を見つけることです。このようにすべての頂点を通過する多角形は、現在ではハミルトン閉路と呼ばれています。2人用ゲームでは、片方のプレイヤーが多角形上の連続する5つの頂点を選択することから始め、もう片方のプレイヤーは多角形を完成させなければなりません。[1]

エドゥアール・リュカスは、あらゆる解の形状を、ゲームプレイヤーが記憶しやすい形で記述しています。完成した多角形は、正十二面体の12面を6つの五角形からなる2つの帯状に切断します。この帯状は、中央の4つの五角形をそれぞれ通過すると同時に、各五角形の隣接していない2辺を通り、五角形を浅く左折または浅く右折します。このように、帯状は2回左折した後、2回右折するか、またはその逆を行います。[2]

このゲームの一つのバージョンは、正十二面体（シュレーゲル図）と同じ組み合わせ構造を持つ平面グラフが刻まれた平らな木の板の形をしており[3] 、頂点に番号付きのペグを置くための穴が開いていた。プレイヤーが見つけた多角形は、ペグに付けられた通し番号で示された。[4] [5]別のバージョンは「部分的に平坦化された正十二面体」の形をしており、これは正十二面体の五角形が曲面に広がった、ほぼ半球形のドームで、平らな底面にハンドルが取り付けられていた。頂点には固定されたペグがあり、片方の端にループが付いた別の紐がこれらのペグに巻き付けられ、多角形を示すために使用されていた[5] 。

このゲームはあまりにも簡単だったため、あまり人気が出なかった[6] [7] [8]。しかしハミルトンは、このゲームを解けなかった同僚の学者の例を挙げて、この印象に反論しようとした。[8]デイビッド・ダーリングは、ハミルトンが試行錯誤ではなく理論的な方法で解いたことで、他の人よりも自分自身にとってこのゲームをはるかに難しくしたのではないかと示唆している。[6]

背景

イコシアンゲームの発明者、ウィリアム・ローワン・ハミルトン

イコシアンゲームを発明した当時、ウィリアム・ローワン・ハミルトンはダブリン大学トリニティ・カレッジのアンドリュース天文学教授であり、アイルランド王立天文台で教鞭を執っていました。彼は既にハミルトン力学の研究と四元数の発明で有名でした。[9]ハミルトンの動機は、互いに同じ対称性を持つ2つの双対多面体、十二面体と二十面体の対称性を理解するという問題でした。この目的のために、彼はこれらの対称性を計算するために非可換代数の体系であるイコシアン計算も発明しました。[10]

イコシアンゲームという名称は、イコサヘドロンが20の面を持ち、ドデカヘドロンが20の頂点を持ち、ドデカヘドロンのすべての頂点を通る任意の多角形が20の辺を持つという事実に由来しています。イコサはギリシャ語で「20」を意味します。[7] [11]ラベル付きの頂点を持つドデカヘドロンでは、これらの頂点を互いに接続してハミルトン閉路を形成する方法が30通りあります。しかし、ラベルがない場合、すべてのハミルトン閉路はドデカヘドロンの回転と鏡映に対して互いに対称です。[12]

歴史

イコシアン計算とイコシアンゲームは、 1856年後半にハミルトンが友人のジョン・T・グレイブスに宛てた一連の手紙の中で概説された。[10]ハミルトンはその後、1857年にダブリンで開催された英国科学振興協会の会議でこのゲームを展示した。[13] [14]グレイブスの提案により、[3]ハミルトンはロンドンに拠点を置く玩具・ゲーム製造会社のジャック・アンド・サン社に出版権を売却した。[10] [13]

この会社は1859年からハミルトンのゲームを販売しており、[4]手持ち式の立体と平面の両方の形式で、[5]それぞれ「旅行者の十二面体」（世界一周の旅）と「イコシアン ゲーム」（アイルランド王立天文学者ウィリアム ローワン ハミルトン卿が発明）という長いタイトルで販売していました。このゲームは、リビングルームで楽しめる新しい非常に面白いゲームで、特にイコシアン計算の原理を説明する数学の学生にとって興味深いものでした。[4]

このゲームはヨーロッパで数種類販売された。[12]しかし、商業的には成功しなかった。[6] [7] [10]ハミルトンは発明に対してジャック・アンド・サン社からわずか25ポンドのライセンス料（現在の価値で3200ポンド）を受け取っただけだった。[12]このゲームのオリジナルコピーは現存することがほとんど知られていないが、[15] 1つはダブリンのアイルランド王立アカデミーの図書館に保管されており、 [4]もう1つはパリの国立工芸学校のコレクションに含まれており、[3]どちらも平面のゲームである。[3] [4]

遺産

ハミルトンはイコシアンゲームを独自に発明したが、ハミルトンサイクルを研究した最初の人物ではない。ハミルトンサイクルに基づく別のパズルであるチェス盤上のナイトのツアーは、インドと中世イスラム世界の数学の両方で9世紀に遡る。[16]ハミルトンとほぼ同時期に、イギリスのトーマス・カークマンも多面体上のハミルトンサイクルを研究していた。 [17]ハミルトンは1861年にカークマンを訪ね、イコシアンゲームのコピーを贈呈した。[10]この関連研究（一部ははるかに古いもの）にもかかわらず、ハミルトンサイクルはハミルトンと彼のイコシアンゲームに関する研究にちなんで名付けられた。[1]

イコシアンゲーム自体は、エドゥアール・ルーカス[2]、ヴィルヘルム・アーレンス[18]、マーティン・ガードナー[12]など、この分野の著名な著者によるレクリエーション数学の複数の研究のテーマとなっています。平面グラフでハミルトンサイクルを見つけることに基づくハミルトンのイコシアンゲームのようなパズルは、スマートフォンアプリとして販売され続けています。[19]ハミルトンサイクルに基づくメーカーブレーカーゲームは、 1978年の論文でヴァーツラフ・クヴァータルとポール・エルデシュ[ 20] [21]によって組み合わせゲーム理論に導入され、数学で研究され続けています。[21]

参照

参考文献

  1. ^ ab Bondy, JA ; Murty, USR (1976), Graph Theory with Applications , North Holland, p. 53, ISBN 0-444-19451-7
  2. ^ ab Lucas、Édouard (1883)、「Septième récréation – le jeu d'Hamilton」、Récréations mathématiques (フランス語)、vol. 2、パリ: ゴーティエ ヴィラール、  201–227ページ
  3. ^ abcd Boutin, Michel (2018 年 4 月)、「Les jeux dans les collections du Conservatoire National des Arts et Métiers de Paris, 1 – le Jeu icosien (1859) (1re partie)」(PDF)、Bulletin de la Société Archéologique, Historique et Artistique le Vieux papier (フランス語) (428): 433–441 、オリジナルから 2024-04-26 にアーカイブ(PDF) 、2024-04-25 に取得
  4. ^ abcde Turner, Gerard L'E. (1987年10月)、「科学玩具」、会長演説、The British Journal for the History of Science、20 (4): 377– 398、doi :10.1017/s0007087400024195、JSTOR  4026415; 395ページと397ページの図13の写真を参照
  5. ^ abc Applegate, David L. ; Bixby, Robert E. ; Chvátal, Vašek ; Cook, William J. (2011), The Traveling Salesman Problem: A Computational Study (PDF) , Princeton Series in Applied Mathematics, vol. 17, Princeton University Press, pp.  18– 20, ISBN 9781400841103、2021年5月6日にオリジナルからアーカイブ（PDF）され、2024年4月25日に取得
  6. ^ abc Darling, David、「Icosian game」、Encyclopedia of Science、2024年4月25日時点のオリジナルよりアーカイブ、 2024年4月24日閲覧。
  7. ^ abc Sowell, Katye O. (2001)、「Hamilton's icosian calculus and his icosian game」、Humanistic Mathematics Network Journal、1 (24)、Article 14、doi :10.5642/hmnj.200101.24.14、2024年3月11日時点のオリジナルよりアーカイブ、 2024年4月25日取得
  8. ^ ab グレイブス、ロバート・パーシヴァル（1889年）、「イコシアン・ゲーム」、サー・ウィリアム・ローワン・ハミルトンの生涯、第3巻、ホッジス・フィギス社およびロングマンズ・グリーン社、pp.  55– 56
  9. ^ Mukunda, N. (2016年6月)、「サー・ウィリアム・ローワン・ハミルトン：生涯、業績、物理学における地位」、Resonance、21 (6): 493–510、doi :10.1007/s12045-016-0356-y
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  12. ^ abcd Gardner, Martin (1957年5月)、「数学ゲーム：イコシアンゲームとハノイの塔の驚くべき類似性について」、Scientific American、第196巻、第5号、JSTOR  24940862
  13. ^ ab Barnett, Janet Heine (2009)、「グラフ理論に関する初期の著作：ハミルトン回路とイコシアンゲーム」、ブライアン・ホプキンス編『離散数学の指導のためのリソース：教室プロジェクト、歴史モジュール、および論文』、アメリカ数学会、pp.  217– 224、doi :10.5948/upo9780883859742.028、ISBN 978-0-88385-974-2、2024年4月25日にオリジナルからアーカイブ、 2024年4月25日取得
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  20. ^ Chvátal, V. ; Erdős, P. (1978)、「バイアス付きポジショナルゲーム」(PDF)、Annals of Discrete Mathematics、2 : 221– 229、doi :10.1016/S0167-5060(08)70335-2、ISBN 978-0-7204-1043-3、MR  0500701{{citation}}: CS1 maint: ISBNによる作業パラメータ（リンク）
  21. ^ ab ヘフェッツ、ダン;クリヴェビッチ、マイケル。ストヤコビッチ、ミロシュ。 Szabó、Tibor (2014)、「第 6 章: ハミルトニシティ ゲーム」、位置ゲーム、オーバーヴォルファッハ セミナー、vol. 44、バーゼル: Birkhäuser / Springer、pp.  75–84、doi :10.1007/978-3-0348-0825-5_6、ISBN 978-3-0348-0824-8、MR  3524719

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