傾斜面

車椅子用スロープ、ホテル モンテスコット、シャルトル、フランス

教育で使用されるデモンストレーション用傾斜面、フィレンツェのガリレオ博物館。

斜面（ランプとも呼ばれる）は、垂直方向から一定の角度で傾斜した平らな支持面であり、一方の端がもう一方の端よりも高くなっており、荷物を上げ下げするための補助として使用されます。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}斜面は、ルネサンス期の科学者によって定義された6つの古典的な単純機械の1つです。斜面は、重い荷物を垂直の障害物を越えて移動させるために使用されます。例としては、トラックに荷物を積み込むための斜面、歩行者用スロープを上る人、自動車や鉄道の列車が坂を上る場合などがあります。^{[ 3 ]}

物体を傾斜面上で上昇させるには、まっすぐ持ち上げるよりも力は少なくて済みますが、移動距離は長くなります。 ^{[ 4 ]}傾斜面の機械的利点、つまり力が減少する係数は、傾斜面の長さと傾斜面が張る高さの比に等しくなります。エネルギー保存則により、摩擦による損失を無視すれば、与えられた物体を与えられた垂直距離だけ持ち上げるには同じ量の機械的エネルギー（仕事）が必要ですが、傾斜面ではより小さな力でより長い距離にわたって同じ仕事をすることができます。^{[ 5 ] [ 6 ]}

摩擦角[ 7 ^]は安息角^{[ 8 ]}とも呼ばれ、傾斜面上で摩擦によって荷物が滑り落ちることなく静止できる最大角度である。この角度_は^、表面間の静摩擦係数μsの逆正接に等しい。 ^{[ 8 ]}

他の2つの単純な機械は、傾斜面から派生したと考えられることが多い。^{[ 9 ]}くさびは、動く傾斜面、または基部で接続された2つの傾斜面と考えることができる。^{[ 5 ]}スクリューは、円筒の周りに巻かれた狭い傾斜面で構成される。^{[ 5 ]}

この用語は、特定の用途を指す場合もあります。例えば、急斜面に切り込まれた直線の傾斜路で、貨物を上り下りさせるために使用されます。これには、レール上を走る車両やケーブルカー、ジョンズタウン・インクラインのようなケーブルカーやケーブル鉄道も含まれます。

用途

傾斜面は、トラック、船、飛行機で荷物を積み下ろしするための積載スロープとして広く使用されています。 ^{[ 3 ]}車椅子用スロープは、車椅子に乗っている人が体力を超えずに垂直の障害物を乗り越えるために使用します。エスカレーターや傾斜したコンベアベルトも傾斜面の一種です。^{[ 6 ]}ケーブルカーやケーブル鉄道では、ケーブルを使って急勾配の傾斜面を車両が引き上げられます。また、傾斜面を使用すると、面の法線力を利用して重力を軽減することにより、人間などの重くて壊れやすい物を安全に垂直距離まで降ろすことができます。航空機の避難用スライドは、旅客機の高さから人が迅速かつ安全に地面に到達できるようにします。

ランプを使用して車をトラックに積み込む

ランプを使用してトラックを船に積み込む

航空機緊急脱出スライド

日本のバスの車椅子用スロープ

トラックの積載ランプ

その他のインクラインは恒久的な構造物に組み込まれています。車両や鉄道の道路には、緩やかな傾斜、ランプ、土手道などのインクラインが設置されており、車両が路面のグリップを失うことなく丘などの垂直の障害物を乗り越えることができます。^{[ 3 ]} 同様に、歩行者用の通路や歩道にも緩やかなランプが設置されており、歩行者がグリップを維持できるように傾斜が制限されています。^{[ 1 ] [ 4 ]}インクラインは、遊び場の滑り台、ウォータースライダー、スキー場、スケートボードパークなど、人々が制御された方法で滑り降りるための娯楽としても使用されています。

西暦72年にローマ人がイスラエルのマサダを侵略するために建設した土塁（右）

プラナルト宮殿、ブラジリアの歩行者用スロープ

ジョンズタウン・インクラインド・プレーン、ケーブルカー。

ビルマ・ロード、インド・アッサム州、ビルマから中国へ、 1945年頃

スケートボードパークの傾斜面

歴史

ステヴィンの証明

1586年、フランドルの技術者シモン・ステヴィン（ステヴィヌス）は、ビーズの紐を用いた議論によって斜面の機械的利点を導き出した。[ 10 ]彼は、高さは同じだが傾斜が異なる2つの斜面がプリズムのように背中合わせに配置されている（上図A、B、C）と仮定した。等間隔にビーズをつけた紐の輪を斜面の上にかぶせ、紐の一部は下から垂らす。斜面に載っているビーズは斜面の荷重として作用し、点Tにおける紐の張力によって支えられる。ステヴィンの議論は以下の通りである。[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] 弦は静止しており、静的平衡状態にある必要があります。もし弦の片側がもう片側よりも重く、自重で右または左に滑り始めたとしたら、各ビーズが前のビーズの位置に移動した時点で、弦は最初の位置と区別がつかなくなり、不均衡な状態のまま滑り続けるでしょう。この議論は無限に繰り返され、結果として永久円運動が生じることになりますが、これは不合理です。したがって、弦は静止しており、点T（上記）における両側の力は等しくなります。 傾斜面より下に垂れ下がった鎖の部分は対称形で、両側に同数のビーズが付いています。この部分は紐の両側に等しい力を及ぼします。したがって、この部分の紐は斜面の端（点Sと点V）で切断することができ、傾斜面に接するビーズだけが残ります。この残りの部分は静的平衡状態を保ちます。 ビーズは弦上に等間隔に配置されているため、各平面で支えられるビーズの総数、つまり総荷重は平面の長さに比例します。入力される支持力、つまり弦の張力は両方の平面で同じであるため、各平面の機械的利得はその斜面の長さに比例します… Dijksterhuis [ 13 ]が指摘するように、Stevinの議論は完全には厳密ではない。鎖の垂れ下がった部分が及ぼす力は対称的である必要はない。なぜなら、垂れ下がった部分は解放された際にその形状を維持する必要がないからである。たとえ鎖が角運動量ゼロで解放されたとしても、鎖が最初から平衡状態にあるのでなければ、振動を含む運動は可能であり、この仮定は議論を循環的なものにする。

斜面は先史時代から、重い物を運ぶために人々によって使われてきました。^{[ 14 ] [ 15 ]}ローマ人などの古代文明によって建設された傾斜路や土手道は、現存する初期の斜面の例であり、彼らが物を坂道で運ぶためのこの装置の価値を理解していたことを示しています。ストーンヘンジ^{[ 16 ]}などの古代の石造建築物に使われた重い石は、土でできた斜面を使って移動・設置されたと考えられていますが、^{[ 17 ]}このような一時的な建築用斜面の証拠を見つけるのは困難です。エジプトのピラミッドは斜面を使って建設されました^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}古代の軍隊は攻城斜面によって要塞の壁を乗り越えることができました。古代ギリシャ人は、コリントス地峡を陸上で船を曳航するために、長さ 6 km (3.7 マイル) の舗装された斜面、ディオルコスを建設しました^{[ 4 ]}

しかし、斜面は6つの古典的な単純機械の中で、機械として認識された最後のものでした。これはおそらく、斜面が受動的で静止した装置（可動部は荷）であるため^{[ 21 ]}、また自然界では斜面や丘の形で見られるためでしょう。他の5つの単純機械を定義した古代ギリシャの哲学者たちは、斜面が重い物を持ち上げる用途を理解していましたが、斜面を機械とは考えませんでした^{[ 22 ]} 。この見解は後世の科学者にも受け継がれ、1826年にはカール・フォン・ラングスドルフが「斜面は山の斜面と同じように機械ではない」と記しています^{[ 21 ]} 。斜面上で重りを押し上げるのに必要な力（機械的利点）を計算する問題は、ギリシャの哲学者であるアレクサンドリアのヘロン（紀元10年頃 - 60年頃）とアレクサンドリアのパップス（紀元290年 - 350年頃）によって試みられましたが、彼らの解は正しくありませんでした。^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

ルネッサンス時代になって初めて、傾斜面は数学的に解かれ、他の単純な機械と同様に分類されました。傾斜面の最初の正しい解析は、13世紀の著述家ジョルダヌス・デ・ネモーレの著作に登場しましたが、^{[ 26 ] [ 27 ]}彼の解決法は、当時の他の哲学者に伝えられなかったようです。^{[ 24 ]}ジローラモ・カルダーノ(1570)は、入力された力が斜面の角度に比例するという誤った解決法を提案しました。^{[ 10 ]}その後、16世紀末に、10年以内にミヒャエル・ヴァロ(1584)、シモン・ステヴィン(1586)、ガリレオ・ガリレイ(1592)によって3つの正しい解決法が発表されました。^{[ 24 ]}フランドルの技術者シモン・ステヴィンによる導出は、最初のものではありませんでしたが、独創性とビーズの列を使用しているため^{[ 25 ]}、最もよく知られています(ボックスを参照)。^{[ 12 ] [ 26 ]} 1600年、イタリアの科学者ガリレオ・ガリレイは著書『機械力学について』の中で、単純な機械の分析に傾斜面を含め、力の増幅装置として他の機械との根本的な類似性を示した。^{[ 28 ]}

傾斜面における滑り摩擦の最初の基本法則は、レオナルド・ダ・ヴィンチ（1452-1519）によって発見されましたが、彼のノートに残され、公表されませんでした。^{[ 29 ]}これらはギヨーム・アモントン（1699）によって再発見され、シャルル・オーギュスタン・ド・クーロン（1785）によってさらに発展させられました。^{[ 29 ]}レオンハルト・オイラー（1750）は、傾斜面上の安息角の正接が摩擦係数に等しいことを示しました。^{[ 30 ]}

用語

スロープ

斜面の機械的利点は、その勾配、つまり傾斜度に依存します。勾配が小さいほど機械的利点は大きくなり、一定の重量を持ち上げるのに必要な力は小さくなります。斜面の勾配sは、斜面の両端の高さの差（「上昇」）を水平方向の長さ（「走行」）で割った値に等しくなります。^{[ 31 ]}また、斜面が水平面となす角度（「傾斜」）で表されることもあります。 ${\displaystyle \theta}$

斜面の形状は直角三角形に基づいています。^{[ 31 ]}水平方向の長さはRunと呼ばれることもあり、垂直方向の高さの変化はRiseと呼ばれます。

${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}{\bigg (}{\frac {\text{Rise}}{\text{Run}}}{\bigg )}\,}$

機械的利点

単純な機械の機械的利得は 、負荷に作用する出力と入力される力の比として定義されます。傾斜面の場合、出力負荷力は、負荷面上の物体の重力、つまりその重量に等しくなります 。入力力は、物体を面に沿って上昇させるために、面と平行に作用する力です 。機械的利得は ${\displaystyle \mathrm {MA} }$ ${\displaystyle F_{\text{w}}}$ ${\displaystyle F_{\text{i}}}$

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{\text{w}}}{F_{\text{i}}}}\,}$

摩擦のない理想的な傾斜面のMAは理想的な機械的利点と呼ばれることもありますが、摩擦を考慮した場合のMAは実際の機械的利点と呼ばれます。^{[ 32 ]}${\displaystyle \mathrm {MA} }$ ${\displaystyle \mathrm {IMA} }$ ${\displaystyle \mathrm {AMA} }$

摩擦のない傾斜面

1900年頃、物理教育に使用された計器付き傾斜面。左側の重りが荷重力を生み出し、右側の重りがローラーを傾斜面上に引き上げる入力力を生み出します。${\displaystyle F_{\text{w}}}$ ${\displaystyle F_{\text{i}}}$

移動させる物体と斜面との間に摩擦がない場合、その装置は理想的な斜面と呼ばれます。物体が樽のように転がったり、車輪やキャスターで支えられたりする場合、この状態に近づく可能性があります。エネルギー保存則により、摩擦のない斜面では、荷物を持ち上げる仕事は、入力された力によってなされる仕事に等しくなります。^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}${\displaystyle W_{\text{out}}}$ ${\displaystyle W_{\text{in}}}$

${\displaystyle W_{\rm {out}}=W_{\rm {in}}\,}$

仕事とは、物体が移動する力と変位の積として定義されます。荷物に与えられた仕事は、荷物の重量と、その荷物が上昇する垂直方向の変位、つまり傾斜面の「上昇量」の積に等しくなります。

${\displaystyle W_{\rm {out}}=F_{\rm {w}}\cdot {\text{Rise}}\,}$

入力仕事は、物体にかかる 力と傾斜面の対角線の長さの積に等しくなります。${\displaystyle F_{\text{i}}}$

${\displaystyle W_{\rm {in}}=F_{\rm {i}}\cdot {\text{Length}}\,}$

これらの値を上記のエネルギー保存則に代入して整理すると

${\displaystyle {\text{MA}}={\frac {F_{\rm {w}}}{F_{\rm {i}}}}={\frac {\text{Length}}{\text{Rise}}}\,}$

平面の角度で機械的利点を表すには、 ^{[ 34 ]}図（上）から次の ことがわかる。${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{Rise}}{\text{Length}}}\,}$

それで

  ${\displaystyle {\text{MA}}={\frac {F_{\rm {w}}}{F_{\rm {i}}}}={\frac {1}{\sin \theta }}}$   

したがって、摩擦のない斜面の機械的利得は、斜面角度の正弦の逆数に等しくなります。この式から得られる入力力は、斜面上で荷物を静止させる、または一定速度で押し上げるために必要な力です。入力力がこれより大きい場合、荷物は斜面を上向きに加速します。入力力がこれより小さい場合、荷物は斜面を下向きに加速します。 ${\displaystyle F_{\rm {i}}}$

摩擦のある傾斜面

平面と荷重の間に摩擦がある場合、例えば重い箱を斜面を滑らせる場合など、入力力によって加えられた仕事の一部は摩擦によって熱として散逸するため、荷重にかかる仕事は少なくなります。エネルギー保存則により、出力仕事と摩擦エネルギー損失の合計は、入力仕事に等しくなります。 ${\displaystyle W_{\text{fric}}}$

${\displaystyle W_{\text{in}}=W_{\text{fric}}+W_{\text{out}}\,}$

したがって、摩擦がない場合よりも大きな入力力が必要となり、機械的利点は低くなります。摩擦がある場合、荷重は、表面に平行な正味の力がそれに対抗する摩擦力よりも大きい場合にのみ移動します。^{[ 8 ] [ 36 ] [ 37 ]}最大摩擦力は次のように与えられます 。${\displaystyle F_{\text{f}}}$

${\displaystyle F_{f}=\mu F_{n}\,}$

ここで、は荷重と平面の間に作用する法線力であり、表面に対して垂直な方向を向いています。は2つの表面間の静摩擦係数で、材質によって異なります。入力力が作用していない状態で、 平面の傾斜角がある最大値よりも小さい場合、平面に平行な重力成分は摩擦を克服するには小さすぎるため、荷重は静止したままになります。この角度は安息角と呼ばれ、表面の構成に依存しますが、荷重の重量には依存しません。以下に示すように、安息角の 正接は次の式に等しくなります。${\displaystyle F_{\text{n}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \phi =\tan ^{-1}\mu \,}$

摩擦がある場合、荷重が平面を上下に滑らずに静止している入力力の範囲が常に存在しますが、摩擦のない傾斜面の場合、荷重が静止している入力力の値は 1 つだけです。 ${\displaystyle F_{\text{i}}}$

分析

凡例: F _n = N =平面に垂直な法線力、 F _i = f = 入力力、 F _w = mg = 荷重の重量、m =質量、g =重力

傾斜面上の荷重を自由体とみなすと、 3つの力が作用します。^{[ 8 ] [ 36 ] [ 37 ]}

• 荷物を移動させるために荷物に加えられる力。傾斜面と平行に作用します。${\displaystyle F_{\text{i}}}$
• 荷重の重さは垂直下向きに作用する${\displaystyle F_{\text{w}}}$
• 飛行機が荷重に及ぼす力。これは2つの要素に分解できます。
  • 傾斜面から荷重に作用する法線力。この力は面に対して垂直（法線）に向かいます。${\displaystyle F_{\text{n}}}$
  • 平面から荷重に作用する摩擦力は、表面と平行に作用し、常に物体の運動と反対方向に作用します。この力は、2つの表面間の静摩擦係数μに法線方向の力を乗じた値に等しくなります。${\displaystyle F_{\text{f}}}$

ニュートンの運動の第二法則を用いると、荷重に作用する力の合計がゼロの場合、荷重は静止または定常運動していることになります。摩擦力の方向は上り坂と下り坂で逆であるため、これら2つのケースは別々に考える必要があります。

• 上り坂の動き:荷物にかかる力の合計は上り坂側に向かうため、摩擦力は平面に沿って下向きに向かい、入力された力に対抗します。

上り坂運動における機械的利点の導出 平面に平行な力と垂直な力の平衡方程式は ${\displaystyle \sum F_{\|}=F_{i}-F_{f}-F_{w}\sin \theta =0\,}$ ${\displaystyle \sum F_{\perp }=F_{n}-F_{w}\cos \theta =0\,}$ 最初の方程式に代入する ${\displaystyle F_{f}=\mu F_{n}\,}$ ${\displaystyle F_{i}-\mu F_{n}-F_{w}\sin \theta =0\,}$ 2番目の方程式を解いて上記の方程式に代入すると${\displaystyle F_{n}=F_{w}\cos \theta \,}$ ${\displaystyle F_{i}-\mu F_{w}\cos \theta -F_{w}\sin \theta =0\,}$ ${\displaystyle {\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {1}{\sin \theta +\mu \cos \theta }}\,}$ 定義${\displaystyle \mu =\tan \phi \,}$ ${\displaystyle {\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {1}{\sin \theta +\tan \phi \cos \theta }}={\dfrac {1}{\sin \theta +{\dfrac {\sin \phi }{\cos \phi }}\cos \theta }}={\frac {\cos \phi }{\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi }}\,}$ 分母の角度の和の三角関数の恒等式を用いると、

機械的な利点は

 ${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin(\theta +\phi )}}\,}$

ここで、これは傾斜面を上昇する運動の条件です。作用する力Fi_がこの式で与えられる値よりも大きい場合、荷重は斜面を上昇します。${\displaystyle \phi =\tan ^{-1}\mu \,}$

• 下り坂の動き:荷物にかかる力の合計は下り坂側に向かうため、摩擦力は平面の上方に向けられます。

下り坂運動における機械的利点の導出 平衡方程式は ${\displaystyle \sum F_{\|}=F_{i}+F_{f}-F_{w}\sin \theta =0\,}$ ${\displaystyle \sum F_{\perp }=F_{n}-F_{w}\cos \theta =0\,}$ 最初の方程式に代入する ${\displaystyle F_{f}=\mu F_{n}\,}$ ${\displaystyle F_{i}+\mu F_{n}-F_{w}\sin \theta =0\,}$ 2番目の方程式を解いて上記の方程式に代入すると${\displaystyle F_{n}=F_{w}\cos \theta \,}$ ${\displaystyle F_{i}+\mu F_{w}\cos \theta -F_{w}\sin \theta =0\,}$ ${\displaystyle {\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {1}{\sin \theta -\mu \cos \theta }}\,}$ 上記のように代入して簡略化すると${\displaystyle \mu =\tan \phi \,}$ ${\displaystyle {\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin \theta \cos \phi -\cos \theta \sin \phi }}\,}$ 分母に別の三角関数の恒等式を用いると、

機械的な利点は

 ${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin(\theta -\phi )}}\,}$

これは、平面上での差し迫った運動の条件です。作用する力F _{i が}この式で与えられた値よりも小さい場合、荷重は平面上を滑り落ちます。これには3つのケースがあります。

1. ${\displaystyle \theta <\phi \,}$ : 機械的利点は負です。力が加えられていない場合、荷物は静止したままであり、滑り落ちるには負（下り坂）の力を加える必要があります。
2. ${\displaystyle \theta =\phi \,}$ : 「安息角」。機械的利点は無限大です。力が加わっていない状態では荷物は滑りませんが、わずかな負の力（下向きの力）が加わると滑り始めます。
3. ${\displaystyle \theta >\phi \,}$ : 機械的利点は正である。力が作用していない場合、荷重は平面を滑り落ちるため、荷重を静止させるには何らかの正の（上向きの）力が必要である。

動力を利用した機械的利点

凡例: N =平面に垂直な法線力、W = mg、ここで m =質量、g =重力、θ (シータ) = 平面の傾斜角

傾斜面の機械的利得とは、斜面上の荷物の重量と、それを斜面から引き上げるのに必要な力の比です。荷物の移動によってエネルギーが消費または蓄積されない場合、この機械的利得は斜面の寸法から計算できます。

これを示すために、傾斜路上の鉄道車両の位置rが水平面から 角度θで上方に置かれているとしよう。

${\displaystyle \mathbf {r} =R(\cos \theta ,\sin \theta ),}$

ここでRはランプに沿った距離です。ランプを登る車の速度は

${\displaystyle \mathbf {v} =V(\cos \theta ,\sin \theta ).}$

損失がないため、力Fによって荷物を傾斜路の上へ移動させるために使用される電力は、荷物の 重量Wの垂直方向の揚力である出力に等しくなります。

車をランプの上まで引き上げる入力力は次のように表される。

${\displaystyle P_{\mathrm {in} }=FV,\!}$

そして出力は

${\displaystyle P_{\mathrm {out} }=\mathbf {W} \cdot \mathbf {v} =(0,W)\cdot V(\cos \theta ,\sin \theta )=WV\sin \theta .}$

入力パワーと出力パワーを等しくすると、機械的利点は次のようになります。

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}={\frac {1}{\sin \theta }}.}$

傾斜面の機械的利点は、傾斜面の長さLと高さHの比から計算することもできます。傾斜面の角度の正弦は次のように表されるからです。

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {H}{L}},}$

したがって、

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}={\frac {L}{H}}.}$

リバプール ミナール斜面のケーブル駆動システムのレイアウト。

例: 傾斜路の高さがH = 1メートル、長さがL = 5メートルの場合、機械的利点は

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}=5,}$

つまり、20 ポンドの力で 100 ポンドの荷物を持ち上げることができるということです。

リバプール・ミナール斜面は1804メートル×37.50メートルの寸法で、

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}=1804/37.50=48.1,}$

つまり、ケーブルにかかる100ポンドの張力は、4810ポンドの荷重を持ち上げます。この傾斜の勾配は2%なので、角度θはsinθ≈tanθとなるほど小さいことを意味します。

参照

• 運河の斜面
• 勾配（傾斜）
• 傾斜鉄道
• ランプ機能
• シーフェ・エベネ
• 階段

参考文献

1. コール、マシュー（2005年）『Explore science』第2版、ピアソン・エデュケーション、p.178、ISBN 978-981-06-2002-8。
2. Merriam-Webster's collegiate dictionary, 11th Ed . Merriam-Webster. 2003. pp.  629 . ISBN 978-0-87779-809-5.傾斜面の定義辞書。
3. 「傾斜面」数学・科学アクティビティセンターEdinformatics. 1999年. 2012年3月11日閲覧。
4. シルバーマン、バフィー（2009年）『シンプルマシン：フォース・イン・アクション』第4版、カナダ：ハイネマン・レインツリー教室、p. 7、ISBN 978-1-4329-2317-4。
5. オルトレブ、エドワード・P.、リチャード・カディス（1993年）『機械と仕事』ローレンツ教育出版社、pp. iv. ISBN 978-1-55863-060-4。
6. Reilly, Travis (2011年11月24日). 「Lesson 04: 傾斜面を使って右に滑る」 . Teach Engineering . コロラド大学ボルダー校工学部. 2012年5月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年9月8日閲覧。
7. スコット、ジョン・S. (1993). 『土木工学辞典』. チャップマン＆ヒル. p. 14. ISBN 978-0-412-98421-1摩擦角[機械的] 平面上を滑る物体の研究において、物体が滑り始めるときに表面に対する垂線と物体と表面の間に生じる合力との間の角度。安息角[sm] 任意の粒状物質において、規定の条件下で堆積した表面が水平に対して最も急な角度。
8. アンベカー, AG (2007).メカニズムと機械理論. PHIラーニング. p. 446. ISBN 978-81-203-3134-1安息角とは、傾斜面上に置かれた物体がちょうど斜面を滑り降り始めるときの、平面の傾斜の限界角度です。
9. ローゼン、ジョー、リサ・クイン・ゴッサード (2009). 『物理科学百科事典』第1巻. Infobase Publishing. p. 375. ISBN 978-0-8160-7011-4。
10. Koetsier, Teun (2010). 「サイモン・ステヴィンとルネサンスにおけるアルキメデス力学の台頭」 . 『アルキメデスの天才 ― 数学、科学、工学への23世紀にわたる影響：2010年6月8～10日にイタリアのシラキュースで開催された国際会議議事録』 . Springer. pp.  94– 99. ISBN 978-90-481-9090-4。
11. Devreese、Jozef T.;グイド・ヴァンデン・ベルゲ (2008)。「魔法は魔法ではない」：サイモン・ステヴィンの素晴らしい世界。WIT Press。136 ～ 139ページ。ISBN 978-1-84564-391-1。
12. ファインマン、リチャード・P.、ロバート・B・レイトン、マシュー・サンズ (1963). 『ファインマン物理学講義 第1巻』. 米国: カリフォルニア工科大学. pp.  4.4-4.5 . ISBN 978-0-465-02493-3。
13. EJDijksterhuis:サイモン・ステビン1943
14. テレーズ・マクガイア『聖なる石の光』マリー・A・コーン、テレーズ・ベネディクト・マクガイア（2007年）『石に刻まれていない：儀式の記憶、魂、そして社会に関するエッセイ集』アメリカ大学出版局、23頁。ISBN 978-0-7618-3702-2。
15. ダッチ、スティーブン (1999). 「ギリシャ以前の功績」 .古代世界の遺産. ウィスコンシン大学グリーンベイ校 スティーブ・ダッチ教授のページ.オリジナルより2016年8月21日時点のアーカイブ。 2012年3月13日閲覧。
16. モフェット、マリアン、マイケル・W・ファジオ、ローレンス・ウッドハウス (2003). 『世界建築史』ローレンス・キング出版. 9ページ. ISBN 978-1-85669-371-4。
17. ピート、T. エリック (2006). 『荒石の記念碑とその建設者たち』 エコー図書館. pp.  11– 12. ISBN 978-1-4068-2203-8。
18. Thomas, Burke (2005). 「輸送と傾斜面」 .ギザのピラミッドの建設. world-mysteries.com. 2012年3月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年3月10日閲覧。
19. イスラー、マーティン (2001). 『棒、石、そして影：エジプトのピラミッドの建設』 アメリカ：オクラホマ大学出版局. pp.  211–216 . ISBN 978-0-8061-3342-3。
20. Sprague de Camp, L. (1990). 『古代の技術者』 . アメリカ: Barnes & Noble. p. 43. ISBN 978-0-88029-456-0。
21. Karl von Langsdorf (1826) Machinenkunde、 Reuleaux, Franz (1876). The kinematics of machines: Outlines of a theory of machines . MacMillan. pp.  604より引用。
22. 例えば、ローマの建築家ウィトルウィウス（紀元前80年頃～紀元前15年頃）とギリシャの哲学者アレクサンドリアのヘロン（紀元後10年頃～紀元後70年頃）が残した単純機械のリストには、傾斜面を除く5つの古典的な単純機械が記載されている。 – ウィリアム・スミス（1848年）。『ギリシャ・ローマ古代辞典』ロンドン：ウォルトン・アンド・メイバリー、ジョン・マレー、722ページ。アッシャー、 アボット・ペイソン (1988) 『機械的発明の歴史』 米国：クーリエ・ドーバー出版 98, 120頁ISBN 978-0-486-25593-4。
23. ヒース、トーマス・リトル (1921). 『ギリシャ数学史 第2巻』 イギリス: クラレンドン・プレス. pp.  349 , 433–434 .
24. エジディオ・フェスタとソフィー・ルー、「傾斜面の謎」、レアード、ウォルター・ロイ、ソフィー・ルー（2008年）。『科学革命以前の力学と自然哲学』、米国：シュプリンガー、pp.  195– 221。ISBN 978-1-4020-5966-7。
25. メリ、ドメニコ・ベルトローニ（2006年）『物で考える：17世紀における機械工学の変遷』JHU Press、 35～ 39頁 。ISBN 978-0-8018-8426-9。
26. Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (2010). 『数学史』第3版. John Wiley and Sons. ISBN 978-0-470-63056-3。
27. アッシャー、アボット・ペイソン (1988). 『機械的発明の歴史』 クーリエ・ドーバー出版. p. 106. ISBN 978-0-486-25593-4。
28. ピーター・K・マチャマー（1998年）『ガリレオ・ガリレオ・ガリレイのケンブリッジ・コンパニオン』ロンドン：ケンブリッジ大学出版局、pp.  47– 48. ISBN 978-0-521-58841-6。
29. アームストロング・ヘルーブリー、ブライアン（1991年）『摩擦による機械の制御』米国：シュプリンガー、p. 10、ISBN 978-0-7923-9133-3。
30. マイヤー、エルンスト (2002).ナノサイエンス：ナノメートルスケールの摩擦とレオロジー. ワールドサイエンティフィック. p. 7. ISBN 978-981-238-062-3。
31. ハンドリー、ブレット、デイビッド・M・マーシャル、クレイグ・クーン（2011年）『エンジニアリングの原理』 Cengage Learning. pp.  71– 73. ISBN 978-1-4354-2836-2。
32. デニス、ジョニー・T. (2003). 『物理学完全入門』ペンギン社. pp.  116– 117. ISBN 978-1-59257-081-2。
33. Nave, Carl R. (2010). 「The Incline」 . Hyperphysics . ジョージア州立大学物理天文学部. 2012年9月8日閲覧。
34. Martin, Lori (2010). 「Lab Mech14: 傾斜面 - シンプルな機械」(PDF) . Science in Motion . ウェストミンスター大学. 2012年9月8日閲覧.
35. ピアソン (2009).物理学 クラス10 - IIT ファンデーションシリーズ. ニューデリー: ピアソン・エデュケーション・インディア. p. 69. ISBN 978-81-317-2843-7。
36. Bansal, RK (2005).工学力学と材料力学. Laxmi Publications. pp.  165– 167. ISBN 978-81-7008-094-7。
37. これは、あらゆる角度で作用する力をカバーする、やや一般的な方程式を導出します。Gujral , IS (2008). Engineering Mechanics . Firewall Media. pp.  275– 277. ISBN 978-81-318-0295-3。

外部リンク

• 物理学傾斜面のインタラクティブシミュレーション