ロジャー・ペンローズによる照明問題の解法。楕円弧（青）と直線分（緑）を用いて、単一光源（赤点）の3つの位置が示されている。紫色の十字は、大きな弧の焦点である。明るい領域と暗い領域は、それぞれ黄色と灰色で示されている。

照明問題は、点光源による鏡張りの壁のある部屋の照明を研究する数学の問題の一種です。

オリジナル処方

元々の定式化は1950年代にエルンスト・シュトラウスによって提唱され、既に解決されています。シュトラウスは、鏡張りの壁を持つ部屋が、鏡張りの壁で光が繰り返し反射することを考慮に入れつつ、常に単一の点光源で照らされるかどうかを問いました。あるいは、この問いは、ビリヤード台を任意の形状に構成できる場合、ビリヤードボールが点状で摩擦によって止まらず無限に続くと仮定した上で、ビリヤードボールを別の点に当てることが不可能な点が存在するような形状は存在するか、という問いとも言えます。

ペンローズの照明不可能な部屋

この問題の根本は、1958年にロジャー・ペンローズによって初めて解決されました。彼は楕円を用いてペンローズの照明不可能な部屋を描きました。彼は、曲面壁を持つ部屋が存在し、単一の点光源のみで照らされた場合、必ず暗い領域が存在することを示しました。

多角形の部屋

ジョージ・W・トカルスキー（26面）とデビッド・カストロ（24面）による照明問題の解決策

この問題は、1995年にジョージ・トカルスキーによって2次元および3次元の多角形部屋についても解決されました。トカルスキーは、繰り返し反射があっても部屋の他の点から照らされない「暗点」を持つ、照らされない多角形の26面体部屋が存在することを示しました。 [1]これらは、点光源の固定位置からのみ照らされない有限個の暗点（領域ではなく）が存在する稀なケースでした。

1995年、トカルスキーは4辺と2つの固定された境界点を持つ、初めて多角形の照明不可能な部屋を発見した。[2]彼はまた1996年に、2つの異なる内部点を持つ20辺の照明不可能な部屋を発見した。1997年には、ジョージ・トカルスキーとデビッド・カストロがそれぞれ、同じ特性を持つ2つの異なる24辺の部屋をそれぞれ提案した。[3] [4]

2016年、サミュエル・ルリエーヴル、ティエリー・モンテイル、バラク・ワイスは、多角形の部屋にある光源の角度（度）がすべて有理数であれば、有限個の点を除いて多角形全体を照らすことができることを示しました。[5] 2019年には、アミット・ウォレツキによってこの理論がさらに強化され、ウォレツキは、このような多角形ごとに、互いに照らさない点のペアの数が有限であることを示しました。[6]

  • 1995 年に作られた、4 辺を持つ最初の多角形トカルスキー非照明室。この部屋でのビリヤードのボールの軌道を示すビデオ。
    1995 年に作られた、4 辺を持つ最初の多角形トカルスキー非照明室。この部屋でのビリヤードのボールの軌道を示すビデオ。
  • 1995 年に作られた、24 面を持つオリジナルのトカルスキー非照明室。この部屋でのビリヤードのボールの軌道を示すビデオ。
    1995 年に作られた、24 面を持つオリジナルのトカルスキー非照明室。この部屋でのビリヤードのボールの軌道を示すビデオ。
  • 20 面の照明のない部屋、1996 年。この部屋でのビリヤードのボールの軌道を示すビデオ。
    20 面の照明のない部屋、1996 年。この部屋でのビリヤードのボールの軌道を示すビデオ。
  • 27 面を持つ奇数面トカルスキー非照明室、1996 年。この部屋でのビリヤードのボールの軌道を示すビデオ。
    27 面を持つ奇数面トカルスキー非照明室、1996 年。この部屋でのビリヤードのボールの軌道を示すビデオ。

参照

参考文献

  1. ^ Tokarsky, George (1995年12月). 「多角形の部屋はどの点からも照らされない」. American Mathematical Monthly . 102 (10). University of Alberta, Edmonton, Alberta, Canada: Mathematical Association of America: 867– 879. doi :10.2307/2975263. JSTOR  2975263.
  2. ^ Tokarsky, G. (1995年3月). 「不可能なプールショット？」SIAM Review 37 ( 1). フィラデルフィア, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics: 107–109 . doi :10.1137/1037016.
  3. ^ カストロ、デイヴィッド（1997年1～2月）「訂正」（PDF） .クォンタム・マガジン. 7 (3). ワシントンD.C.: シュプリンガー・フェアラーク: 42.
  4. ^ Tokarsky, GW (1997年2月). 「フィードバック、数学的レクリエーション」. Scientific American . 276 (2). ニューヨーク: Scientific American, Inc.: 98. JSTOR  24993618.
  5. ^ ルリエーヴル, サミュエル; モンテイル, ティエリー; ワイス, バラク (2016年7月4日). 「すべては照らされている」. Geometry & Topology . 20 (3): 1737– 1762. arXiv : 1407.2975 . doi : 10.2140/gt.2016.20.1737 .
  6. ^ Wolecki, Amit (2019). 「有理ビリヤードにおける照明」. arXiv : 1905.09358 [math.DS].
  • 「照明の問題 - Numberphile」、YouTube、Numberphile、2017年2月28日
  • 「ペンローズの照らせない部屋は光らせることができない」、スティーブ・モールドによるYouTube動画、2022年5月19日
  • 「ペンローズの照らせない部屋ではキノコの形は重要ではない」、ニルス・ベルグルンドによるYouTube動画、2022年8月13日
  • 「トカルスキーの24面を持つ照明のない部屋」、ジョージ・トカルスキーによるYouTube動画、2022年6月16日
  • 「エジプトの象形文字：トカルスキーの奇妙な光らない部屋」、ジョージ・トカルスキーによるYouTube動画、2022年7月15日
  • 「ユーレカ！初の多角形の照らされない部屋」、ジョージ・トカルスキーによるYouTube動画、2022年7月29日
  • Wolframデモンストレーションプロジェクトのインタラクティブなデモンストレーション