伊原ゼータ関数

数学において、伊原ゼータ関数は有限グラフに関連付けられたゼータ関数である。これはセルバーグゼータ関数によく似ており、閉ウォークを隣接行列のスペクトルに関連付けるために使用される。伊原ゼータ関数は、 2行2列のp進特殊線型群の離散部分群の文脈で、1960年代に伊原康孝によって初めて定義された。ジャン＝ピエール・セールは著書「Trees」の中で、伊原の元の定義はグラフ理論的に再解釈できることを示唆した。この示唆を1985年に実践したのは砂田敏一であった。砂田が観察したように、正則グラフがラマヌジャングラフである場合と、その伊原ゼータ関数がリーマン予想の類似物を満たす場合とで同じである。^[1]

意味

伊原ゼータ関数は無限積の解析接続として定義される。

${\displaystyle \zeta _{G}(u)=\prod _{p}{\frac {1}{1-u^{{L}(p)}}},}$

ここで、L ( p ) はの長さで ある。定義における積はグラフ のすべての素数閉測地線について取られる。ただし、巡回回転によって異なる測地線は等しいとみなされる。上の閉測地線（グラフ理論では「縮約閉歩」と呼ばれるが、グラフ測地線ではない）は 、 ${\displaystyle L(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p=(v_{0},\ldots ,v_{k-1})}$

${\displaystyle (v_{i},v_{(i+1){\bmod {k}}})\in E,}$

${\displaystyle v_{i}\neq v_{(i+2){\bmod {k}}}.}$

整数は長さです。閉測地線は、整数 に対して閉測地線を 回繰り返しても得られない場合、素数です。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m>1}$

このグラフ理論的定式化は Sunada によるものです。

伊原の式

伊原（およびグラフ理論的には砂田）は、正則グラフに対してゼータ関数が有理関数であることを示した。もし が隣接行列を持つ-正則グラフである場合、^[2]${\displaystyle G}$ ${\displaystyle q+1}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{(1-u^{2})^{r(G)-1}\det(I-Au+qu^{2}I)}},}$

ここではの回路階数です。が連結で頂点を持つ場合、となります。 ${\displaystyle r(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r(G)-1=(q-1)n/2}$

伊原ゼータ関数は実際には常にグラフ多項式の逆数である。

${\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{\det(I-Tu)}}~,}$

ここで、橋本喜一郎の辺隣接演算子は、Hyman Bass によって与えられました。Hyman Bass は、隣接演算子を含む行列式公式を与えました。 ${\displaystyle T}$

アプリケーション

伊原ゼータ関数は自由群、スペクトルグラフ理論、力学系、特に記号力学の研究において重要な役割を果たしており、伊原ゼータ関数はルエルゼータ関数の一例である。^[3]

参考文献

1. テラス（1999）678ページ
2. テラス（1999）677ページ
3. テラス（2010）29頁

• 井原 康隆(1966). 「p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 進体上の2×2射影線型群の離散部分群について」.日本数学会誌. 18 : 219–235 . doi : 10.2969/jmsj/01830219 . MR  0223463. Zbl  0158.27702.
• 砂田敏一(1986). 「幾何学におけるL関数とその応用」.リーマン多様体の曲率と位相.数学講義ノート. 第1201巻. pp.  266– 284. doi :10.1007/BFb0075662. ISBN 978-3-540-16770-9. Zbl  0605.58046。
• バス、ハイマン(1992). 「木格子のイハラ・セルバーグゼータ関数」.国際数学ジャーナル. 3 (6): 717– 797. doi :10.1142/S0129167X92000357. MR  1194071. Zbl  0767.11025.
• スターク, ハロルド・M. (1999). 「グラフのマルチパスゼータ関数」.ヘジャル, デニス・A. ; フリードマン, ジョエル;ガッツウィラー, マーティン・C. ; 他編.数論の新たな応用. IMA Vol. Math. Appl. Vol. 109.シュプリンガー. pp.  601– 615. ISBN 0-387-98824-6. Zbl  0988.11040。
• テラス, オードリー(1999). 「離散トレース公式の概観」.ヘジャル, デニス A. ; フリードマン, ジョエル;ガッツウィラー, マーティン C. ; 他編.数論の新たな応用. IMA Vol. Math. Appl. Vol. 109. シュプリンガー. pp.  643– 681. ISBN 0-387-98824-6. Zbl  0982.11031。
• テラス、オードリー(2010). 『グラフのゼータ関数：庭園散策』 ケンブリッジ高等数学研究 第128巻.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-11367-0. Zbl  1206.05003。