冪等測度

数学において、計量群上のべき等測度は、それ自身との畳み込みが等しい確率測度です。言い換えれば、べき等測度は、与えられた計量群上の確率測度の位相半群におけるべき等元です。

明示的には、計量群XとX上の2つの確率測度μとνが与えられたとき、 μとνの畳み込みμ  ∗  νは次式で与えられる測度である。

${\displaystyle (\mu *\nu )(A)=\int _{X}\mu (Ax^{-1})\,\mathrm {d} \nu (x)=\int _{X}\nu (x^{-1}A)\,\mathrm {d} \mu (x)}$

Xの任意のボレル部分集合Aに対して、 が成り立つ。（2つの積分の等式はフビニの定理から導かれる。）測度の弱収束の位相に関して、畳み込みの演算はX上の確率測度の空間を位相半群にする。したがって、μ  ∗  μ  =  μのとき、 μは冪等測度であるという。

完全で分離可能な計量群上の唯一のべき等確率測度は、コンパクト部分群の正規化されたハール測度であることが示されます。

参考文献

• Parthasarathy, KR (2005).計量空間における確率測度. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. pp. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X。 MR  2169627（第3章第3節を参照）