カヴァリエリの原理

このアニメーションは、カヴァリエリの原理の実際の様子を示しています。つまり、水平方向の移動のみが異なる同じ断面のセットがある場合、同じ体積が得られます。

カヴァリエリの原理によれば、両方の平行六面体は体積が同じです。これを用いて、行列式が多重線型であることを示すことができます。

幾何学において、ボナヴェントゥラ・カヴァリエリにちなんで名付けられた不可分法の現代的な実装であるカヴァリエリの原理は次のとおりです。^{[ 1 ]}

• 2次元の場合：平面上の2つの領域が、その平面上の2本の平行線の間に含まれているとします。これらの2本の線に平行なすべての線が、両方の領域と等しい長さの線分で交わる場合、2つの領域の面積は等しくなります。
• 3次元の場合：3次元空間（立体）内の2つの領域が2つの平行な平面で囲まれているとします。これらの2つの平面に平行なすべての平面が、両方の領域と等しい面積の断面積で交差する場合、2つの領域の体積は等しくなります。

今日、カヴァリエリの原理は積分学への初期のステップと見なされており、フビニの定理やレイヤーケーキ表現における一般化など、いくつかの形で用いられているものの、カヴァリエリの原理を用いた結果は、多くの場合、積分によってより直接的に示すことができる。一方、カヴァリエリの原理は、極限は用いるものの無限小は用いなかった古代ギリシャの枯渇法から発展した。

歴史

イタリアの数学者ボナベントゥーラ・カヴァリエリ(1598–1647)、1682 年出版の『Trattato della sfera』より

カヴァリエリの原理はもともと不可分なものの方法と呼ばれており、ルネサンス期のヨーロッパではその名前で知られていました。^{[ 2 ]}カヴァリエリは完全な不可分な理論を展開し、 1635年の著書『連続体の不可分なものによる幾何学の新たな発展』と1647年の著書『六つの幾何学演習』で詳述しました。^{[ 3 ]}カヴァリエリの研究によって原理は確立されましたが、彼は関連するパラドックスや宗教的論争を避けるために、著書の中で連続体が不可分なもので構成されていることを否定し、それまで知られていなかった結果を見つけるためにこの方法を使用することもありませんでした。^{[ 4 ]}

紀元前3世紀、アルキメデスはカヴァリエリの原理に似た方法を用いて^{[ 5 ]} 、著書『力学的定理の方法』の中で円錐と円筒の体積が与えられた場合に球の体積を求めることに成功しました。紀元後5世紀には、祖崇之とその息子祖庚之が球の体積を求める同様の方法を確立しました^{[ 2 ]}。しかし、どちらの手法も近世ヨーロッパでは知られていませんでした。

カヴァリエリの不可分数からエヴァンジェリスタ・トリチェリとジョン・ウォリスの無限小数への移行は、微積分学の歴史における大きな進歩でした。不可分数は余次元1の実体であり、平面図形は無限本の1次元直線から構成されると考えられていました。一方、無限小数は、それが構成する図形と同じ次元の実体であり、したがって平面図形は無限小幅の「平行四辺形」から構成されると考えられます。ウォリスは等差数列の和の公式を適用し、三角形を幅1/∞の無限小平行四辺形に分割することで三角形の面積を計算しました。

2次元

サイクロイド

同じ円上の点が描く 2 つのサイクロイド弧で囲まれた領域の水平断面の長さは、一方ではその下の直線上で時計回りに回転し、他方ではその上の直線上で反時計回りに回転し、その円の対応する水平断面の長さと同じになります。

N. リードは、カヴァリエリの原理を用いてサイクロイドによって囲まれる面積を求める方法を示した^{[ 6 ]} 。半径rの円は、その下の直線上を時計回りに、またはその上の直線上を反時計回りに回転することができる。したがって、円上の点は 2 つのサイクロイドを描きます。円が特定の距離を転がったとき、時計回りに回転する角度と反時計回りに回転する角度は同じです。したがって、サイクロイドを描いた 2 点は等しい高さにあります。したがって、それらの点を通る線は水平 (つまり、円が転がる 2 本の線に平行) になります。その結果、円の各水平断面は、サイクロイドの 2 つの弧によって囲まれる領域の対応する水平断面と同じ長さになります。したがって、カヴァリエリの原理により、円はその領域と同じ面積を持ちます。

サイクロイドアーチを一つ取り囲む長方形を考えてみましょう。サイクロイドの定義から、その幅は2π r、高さは2 rなので、面積は円の面積の4倍になります。この長方形をアーチと長方形の交点の中点で二等分し、片方を180°回転させ、もう片方の長方形を重ねることで、サイクロイドアーチの上に位置する長方形の面積を計算します。この新しい長方形は、面積が円の面積と同じになるように計算された2つのサイクロイドの間の「レンズ」領域と、元の長方形でサイクロイドアーチの上方領域を形成していた2つの領域から構成されます。したがって、サイクロイドの単一の完全なアーチの上に位置する長方形によって囲まれる面積は円の面積に等しく、アーチによって囲まれる面積は円の面積の3倍になります。

3次元

	1. 円柱と円錐の半径はr、高さはh です。 2. 高さをh' = r √ πにスケーリングすると、体積比は維持されます。 3. コーンを薄くスライスします。 4. カヴァリエリの原理を使用して、各スライスを同じ面積の正方形に変形します。 5. ピラミッドを2回複製します。 6. これらを立方体に組み合わせると、体積比が 1:3 であることがわかります。
円錐の体積は、直径と高さが等しい円柱の3分の1であることを 言葉なしで証明する

円錐とピラミッド

円錐（円形の底面を持つもの）を含む、底面の形状に関わらず、あらゆるピラミッドの体積は(1/3)×底面×高さであるという事実は、それが一つのケースにおいて成り立つことさえ分かっていれば、カヴァリエリの原理によって証明できる。まず、三角柱の内部を等しい体積を持つ三つのピラミッド部分に分割することによって、一つのケースにおいてこの事実を証明することができる。カヴァリエリの原理を用いて、これら三つの体積が等しいことを示すことができる。

実際、円錐やピラミッドの体積を計算するには、カヴァリエリの原理やそれに類する無限小論証が必要であり、これは本質的にヒルベルトの第三問題の本質を成す。すなわち、多面体ピラミッドや円錐は標準的な形状に切り取って再配置することはできず、無限（無限小）な手段で比較する必要がある。古代ギリシャ人は、これらの体積を計算するために、 アルキメデスの力学的論証や網羅法など、様々な先行技術を用いていた。

放物面

反転放物面の円盤状の断面積は、内接放物面の外側の円筒部分のリング状の断面積に等しくなります。

半径、高さの円柱を考えます。この円柱は、頂点が円柱の下底の中心にあり、底辺が円柱の上底である放物面 に外接します。 また、頂点と底辺が反転した、寸法は等しい放物面 も考えます。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle y=h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle y=hh\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}}$

あらゆる高さに対して、反転放物面の円盤状の断面積は、内接放物面 の外側の円筒部分のリング状の断面積に等しくなります。${\displaystyle 0\leq y\leq h}$ ${\displaystyle \pi \left({\sqrt {1-{\frac {y}{h}}}}\,r\right)^{2}}$ ${\displaystyle \pi r^{2}-\pi \left({\sqrt {\frac {y}{h}}}\,r\right)^{2}}$

したがって、反転放物面の体積は、内接放物面の外側にある円筒部分の体積に等しい。言い換えれば、放物面の体積は、外接円筒の体積の半分である。 ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}r^{2}h}$

球体

球の円盤状の断面積は、円錐の外側にある円筒部分のリング状の断面積に等しくなります。

円錐の体積がであると分かっている場合、カヴァリエリの原理を使用して球の体積が（は半径） であるという事実を導き出すことができます。${\textstyle {\frac {1}{3}}\left({\text{base}}\times {\text{height}}\right)}$ ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ ${\displaystyle r}$

これは次のように行われます。半径 の球と、半径と高さの円柱を考えてみましょう。円柱内には円錐があり、その頂点は円柱の一方の底の中心にあり、底は円柱のもう一方の底にあります。ピタゴラスの定理により、「赤道」から 単位上方に位置する平面は、半径と面積の円で球と交差します。この平面と円柱の円錐の外側にある部分の交点の面積も です。ご覧のとおり、任意の高さに位置する水平面と球面の交点によって定義される円の面積は、その平面と円柱の円錐の「外側」にある部分の交点の面積に等しくなります。したがって、カヴァリエリの原理を適用すると、半球の体積は円柱の円錐の「外側」にある部分の体積に等しいと言えます。前述の円錐の体積は円柱の体積であり、したがって円錐の外側の体積は円柱の体積です。したがって、球の上半分の体積は円筒の体積と同じである。円筒の体積は ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle y}$ ${\textstyle {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$ ${\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}$ ${\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}$ ${\displaystyle y}$ ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle {\text{底辺}}\times {\text{高さ}}=\pi r^{2}\cdot r=\pi r^{3}}$

（「底辺」の単位は面積、「高さ」の単位は距離です。面積 × 距離 = 体積。）

したがって、上側の半球の体積は であり、球全体の体積は です。 ${\textstyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$ ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

ナプキンリング問題

球の中心に高さの穴をまっすぐに開けた場合、残った帯状の部分の体積は球の大きさに依存しません。球が大きい場合、帯状の部分は細くなりますが、長くなります。${\displaystyle h}$

ナプキンリング問題と呼ばれるものでは、カヴァリエリの原理により、残ったバンドの高さが である球の中心をまっすぐに貫く穴を開けたとき、残った物質の体積は驚くべきことに球の大きさに依存しないことが示されています。残ったリングの断面は平面環状体で、その面積は 2 つの円の面積の差です。ピタゴラスの定理により、2 つの円のうち一方の面積は で、は球の半径、 は赤道面から切断面までの距離であり、もう一方の面積は です。これらを引くと が打ち消されるため、最終的な答えは に依存しません。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \pi \times (r^{2}-y^{2})}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle y}$ ${\textstyle \pi \times \left(r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)}$ ${\displaystyle r^{2}}$ ${\displaystyle r}$

対策への一般化

を 上の測度とします。すると、Cavalieri の原理は をに対して積分可能と書き直すと次のようになります。に値を持つ上の関数 については、2つの正の関数 の差として書き直すことができることを知っておいてください。ここで、 と はそれぞれの正の部分と負の部分を表します。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+}}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu =\int _{0}^{\infty }\mu {\bigl (}\{\,x\in \Omega :f(x)>t\,\}{\bigr )}\,\mathrm {d} t\;.}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}}$ ${\displaystyle f^{+}}$ ${\displaystyle f^{-}}$ ${\displaystyle f}$

参照

• フビニの定理(カヴァリエリの原理はフビニの定理の特殊なケースです)

参考文献

1. イヴス、ハワード (1991). 「カヴァリエリ合同性に関する2つの驚くべき定理」.カレッジ数学ジャーナル. 22 (2): 118– 124. doi : 10.1080/07468342.1991.11973367 .
2. ジル, デニス G.; ライト, スコット; ライト, ウォーレン S. (2011).微積分学：超越関数初期版（第4版）.ジョーンズ＆バートレット・ラーニング. p. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7。
3. Katz, Victor J. (1998). 『数学史入門』（第2版）. Addison-Wesley. p. 477. ISBN 9780321016188。
4. アレクサンダー、アミール（2015年）『無限小：危険な数学理論が現代世界を形作った』イギリス：ワンワールド、pp.  101– 103. ISBN 978-1-78074-642-5。
5. 「アルキメデスの失われた方法」ブリタニカ百科事典。
6. Reed, N. (1986年12月). 「70.40 サイクロイド面の下の面積の基本的証明」. The Mathematical Gazette . 70 (454): 290– 291. doi : 10.2307/3616189 . JSTOR i285660 . 

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W. 「カヴァリエリの原理」。MathWorld 。
• （ドイツ語で）プリンツィプ・フォン・カヴァリエリ
• カヴァリエリ統合