分解不可能な連続体

一連の入れ子になった交差の限界としてのバケットハンドルの構築の最初の4つの段階

点集合位相において、分解不可能な連続体とは、分解不可能な連続体、すなわち、その真の部分連続体の任意の2つの和として表すことができない連続体のことである。1910年、LEJ Brouwerが初めて分解不可能な連続体を記述した。

分解不可能な連続体は、位相学者によって反例の源として用いられてきた。また、力学系にも現れる。

定義

連続体とは 、空でないコンパクト連結距離空間である。弧、n球面、ヒルベルト立方体は経路連結連続体の例であり、位相幾何学者の正弦曲線は経路連結でない連続体の例である。ワルシャワ円は局所的に経路連結でない経路連結連続体である。連続体の部分連続体は、の連結された閉じた部分集合である。空間は、それが単一の点に等しくない場合、非退化である。連続体は、およびとなる2 つの部分連続体と が存在する場合、分解可能である。したがって、 と は非退化であることがわかる。分解不可能な連続体は、分解不可能な連続体である。すべての部分連続体が分解不可能である連続体は、遺伝的に分解不可能であるという。分解不能連続体の成分とは、任意の2点が の適切な部分連続体に含まれるような極大集合である。連続体がとの間で既約であるとは 、両方の点を含む適切な部分連続体が存在しないことを意味する。非退化な分解不能計量連続体 に対しては、の任意の2点の間で既約となるような無数部分集合が存在する。^[1]${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\neq C}$ ${\displaystyle B\neq C}$ ${\displaystyle A\cup B=C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c'}$ ${\displaystyle c,c'\in C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$

歴史

和田湖の第5ステージ

1910 年、LEJ Brouwer は、アーサー・モーリッツ・シェーンフリースによる、と が において開連結な素集合で となる場合、は2 つの閉連結な真部分集合の和集合でなければならないという予想を反証する分解不可能な連続体を記述した。[2] Zygmunt Janiszewski は、バケツ^の取っ手のバージョンなど、そのような分解不可能な連続体をさらに記述した。しかし、Janiszewski はこれらの連続体の既約性に焦点を当てた。1917 年、米山邦三は、共通境界が分解不可能であるワダ湖(和田武夫にちなんで名付けられた)を記述した。1920 年代に、ワルシャワ数学院は、病的な反例としてではなく、分解不可能な連続体そのものの研究をFundamenta Mathematicaeで始めた。ステファン・マズルキェヴィチは、初めて分解不可能性の定義を与えた。1922年、ブロニスワフ・クナスターは擬似弧を記述した。これは遺伝的に分解不可能な連続体の最初の例である。^[3]${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \partial X_{1}=\partial X_{2}}$ ${\displaystyle \partial X_{1}=\partial X_{2}}$

バケットハンドルの例

分解不可能な連続体は、入れ子になった交差の列の極限、または（より一般的には）連続体の列の逆極限として構成されることが多い。バケットハンドル、または Brouwer–Janiszewski–Knaster 連続体は、分解不可能な連続体の最も単純な例であると考えられており、そのように構成することができる（右上を参照）。あるいは、平面上の - 軸の区間に投影されたカントール三元集合 を取る。 を - 軸の上方にある半円の族とし、中心は にあり、端点は にある（この点について対称である）とする。 を- 軸の下方にある半円の族とし、中心は 区間の中点にあり、端点は にあるとする。を - 軸の下方にある半円の族とし、中心は 区間の中点にあり、端点は にあるとする。このような半円の族すべてを結合したものがバケットハンドルである。^[4]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (1/2,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [2/3,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap [2/3,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [2/3^{i},3/3^{i}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap [2/3^{i},3/3^{i}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}}$

バケット ハンドルにはボレル横断は許可されません。つまり、各構成要素から正確に 1 つの点を含むボレル セットは存在しません。

プロパティ

ある意味で、「ほとんどの」連続体は分解不可能である。 を計量を持つ-セル、の空でない閉部分集合全体の集合、で定義されるハウスドルフ計量を備えたのすべての連結元の超空間とすると、 の非退化な分解不可能な部分連続体の集合はにおいて稠密である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2^{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C(M)}$ ${\displaystyle 2^{M}}$ ${\displaystyle H_{d}}$ ${\displaystyle H_{d}(A,B)=\max\{\sup\{d(a,B):a\in A\},\sup\{d(b,A):b\in B\}\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C(M)}$

動的システムでは

1932年、ジョージ・バーコフは「注目すべき閉曲線」を記述しました。これは、不変連続体を含む環状体の同相写像です。マリー・シャルパンティエはこの連続体が分解不可能であることを示し、これは分解不可能な連続体から力学系への最初のつながりとなりました。あるスメール馬蹄形写像の不変集合はバケツの取っ手です。マーシー・バージらは、力学系における分解不可能な連続体について広範囲に研究してきました。^[5]

参照

• 分解不可能性（構成的数学）
• 和田湖、境界が分割不可能な連続体である平面の3つの開集合
• ソレノイド
• シェルピンスキーカーペット

参考文献

1. ナドラー、サム（2017年）『連続体理論入門』CRCプレス、ISBN 9781351990530。
2. Brouwer、LEJ (1910)、「Zur Analysis Situs」、Mathematische Annalen、68 (3): 422–434、doi :10.1007/BF01475781、S2CID  120836681
3. クック、ハワード、イングラム、ウィリアム・T、クーパーバーグ、クリスティナ、レレク、アンドリュー、ミンク、ピオトル (1995). 『コンティニュア：ヒューストン問題集と共に』CRC Press. p. 103. ISBN 9780824796501。
4. イングラム, WT; マハヴィエ, ウィリアム S. (2011). 逆限界：連続体からカオスへ. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 16. ISBN 9781461417972。
5. ケネディ、ジュディ（1993年12月1日）「動的システムにおける非分解連続体の出現様式」ニューヨーク科学アカデミー紀要704 ( 1): 180–201 . Bibcode :1993NYASA.704..180K. doi :10.1111/j.1749-6632.1993.tb52522.x. ISSN  1749-6632. S2CID  85143246.

外部リンク

• Solecki, S. (2002). 「位相幾何学における記述的集合論」 Hušek, M.; van Mill, J. (編).一般位相幾何学の最近の進歩 II . Elsevier. pp.  506– 508. ISBN 978-0-444-50980-2。
• Casselman, Bill (2014)、「表紙について」(PDF)、Notices of the AMS、61 : 610, 676雑誌の表紙に掲載されている、ブラウワーの分解不可能な連続体の図について説明しています。