理想商

抽象代数学において、と が可換環のイデアルである場合、それらのイデアル商は集合 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (I:J)}$

${\displaystyle (I:J)=\{r\in R\mid rJ\subseteq I\}}$

すると、 は 自身を のイデアルとする。イデアル商はのときのみ となるため、商とみなされる。イデアル商はの一次分解を計算する際に有用である。また、代数幾何学における集合差の記述にも用いられる（下記参照）。 ${\displaystyle (I:J)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle KJ\subseteq I}$ ${\displaystyle K\subseteq (I:J)}$

${\displaystyle (I:J)}$ 表記法からコロンイデアルと呼ばれることもあります。分数イデアルの文脈では、分数イデアルの逆イデアルという関連する概念があります。

プロパティ

理想的な商は次の特性を満たします。

• ${\displaystyle (I:J)=\mathrm {Ann} _{R}((J+I)/I)}$ は-モジュールとして表され、 は- モジュールとしての の消滅子を表します。${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle J\subseteq I\Leftrightarrow (I:J)=R}$ （特に、）${\displaystyle (I:I)=(R:I)=(I:0)=R}$
• ${\displaystyle (I:R)=I}$
• ${\displaystyle (I:(JK))=((I:J):K)}$
• ${\displaystyle (I:(J+K))=(I:J)\cap (I:K)}$
• ${\displaystyle ((I\cap J):K)=(I:K)\cap (J:K)}$
• ${\displaystyle (I:(r))={\frac {1}{r}}(I\cap (r))}$ （ が整域である限り）${\displaystyle R}$

商の計算

上記の性質は、多項式環のイデアルの商を、その生成元が与えられた場合に計算するのに用いることができる。例えば、とがのイデアルである場合、 ${\displaystyle I=(f_{1},f_{2},f_{3})}$ ${\displaystyle J=(g_{1},g_{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {k} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

${\displaystyle (I:J)=(I:(g_{1}))\cap (I:(g_{2}))=\left({\frac {1}{g_{1}}}(I\cap (g_{1}))\right)\cap \left({\frac {1}{g_{2}}}(I\cap (g_{2}))\right)}$

次に消去法を使用して、 との交差を計算できます。${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (g_{1})}$ ${\displaystyle (g_{2})}$

${\displaystyle I\cap (g_{1})=tI+(1-t)(g_{1})\cap \mathbb {k} [x_{1},\dots ,x_{n}],\quad I\cap (g_{2})=tI+(1-t)(g_{2})\cap \mathbb {k} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$

辞書式順序に関してのグレブナー基底を計算しなさい。すると、 tを含まない基底関数はを生成する。 ${\displaystyle tI+(1-t)(g_{1})}$ ${\displaystyle I\cap (g_{1})}$

幾何学的解釈

理想商は代数幾何学における集合差に対応する。^{[ 1 ]}より正確には、

• がアフィン多様体（必ずしも既約ではない）であり、がアフィン空間の部分集合（必ずしも多様体ではない）である場合、${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle I(V):I(W)=I(V\setminus W)}$

ここで、はサブセットに関連付けられたイデアルの取得を表します。${\displaystyle I(\bullet )}$

• とがのイデアルで、代​​数的に閉じた体と根号を持つ場合、${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbb {k} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {k} }$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle Z(I:J)=\mathrm {cl} (Z(I)\setminus Z(J))}$

ここで はザリスキー閉包を表し、 はイデアルによって定義された多様体の取り方を表します。 が根号でない場合、イデアルを飽和させた場合も同じ性質が成り立ちます。 ${\displaystyle \mathrm {cl} (\bullet )}$ ${\displaystyle Z(\bullet )}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle Z(I:J^{\infty })=\mathrm {cl} (Z(I)\setminus Z(J))}$

どこ。${\displaystyle (I:J^{\infty })=\cup _{n\geq 1}(I:J^{n})}$

例

• にはがあります。${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle ((6):(2))=(3)}$
• 代数的整数論において、イデアル商は分数イデアルの研究に有用である。これは、整域の任意の可逆な分数イデアルの逆がイデアル商によって与えられるためである。${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ((1):I)=I^{-1}}$
• イデアル商の幾何学的応用の一つは、アフィンスキームの既約成分の削除です。例えば、における x,y,z 平面の和集合と における x 平面と y 平面の和集合に対応するイデアルを とします。すると、イデアル商はにおける z 平面のイデアルになります。これは、イデアル商を用いて既約部分スキームを「削除」できることを示しています。${\displaystyle I=(xyz),J=(xy)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{3}}$ ${\displaystyle (I:J)=(z)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{3}}$
• スキーム理論の有用な例として、既約イデアルのイデアル商を取ることが挙げられます。例えば、イデアル商 は、ある非既約スキームの部分スキームのイデアル商（両方とも同じ既約部分スキームを持つ）が、非既約構造の一部を消去することを示しています。${\displaystyle ((x^{4}y^{3}):(x^{2}y^{2}))=(x^{2}y)}$
• 前の例を用いて、射影スキームに対応するイデアルの飽和を求めることができます。同次イデアルが与えられた場合、の飽和はのイデアル商として定義されます。に含まれるの飽和イデアルの集合は、 の射影部分スキームの集合と一対一であることが定理です。^{[ 2 ]}これは、がと同じ射影曲線を定義することを示しています。${\displaystyle I\subset R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (I:{\mathfrak {m}}^{\infty })=\cup _{i\geq 1}(I:{\mathfrak {m}}^{i})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x_{0},\ldots ,x_{n})\subset R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$ ${\displaystyle (x^{4}+y^{4}+z^{4}){\mathfrak {m}}^{k}}$ ${\displaystyle (x^{4}+y^{4}+z^{4})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$

注記

1. デイビッド・コックス、ジョン・リトル、ドナル・オシェイ（1997年）『イデアル、多様体、そしてアルゴリズム：計算代数幾何学と可換代数入門』シュプリンガー、ISBN 0-387-94680-2。、195ページ
2. ゲルト・マーティン・グリューエル;フィスター、ゲルハルト (2008)。可換代数の特異な入門(第 2 版)。スプリンガー・フェルラーク。 p.  485。ISBN 9783642442544。

参考文献

• エネ、ヴィヴィアナ、ヘルツォク、ユルゲン (2011).可換代数におけるグレブナー基底.数学大学院研究. 第130巻.アメリカ数学会. ISBN 0-8218-7287-7。
• アティヤ, MF ;マクドナルド, IG (1994). 『可換代数入門』 . アディソン・ウェズリー. ISBN 0-201-40751-5。