独立完了
数学において、カテゴリを拡張するプロセス

数学において、ind-完備化またはind-構築とは、与えられた圏Cにフィルター付き余極限を自由に追加する過程である。このind-完備圏の対象はInd( C )と表記され、直接系として知られ、小さなフィルター付き圏IからCへの関手である。

双対概念はプロ完了 Pro( C ) です。

定義

フィルタリングされたカテゴリ

直接的な体系は、フィルタリングされたカテゴリの概念に依存します。例えば、自然数をオブジェクトとし、のときは常にnからmへの射が1つだけ存在するカテゴリNは、フィルタリングされたカテゴリです。 n ≤ メートル {\displaystyle n\leq m}

直接システム

カテゴリーCの直接システムまたはindオブジェクトは関数として定義される

F : 私 → C {\displaystyle F:I\to C}

小さなフィルタリングされたカテゴリIからCへのデータ。例えば、Iが前述のカテゴリNである場合、このデータはシーケンスと同等である。

X 0 → X 1 → ⋯ {\displaystyle X_{0}\to X_{1}\to \cdots }

Cのオブジェクトと、表示されているモルフィズムの組み合わせ。

インディ完了

Cの Ind オブジェクトはカテゴリ ind- Cを形成します。

2つのindオブジェクト

F : 私 → C {\displaystyle F:I\to C}

そして

G : J → C {\textstyle G:J\to C} 関数を決定する

I op x J セット、 → {\displaystyle \to}

つまり関数

ホム C ⁡ （ F （ 私 ） 、 G （ j ） ） 。 {\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(F(i),G(j)).}

Ind( C )におけるFとGの間の射の集合は、この関数の第2変数における余極限と、それに続く第1変数における極限として定義される。

ホム 産業 ⁡ - C ⁡ （ F 、 G ） ＝ リム 私 コリム j ⁡ ホム C ⁡ （ F （ 私 ） 、 G （ j ） ） 。 \displaystyle \operatorname {Hom}_{\operatorname {Ind}{\text{-}}C}(F,G)=\lim_{i}\operatorname {colim}_{j}\operatorname {Hom}_{C}(F(i),G(j)).

より口語的に言えば、これは、射影が各iに対する写像の集合から構成され、が（iに応じて）十分に大きいことを意味します。 F （ 私 ） → G （ j 私 ） {\displaystyle F(i)\to G(j_{i})} j 私 {\displaystyle j_{i}}

関係CおよびInd(C）

最終的な圏I = {*}は、単一の対象*とその恒等射のみから成り、フィルタリングされた圏の一例である。特に、C内の任意の対象Xは、関数を生成する 。

{ ∗ } → C 、 ∗ ↦ X {\displaystyle \{*\}\to C,*\mapsto X}

そして関数

C → 産業 ⁡ （ C ） 、 X ↦ （ ∗ ↦ X ） 。 {\displaystyle C\to \operatorname {Ind} (C),X\mapsto (*\mapsto X).}

この関数は定義の直接的な帰結として、完全に忠実である。したがって、Ind( C ) はCよりも大きな圏とみなすことができる。

逆に言えば、一般に自然関数が存在する必要はない。

産業 ⁡ （ C ） → C 。 {\displaystyle \operatorname {Ind} (C)\to C.}

しかし、Cがすべてのフィルタされた余極限（直接極限とも呼ばれる）を持っている場合、その余極限に indオブジェクト（何らかのフィルタされたカテゴリIに対して）を送ると、 F : 私 → C {\displaystyle F:I\to C}

コリム 私 ⁡ F （ 私 ） {\displaystyle \operatorname {colim} _{I}F(i)}

はそのような関数を与えるが、一般には同値ではない。したがって、たとえC が既にすべてのフィルタ余極限を持っているとしても、Ind( C ) はCよりも厳密に大きい圏となる。

Ind( C )内のオブジェクトは形式的な直接的な限界として考えることができるため、一部の著者はそのようなオブジェクトを次のように表記する。

「 リム → 私 ∈ 私 ⁡ ''  F （ 私 ） 。 {\displaystyle {\text{“}}\varinjlim _{i\in I}{\text{'' }}F(i).}

この表記法はピエール・ドリーニュによるものである。[1]

独立完了の普遍的性質

圏CからInd( C ) への移行は、圏にフィルター付き余極限を自由に追加することを意味します。そのため、この構成はCのind 完備化とも呼ばれます。これは、次の主張によって明確になります。つまり、すべてのフィルター付き余極限を持つ圏Dに値を取る任意の関手は、 C上の値が元の関手Fであり、かつすべてのフィルター付き余極限を保存するという条件によって一意に決定される関手に拡張されます。 F : C → D {\displaystyle F:C\to D} 私 n d （ C ） → D {\displaystyle Ind(C)\to D}

分類の基本特性

コンパクトなオブジェクト

Ind( C )の射の設計により、 Cの任意のオブジェクトXはInd( C )のオブジェクトとして見なされるときコンパクトである、すなわち、共表現可能な関数

ホム 産業 ⁡ （ C ） ⁡ （ X 、 − ） {\displaystyle \operatorname {Hom} _{\operatorname {Ind} (C)}(X,-)}

はフィルタされた余極限を保存する。これはCやオブジェクトXが何であっても成り立つが、これはX がCにおいてコンパクトである必要がないという事実とは対照的である。逆に、 Ind( C )内の任意のコンパクトオブジェクトは、X内のオブジェクトの像として生じる。

カテゴリCがコンパクト生成であるとは、それが何らかの小さなカテゴリに対して と同値であることを意味する。有限集合のカテゴリFinSetの ind-完備化は、すべての集合のカテゴリである。同様に、 C が有限生成群のカテゴリである場合、 ind-C はすべての群のカテゴリと同値である。 産業 ⁡ （ C 0 ） {\displaystyle \operatorname {Ind} (C_{0})} C 0 {\displaystyle C_{0}}

独立補完の認識

これらの識別は、以下の事実に基づいています。前述のように、すべてのフィルターされた余極限を持つカテゴリDの値を取る任意の関数は、拡大を持ちます。 F : C → D {\displaystyle F:C\to D}

F 〜 : 産業 ⁡ （ C ） → D 、 {\displaystyle {\tilde {F}}:\operatorname {Ind} (C)\to D,}

フィルターされた余極限を保存する関数。この拡張は同値性を除いて一意である。第一に、この関数が本質的に射影的であるのは、 D内の任意のオブジェクトが、 C内の適切なオブジェクトcに対して、 の形のオブジェクトのフィルターされた余極限として表現できる場合である。第二に、が完全に忠実であるのは、元の関数F が完全に忠実であり、かつF がC内の任意のオブジェクトをD内のコンパクトオブジェクトに送る場合と同値である。 F 〜 {\displaystyle {\tilde {F}}} F （ c ） {\displaystyle F(c)} F 〜 {\displaystyle {\tilde {F}}}

これらの事実を、例えば包含関数に適用すると、

F : フィンセット ⊂ セット 、 {\displaystyle F:\operatorname {FinSet} \subset \operatorname {Set} ,}

同等性

産業 ⁡ （ フィンセット ） ≅ セット {\displaystyle \operatorname {Ind} (\operatorname {FinSet} )\cong \operatorname {Set} }

は、任意の集合が有限集合のフィルタされた余極限であるという事実（たとえば、任意の集合はその有限部分集合の和集合であり、これはフィルタされたシステムである）と、さらに任意の有限集合がSetのオブジェクトとして見なされたときにコンパクトであるという事実を表します。

プロ完了

他の範疇的概念や構成と同様に、ind-完了はpro-完了と呼ばれる双対を許容する。pro-完了Pro( C )はind-完了を用いて次のように定義できる。

プロ ⁡ （ C ） := 産業 ⁡ （ C o p ） o p 。 {\displaystyle \operatorname {Pro} (C):=\operatorname {Ind} (C^{op})^{op}.}

（pro- Cの元々の定義はグロタンディーク（1960）によるものである。[2]）

したがって、Pro( C )のオブジェクトは逆システムであるまたはCのプロオブジェクト。定義により、これらは反対のカテゴリの直接的なシステム、または同等の関数である。 C o p {\displaystyle C^{op}}

F : 私 → C {\displaystyle F:I\to C}

小さな共濾過カテゴリーIから。

プロカテゴリーの例

Pro( C ) は任意のカテゴリCに対して存在しますが、他の数学的概念との関連により、いくつかの特殊なケースが注目に値します。

これらのプロカテゴリーにおける位相概念の出現は、それ自体がストーン双対性の特別なケースである同値性に由来する。

フィンセット op ＝ フィンブール {\displaystyle \operatorname {FinSet} ^{\text{op}}=\operatorname {FinBool} }

これは有限集合を冪集合（有限ブール代数とみなされる）に送る。pro-オブジェクトとind-オブジェクトの双対性、およびind-完備化の既知の記述は、特定の反対のカテゴリの記述も生み出す。例えば、このような考察を用いて、 （固定体上の）ベクトル空間のカテゴリの反対のカテゴリが、線型コンパクトベクトル空間とそれらの間の連続線型写像のカテゴリと同値であることを示すことができる。[4]

アプリケーション

代数完備化は非代数完備化ほど顕著ではありませんが、その応用例としては形状理論が挙げられます。代数対象は、代数表現可能関手との関連からも生じ、例えばグロタンディークのガロア理論や、変形理論 におけるシュレッシンジャーの判定基準などが挙げられます。

Tate オブジェクトは、ind オブジェクトと pro オブジェクトの混合です。

無限カテゴリカルバリアント

ind-完了（および、双対的に、pro-完了）は、Lurie（2009）によって ∞-カテゴリに拡張されました。

参照

注記

  1. ^ イリュジー, リュック,ピエール・ドリーニュの秘密の花園から：彼の手紙を振り返る, 日本数学会誌, 第10巻, pp. 237–248 (2015)
  2. ^ CE Aull; R. Lowen (2001年12月31日). 一般位相幾何学の歴史ハンドブック. Springer Science & Business Media. p. 1147. ISBN 978-0-7923-6970-7。
  3. ^ ジョンストン（1982、§VI.2）
  4. ^ バーグマン＆ハウスクネヒト（1996年、提案24.8）

参考文献

  • バーグマン、ハウスクネヒト（1996）、連想環のカテゴリーにおける共群と共環、数学概論とモノグラフ、第45巻、doi :10.1090/surv/045、ISBN 9780821804957
  • ブルバキ、ニコラ（1968年）『数学原論　集合論』フランス語からの翻訳、パリ：ヘルマン、MR  0237342。
  • Blom, Thomas; Moerdijk, Ieke (2023)、「プロカテゴリー上の単体モデル構造」、Algebraic & Geometric Topology、23 (8): 3849– 3908、arXiv : 2009.07539、doi :10.2140/agt.2023.23.3849
  • Grothendieck, Alexander (1960)、「技術的降下法と幾何学的手法の存在法。II. モジュールの形式的存在法」、ブルバキセミナー : années 1958/59 - 1959/60、暴露169-204 (フランス語)、フランス数学協会、  369–390ページ、MR  1603480、Zbl  0234.14007
  • 「システム（カテゴリー内）」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
  • ジョンストン、ピーター・T.（1982）、ストーン・スペース、ISBN 0521337798
  • ルリー、ジェイコブ（2009）、高等トポス理論、数学研究年報、第170巻、プリンストン大学出版局、arXiv：math.CT/0608040、ISBN 978-0-691-14049-0、MR  2522659
  • シーガル、ジャック;マルデシッチ、シベ(1982)、「形状理論」、北ホラント数学図書館、第26巻、アムステルダム：北ホラント、ISBN 978-0-444-86286-0
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