同時方程式モデル

同時方程式モデルは、従属変数が単なる独立変数ではなく、他の従属変数の関数となる統計モデルの一種である。 ^{[ 1 ]}これは、説明変数の一部が従属変数と共同して決定されることを意味し、経済学では通常、従属変数は何らかの根底にある均衡メカニズムの帰結となる。典型的な需要と供給のモデルを例に挙げると、通常、供給量と需要量は市場によって設定される価格の関数として決定されるが、逆の場合もあり、生産者が消費者の需要量を観察し、価格を設定することも可能である。^{[ 2 ]}

同時性は、回帰変数の厳密な外生性に関するガウス・マルコフの仮定に反するため、関心のある統計パラメータの推定に課題をもたらします。すべての同時方程式を一度に推定するのが自然ですが、これはしばしば、最も単純な線形方程式系であっても、計算コストのかかる非線形最適化問題につながります。 ^{[ 3 ]}この状況は、 1940年代と1950年代にコウルズ委員会が先導した^{[ 4 ]}、モデル内の各方程式を逐次推定する様々な手法の開発を促しました。最も顕著なのは、限定情報最大尤度法と二段階最小二乗法です。^{[ 5 ]}

構造的および簡略化された形式

次のような回帰方程式が m個あるとする。

${\displaystyle y_{it}=y_{-i,t}'\gamma _{i}+x_{it}'\;\!\beta _{i}+u_{it},\quad i=1,\ldots ,m,}$

ここで、iは方程式の番号、t = 1, ..., Tは観測インデックスである。これらの方程式において、x _itは外生変数のk _i × 1ベクトル、 y _itは従属変数、y _−i,tは右辺のi^番目の方程式に入る他のすべての内生変数のn _i × 1ベクトル、 u _itは誤差項である。「− i」という表記は、ベクトルy _−i,tにはy _it（左辺に既に存在するため）を除くすべてのyが含まれる可能性があることを示している。回帰係数β _iとγ _iはそれぞれk _i × 1とn _i × 1の次元である。i^番目の方程式に対応するT個の観測値を垂直に積み重ねると、各方程式をベクトル形式で次のように表すことができる 。

${\displaystyle y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i},\quad i=1,\ldots ,m,}$

ここで、y _iとu _iはT× 1ベクトル、X _iは外生回帰変数のT×k _i行列、 Y _−iはi^番目の方程式の右辺の内生回帰変数のT×n _i行列である。最後に、すべての内生変数を左辺に移し、m個の方程式をベクトル形式でまとめて次のように 表すことができる。

${\displaystyle Y\Gamma =X\mathrm {B} +U.\,}$

この表現は構造形式として知られています。この方程式で、Y = [ y ₁ y ₂ ... y _m ]は従属変数のT×m行列です。各行列Y _−iは、実際にはこのYのn _i列のサブ行列です。従属変数間の関係を記述するm×m行列 Γ は複雑な構造になっています。対角線上に 1 が含まれ、各列iの他のすべての要素は、行列 Y −iにどのYの列が含まれていたかによって、ベクトル−γ _{iの成分かゼロのいずれかになります。T} ×k行列Xには、すべての方程式の外生回帰変数がすべて含まれますが、重複はありません（つまり、行列X はフルランクである必要があります）。したがって、各X _{i は}、 Xのk _i列のサブ行列です。行列 β はk×m の大きさを持ち、各列はベクトルβ _iとゼロの成分から構成されます。これは、 Xのどの回帰変数がX _iに含まれたか、または除外されたかによって異なります。最終的に、U = [ u ₁ u ₂ ... u _m ]は誤差項の T×m行列となります。

構造方程式にΓ ⁻¹を掛けると、系は次のように 簡約された形で表すことができる。

${\displaystyle Y=X\mathrm {B} \Gamma ^{-1}+U\Gamma ^{-1}=X\Pi +V.\,}$

これは既に単純な一般線形モデルであり、例えば通常の最小二乗法によって推定することができます。残念ながら、推定された行列を個々の因子 Β とΓ ⁻¹に分解する作業は非常に複雑であるため、簡約形は予測には適していますが、推論には適していません。 ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\Pi }}}$

仮定

まず、外生回帰変数行列Xの階数は、有限サンプルとT → ∞の極限の両方においてkと等しくなければなりません（この後者の要件は、極限において式が非退化k×k行列に収束することを意味します）。行列 Γ も非退化であると仮定されます。 ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!X}$

第二に、誤差項は系列独立かつ同一分布に従うと仮定する。つまり、行列Uのt^行目を u _{( t )}と表記する場合、ベクトル列 { u _{( t )} } は iid 行列であり、平均はゼロで共分散行列 Σ （これは未知である）を持つ。特に、これはE[ U ] = 0、かつE[ U′U ] = T Σであることを意味する。

最後に、識別には仮定が必要です。

識別

識別条件では、線形方程式のシステムが未知のパラメータに対して解けること が必要です。

より具体的には、識別に必要な条件である順序条件は、各方程式k _i + n _i ≤ kについて、「除外された外生変数の数は、含まれる内生変数の数以上である」というものです。

ランク条件は、必要かつ十分なより強い条件であり、Π _{i 0}のランクがn _{i に}等しいというものです。ここで、Π _{i 0}は、除外された内生変数に対応する列と、含まれる外生変数に対応する行_を消去することによってΠから得られる( k − k _i )× n i 行列です。

相互方程式制約を使用して識別を達成する

同時方程式モデルにおいて、同定を達成するための最も一般的な方法は、方程式内パラメータ制約を課すことである。^{[ 6 ]} しかし、方程式間の制約を用いても同定は可能である。

^{交差方程式制約が識別にどのように使用されるかを説明するために、Wooldridge [ 6 ]}の次の例を考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{12}z_{2}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}\\y_{2}&=\gamma _{21}y_{1}+\delta _{21}z_{1}+\delta _{22}z_{2}+u_{2}\end{整列}}}$

ここで、zはuと無相関であり、yは内生変数である。更なる制約がなければ、除外される外生変数が存在しないため、最初の式は同定されない。2番目の式は、 δ ₁₃ ≠0の場合にのみ同定され、以降の議論ではこれが真であると仮定する。

ここで、 δ ₁₂ = δ ₂₂という交差方程式制約を課します。2番目の方程式は同一視されているので、同一視の目的上、 δ ₁₂は既知であるとみなすことができます。すると、1番目の方程式は次のようになります。

${\displaystyle y_{1}-\delta _{12}z_{2}=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}}$

右辺には内生変数（ y ₂）と除外外生変数（z 2 ）が1つずつあるため、上式の係数を推定するための操作変数として（z ₁、z ₂、z ₃）を用いること_ができる。したがって、式内制約の代わりに式間制約を用いることで同定が可能である。

推定

2段階最小二乗法（2SLS）

同時方程式モデルの最も単純かつ最も一般的な推定法は、いわゆる二段階最小二乗法である^{[ 7 ]} 。これはTheil (1953)とBasmann (1957)によって独立に開発された。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}これは方程式ごとに推定を行う手法であり、各方程式の右辺の内生的回帰変数には、他のすべての方程式の回帰変数Xが機器入力される。この手法は推定を2段階で行うことから「二段階」と呼ばれる。^{[ 7 ]}

ステップ1：Y _−iをXに回帰し、予測値を取得します。${\displaystyle \scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}}$

ステップ2 : y _i onとX _iの通常の最小二乗回帰によってγ _i、β _iを推定します。${\displaystyle \scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}}$

モデル内の i^番目の方程式が次のように書かれるとする。

${\displaystyle y_{i}={\begin{pmatrix}Y_{-i}&X_{i}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma _{i}\\\beta _{i}\end{pmatrix}}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i},}$

ここで、Z _iはi^番目の方程式における内生的および外生的回帰変数のT× ( n _i + k _i )行列であり、δ _iは回帰係数の( n _i + k _i )次元ベクトルである場合、 δ _iの2SLS推定値は^{[ 7 ]}で与えられる。

${\displaystyle {\hat {\delta }}_{i}={\big (}{\hat {Z}}'_{i}{\hat {Z}}_{i}{\big )}^{-1}{\hat {Z}}'_{i}y_{i}={\big (}Z'_{i}PZ_{i}{\big )}^{-1}Z'_{i}Py_{i},}$

ここで、P = X ( X ′ X ) ⁻¹ X ′は外生回帰変数Xによって張られる線形空間への射影行列です。

間接最小二乗法

間接最小二乗法は、計量経済学におけるアプローチの一つであり、同時方程式モデルの係数を、通常の最小二乗法を用いて簡約形モデルから推定する。^{[ 11 ] [ 12 ]} この手法では、まず構造方程式系を簡約形に変換する。係数が推定された後、モデルは構造形に戻される。

限定情報最大尤度（LIML）

「限定情報」最大尤度法は1947年にMA Girshickによって提案され、 ^{[ 13 ]} TW AndersonとH. Rubinによって1949年に形式化されました。 ^{[ 14 ]}この法は、観測iなど、一度に1つの構造方程式を推定することに関心がある場合に使用されます。

${\displaystyle y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i}}$

_{残りの内生変数Y −i}の構造方程式は指定されておらず、簡約された形で与えられている。

${\displaystyle Y_{-i}=X\Pi +U_{-i}}$

この文脈における記法は、単純なIVの場合とは異なります。

• ${\displaystyle Y_{-i}}$ : 内生変数。
• ${\displaystyle X_{-i}}$ : 外生変数
• ${\displaystyle X}$ : 楽器（多くの場合 と表記される）${\displaystyle Z}$

LIMLの明示的な式は以下の通りである: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle {\hat {\delta }}_{i}={\Big (}Z'_{i}(I-\lambda M)Z_{i}{\Big )}^{\!-1}Z'_{i}(I-\lambda M)y_{i},}$

ここで、 M = I − X ( X ′ X ) ⁻¹ X ′であり、λは行列の最小の特性根である。

${\displaystyle {\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}{\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}^{\!-1}}$

ここで、同様に、 M _i = I − X _i ( X _i ′ X _i ) ⁻¹ X _i ′となります。

言い換えれば、λは一般化固有値問題の最小解です。Theil （1971、p.503）を参照してください。

${\displaystyle {\Big |}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big |}=0}$

Kクラス推定量

LIMLはKクラス推定量の特別なケースである: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\hat {\delta }}={\Big (}Z'(I-\kappa M)Z{\Big )}^{\!-1}Z'(I-\kappa M)y,}$

と：

• ${\displaystyle \delta ={\begin{bmatrix}\beta _{i}&\gamma _{i}\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}X_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}}$

いくつかの推定量はこのクラスに属します。

• κ=0: OLS
• κ=1: 2SLS。この場合、2SLSの通常の射影行列は${\displaystyle I-\kappa M=I-M=P}$
• κ=λ: LIML
• κ=λ - α / (nK): Fuller (1977)推定値。^{[ 17 ]}ここで、Kは機器数、nはサンプルサイズ、αは正の定数である。α=1の値は、近似的に偏りのない推定値となる。^{[ 16 ]}

3段階最小二乗法（3SLS）

3段階最小二乗推定量は、Zellner & Theil (1962)によって導入されました。^{[ 18 ] [ 19 ]}これは、操作変数の集合がすべての方程式で共通である 多方程式GMMの特殊なケースと見ることができます。 ^{[ 20 ]}すべての回帰変数が実際に事前に決定されている場合、3SLSは一見無関係な回帰（SUR）に帰着します。したがって、 2段階最小二乗法（2SLS）とSURの組み合わせと見なすこともできます。

社会科学への応用

同時方程式モデルは、様々な分野や学問分野において、様々な観測現象に適用されています。これらの方程式は、現象が相互に因果関係にあると仮定されている場合に適用されます。典型的な例は、経済学における需要と供給です。他の分野では、候補者評価と政党支持^{[ 21 ]} 、政治学における世論と社会政策^{[ 22 ]、} [ ^{23 ] 、}地理学における道路投資と交通需要^{[ 24 ]} 、社会学や人口統計学における教育達成と子育てなど、様々な例が挙げられます。^{[ 25 ]}同時方程式モデルでは、因果効果が一方的な方程式の「ブロック」ではなく同時フィードバックとして推定される場合に特別な特徴を含む相互因果理論が必要である。この場合、研究者は、X の Y への因果効果に関心があるが、Y の X への因果効果は一定に保たれている場合、または、各因果効果が発生するのにかかる時間、つまり因果ラグの長さが研究者に正確にわかっている場合である。ラグ効果の代わりに、同時フィードバックは、X と Y がお互いに及ぼす同時かつ永続的な影響を推定することを意味する。これには、因果効果が時間的に同時であるか、または非常に複雑であるため同時に振舞うように見えるという理論が必要である。一般的な例は、ルームメイトの気分である。^{[ 26 ]}同時フィードバックモデルを推定するには、均衡理論も必要である。均衡理論とは、X と Y が比較的安定した状態にあるか、比較的安定した状態にあるシステム（社会、市場、教室）の一部である理論である。^{[ 27 ]}

参照

• 一般線形モデル
• 一見無関係な回帰
• 縮小版
• パラメータ識別問題

参考文献

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さらに読む

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外部リンク

• マーク・トーマによる2SLS における同定問題と推定に関するYouTube講義