飯高次元

代数幾何学において、代数多様体X上の直線束Lの飯高次元（いいたかじょう）とは、 Lによって決定される有理写像の射影空間への像の次元である。これは、 Lの切断環の次元より1小さい。

${\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes d}).}$

Lの飯高次元は常にXの次元以下である。L が有効でない場合、その飯高次元は通常、負であると定義されるか、単に負であるとされる（初期の文献では -1 と定義されていた）。L の飯高次元はL次元と呼ばれることもあり、一方、因子 D の次元はD次元と呼ばれる。飯高次元は、飯高茂 (1970, 1971) によって導入された 。 ${\displaystyle -\infty}$

ビッグラインバンドル

直線束が大きいとは、その直線束が最大飯高次元を持つ場合、つまりその飯高次元が基底多様体の次元と等しい場合である。大きさは双有理不変量である。すなわち、f  : Y → X が多様体の双有理射であり、L がX上の大きな直線束であるならば、f ^* LはY上の大きな直線束である。

豊富なライン束はすべて大きいです。

大きな直線束は、 Xとその像との双有理同型を決定する必要はない。例えば、C が超楕円曲線（例えば種数2の曲線）である場合、その標準束は大きいが、それが決定する有理写像は双有理同型ではない。その代わりに、それはCの標準曲線の2対1被覆、つまり有理正規曲線の2対1被覆となる。

小平次元

滑らかな多様体の標準束の飯高次元はその小平次元と呼ばれる。

飯高予想

複素多様体MからWへのm 多重標準写像はファイバー空間構造を誘導します。

以下では複素代数多様体について考えてみましょう。

K をM 上の標準バンドルとする。K ^mの正則切断H ⁰ (M,K ^m )の次元はP _m (M)で表され、 m 種数と呼ばれる。

${\displaystyle N(M)=\{m\geq 1|P_{m}(M)\geq 1\},}$

するとN(M)はm-種数が0でない正の整数のすべてとなる。N(M)が空でない場合、m-多元写像は次のように定義される。 ${\displaystyle m\in N(M)}$ ${\displaystyle \Phi_{mK}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{mK}:&M\longrightarrow \ \ \ \ \ \ \mathbb {P} ^{N}\\&z\ \ \ \mapsto \ \ (\varphi _{0}(z):\varphi _{1}(z):\cdots :\varphi _{N}(z))\end{aligned}}}$

ここで はH ⁰ (M,K ^m )の基底です。すると の像は の部分多様体として定義されます。 ${\displaystyle \varphi_{i}}$ ${\displaystyle \Phi_{mK}}$ ${\displaystyle \Phi_{mK}(M)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$

確かに、はm-多元写像とします。ここで、 W は射影空間P ^{Nに埋め込まれた}複素多様体です。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Phi _{mk}:M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathbb {P} ^{N}}$

κ(M)=1 の曲面の場合、上記の W は曲線 C に置き換えられ、これは楕円曲線 (κ(C)=0) です。この事実を一般次元に拡張し、右上の図に示す解析ファイバー構造を得ます。

m-多元写像は双有理不変である。P _m (M)=P _m (W)

双有理写像 が与えられると、m-多元標準写像 は左の図に示す可換図をもたらします。つまり、m-多元標準種数は双有理不変です。 ${\displaystyle \varphi :M\longrightarrow W}$ ${\displaystyle \ファイ _{mK}(M)=\ファイ _{mK}(W)}$

射影空間における双有理写像 ψ : W _m1 → W _m2の存在

飯高は、n次元コンパクト複素多様体Mとその小平次元κ(M)が1 ≤ κ(M) ≤ n-1を満たすとき、十分大きなm ₁ , m ₂が存在して、とが双有理的に同値であること、すなわち双有理写像が存在することを示している。つまり、右の図は可換である。 ${\displaystyle \Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)}$ ${\displaystyle \Phi _{m_{2}K}:M\longrightarrow W_{m_{2}}(M)}$ ${\displaystyle \varphi :W_{m_{1}}\longrightarrow W_{m_{2}}(M)}$

さらに、が と双有理であり、が と の両方と双有理であるような ものを選択できる。${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle W^{*}}$ ${\displaystyle W_{m_{1}}}$ ${\displaystyle W_{m_{1}}}$

${\displaystyle \Phi :M^{*}\longrightarrow W^{*}}$

は双有理写像であり、の繊維は単連結であり、の一般繊維は${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle M_{w}^{*}:=\Phi ^{-1}(w),\ \ w\in W^{*}}$

小平次元は0です。

上記のファイバー構造は飯高ファイバー空間と呼ばれます。曲面S（ n = 2 = dim(S)）の場合、W ^*は代数曲線であり、ファイバー構造は1次元であり、一般のファイバーは小平次元0、すなわち楕円曲線を持ちます。したがって、Sは楕円曲面です。これらの事実は一般のnに一般化できます。したがって、高次元双有理幾何学の研究は、κ=-∞,0,nの部分と、κ=0のファイバーを持つファイバー空間に分解されます。

飯高による次の追加式は飯高予想と呼ばれ、代数多様体やコンパクト複素多様体の分類に重要である。

飯高予想—をm次元多様体からn次元多様体へのファイバー空間とし、各ファイバーを連結する。すると、 ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V_{w}=f^{-1}(w)}$

${\displaystyle \kappa (V)\geq \kappa (V_{w})+\kappa (W)。}$

この予想は、例えば モイシェゾン多様体の場合のように、部分的にしか解明されていない。分類理論は、飯高予想を解決し、三次元多様体Vがアーベル多様体であるための必要十分条件はκ(V)=0かつq(V)=3であること、そしてその一般化などといった新たな定理を導くための努力であったと言えるだろう。極小モデル計画はこの予想から導かれるかもしれない。

参考文献

• 飯高 茂 (1970)、「代数多様体のD次元について」、日本学士会論文集、46 : 487–489、doi : 10.3792/pja/1195520260、MR  0285532
• 飯高 茂 (1971)、「代数多様体のD次元について」、 日本数学会誌、23 : 356–373、doi : 10.2969/jmsj/02320356、MR0285531
• 上野健治 (1975) 「代数多様体とコンパクト複素空間の分類理論」数学講義ノート第439巻、Springer-Verlag、MR  0506253