応用数学
車両経路問題を効率的に解決するには、組み合わせ最適化と整数計画法のツールが必要です。

応用数学とは、物理学、工学、医学、生物学、金融、ビジネス、コンピュータサイエンス、産業など、様々な分野における数学的手法の応用です。したがって、応用数学は数理科学と専門知識の融合です。「応用数学」という用語は、数学者が数理モデルを定式化し、研究することで実用的な問題に取り組む専門分野も表しています。

過去において、実用的応用が数学理論の発展を促し、それが純粋数学の研究対象となり、抽象概念がそれ自体のために研究されるようになりました。このように、応用数学の活動は純粋数学の研究と密接に結びついています。

歴史

有限要素法を使用したポンプケーシングモデル上の熱方程式の数値解。

歴史的に、応用数学は主に応用解析学、とりわけ微分方程式、近似理論（広義には表現、漸近法、変分法、数値解析を含む）、応用確率論から構成されていました。これらの数学分野はニュートン物理学の発展に直接関係しており、実際、数学者と物理学者の区別は19世紀半ばまで明確にはなっていませんでした。この歴史はアメリカ合衆国に教育上の遺産を残しました。20世紀初頭まで、アメリカの大学では古典力学などの科目は物理学科ではなく応用数学科で教えられることが多く、流体力学は現在でも応用数学科で教えられていることがあります。[ 1 ]工学部やコンピュータサイエンス学部では伝統的に応用数学が活用されてきました。

部門

流体力学は、応用数学と機械工学の一分野であると考えられることが多いです。

今日、「応用数学」という用語はより広い意味で用いられています。これには、前述の古典的な分野に加え、応用において重要性が高まっている他の分野も含まれます。純粋数学の一部である数論などの分野でさえ、暗号学などの応用において重要になっていますが、一般的にはそれ自体が応用数学の分野の一部であるとは考えられていません。

応用数学の様々な分野が何であるかについては、コンセンサスが得られていません。数学と科学が時代とともに変化していくこと、そして大学が学科、コース、学位を編成する方法によって、このような分類は困難になっています。

多くの数学者は、数学的手法を扱う「応用数学」と、科学・工学における「数学の応用」を区別しています。生物学者が個体群モデルを用いて既知の数学を応用する場合、それは応用数学を実践しているのではなく、むしろ応用数学を利用していると言えるでしょう。しかし、数理生物学者は純粋数学の発展を促す問題を提起してきました。ポアンカレやアーノルドといった数学者は「応用数学」の存在を否定し、「数学の応用」しかないと主張しています。同様に、数学者以外の人々は応用数学と数学の応用を混同しています。産業上の問題を解決するための数学の利用と発展は、「産業数学」とも呼ばれています。[ 2 ]

現代の数値数学的手法とソフトウェアの成功により、計算数学、計算科学、そして計算工学が誕生しました。これらは、科学と工学における現象のシミュレーションや問題の解決に高性能コンピューティングを活用しています。これらはしばしば学際的であると考えられています。

応用数学

応用数学という用語は、物理学と並行して発展してきた伝統的な応用数学と、今日の現実世界の問題に応用可能な数学の多くの分野を区別するために使用されることがありますが、正確な定義についてはコンセンサスがありません。[ 3 ]

数学者はしばしば「応用数学」と、科学・工学の内外における「数学の応用」あるいは「応用数学」を区別する。[ 3 ]一部の数学者は、従来の応用分野と、以前は純粋数学と見なされていた分野から生じる新しい応用分野を区別または区別するために、「応用数学」という用語を強調する。[ 4 ]例えば、この観点からすると、個体群モデルを用いて既知の数学を応用する生態学者や地理学者は、応用数学ではなく、応用数学を行っていることになる。純粋数学の一部である数論などの分野でさえ、暗号学などの応用において現在では重要となっているが、それらは一般的には応用数学の分野の一部とは見なされていない。このような説明から、応用数学は、実解析、線型代数、数理モデリング、最適化、組合せ論、確率論、統計学といった、従来の数学以外の分野で有用であり、数理物理学に特有ではない数学的手法の集合体と見なされる可能性がある。

他の著者は、応用数学を「新しい」数学の応用と伝統的な応用数学の分野との融合として説明することを好みます。[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]この見方では、応用数学と応用数学という用語は互換性があります。

ユーティリティ

数理ファイナンスは金融市場のモデリングに関係しています。

歴史的に、数学は自然科学と工学において最も重要でした。しかし、第二次世界大戦以降、物理学以外の分野からも、経済学的な考察から生まれたゲーム理論や社会選択理論など、数学の新しい分野が創出されました。さらに、数学的手法の活用と発展は他の分野にも広がり、数理ファイナンスやデータサイエンスといった新しい分野が創出されました。

コンピュータの出現により、新たな応用が可能になった。すなわち、新しいコンピュータ技術自体（コンピュータサイエンス）を研究・利用して、他の科学分野で生じる問題（計算科学）や計算数学（例えば、理論コンピュータサイエンス、コンピュータ代数、[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]数値解析[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]）を研究するようになった。統計学は、おそらく社会科学で最も広く使われている数理科学である。

学部における地位

応用数学のコース、プログラム、学位の分類や分類方法は、大学によって一貫性がありません。大学によっては数学部門が1つしかないところもありますが、応用数学と（純粋）数学が別々の部門に分かれているところもあります。大学院課程のある大学では統計学の部門が別々になっているのが一般的ですが、学部課程のみの大学では、統計学を数学部門に含めているところが多くあります。

多くの応用数学プログラム（学科ではなく）は、主に共通科目と、応用分野を代表する学科の共同教員で構成されています。応用数学の博士課程の中には、数学以外の科目をほとんど、あるいは全く履修させないプログラムもあれば、特定の応用分野における相当量の科目履修を要求するプログラムもあります。ある意味では、この違いは「数学の応用」と「応用数学」の違いを反映しています。

英国の一部の大学には応用数学と理論物理学の学科が設置されているが[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]、純粋数学と応用数学が別々に設けられることは現在では非常に稀である。注目すべき例外はケンブリッジ大学の応用数学・理論物理学科で、同校にはルーカス数学教授がおり、その歴代教授にはアイザック・ニュートン、チャールズ・バベッジ、ジェームズ・ライトヒル、ポール・ディラック、スティーブン・ホーキングなどが名を連ねている。

ブラウン大学応用数学部はアメリカで最も古い応用数学プログラムである[ 18 ] [ 19 ]

応用数学の独立した学科を持つ大学としては、博士課程まで学位を提供する大規模な応用数学部門を持つブラウン大学から、応用数学の修士課程のみを提供するサンタクララ大学まで様々です。 [ 20 ]数学科を純粋数学と応用数学に分けた研究大学には、MITなどがあります。このプログラムの学生は、応用数学のスキルを補完するために、他のスキル（コンピュータサイエンス、工学、物理学、純粋数学など）も学びます。

関連する数学科学

応用数学は統計学とかなり重複しています。

応用数学は、以下の数学科学と関連しています。

エンジニアリング

数学は工学のすべての分野で使用されており、その後、工学専門職内の明確な専門分野として発展してきました。

例えば、連続体力学は土木工学、機械工学、航空宇宙工学の基礎であり、固体力学と流体力学のコースは工学カリキュラムの重要な構成要素となっている。連続体力学は、それ自体が数学の重要な一分野でもある。偏微分方程式、微分幾何学、変分法の解析に携わる数学者にとって、連続体力学は広範囲にわたる困難な研究課題のインスピレーションの源となってきた。連続体機械システムがもたらす数学的問題の中で最も有名なのは、おそらくナビエ・ストークスの存在と滑らかさの問題だろう。連続体力学の数学に貢献したエンジニアではなく著名な数学者としては、クリフォード・トゥルーズデル、ウォルター・ノル、アンドレイ・コルモゴロフ、ジョージ・バチェラーがいる。

制御工学は、工学の多くの分野にとって不可欠な学問分野です。この専門分野に関連する数学理論は、力学系の数学を基盤とする応用数学の一分野である制御理論です。制御理論は現代技術の実現に重要な役割を果たし、電気工学、機械工学、航空宇宙工学の基礎を築いてきました。連続体力学と同様に、制御理論も独自の数学研究分野となっており、アレクサンドル・リャプノフ、ノルベルト・ウィーナー、レフ・ポンチャギン、フィールズ賞受賞者のピエール＝ルイ・リオンズといった数学者がその基礎に貢献しました。

科学計算

科学計算には、応用数学（特に数値解析[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 21 ]）、計算科学（特に高性能計算[ 22 ] [ 23 ]）、および科学分野における数学的モデリングが含まれます。

コンピュータサイエンス

コンピュータサイエンスは、論理学、代数、グラフ理論などの離散数学、[ 24 ] [ 25 ]、組合せ論に依存しています。

オペレーションズリサーチと経営科学

オペレーションズリサーチ[ 26 ]と経営科学は、工学部、ビジネス学部、公共政策学部でよく教えられています。

統計

応用数学は統計学の分野とかなり重複しています。統計理論家は統計手法を数学を用いて研究・改良し、統計研究はしばしば数学的な問題を提起します。統計理論は確率論と意思決定理論を基盤とし、科学計算、解析、最適化を広範に活用します。統計学者は実験計画において代数と組合せ計画を用います。応用数学者と統計学者は、多くの場合、数理科学系の学科（特に短期大学や小規模大学）で働いています。

保険数理学

保険数理学は、確率、統計、経済理論を応用して、保険、金融、その他の産業や専門職におけるリスクを評価します。[ 27 ]

数理経済学

数理経済学とは、経済学における理論を表現し、問題を分析するために数学的手法を応用する学問である。[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]応用手法とは、通常、非自明な数学的手法やアプローチを指す。数理経済学は、統計学、確率論、数理計画法（およびその他の計算手法）、オペレーションズ・リサーチ、ゲーム理論、そして数学的解析学のいくつかの手法に基づいている。この点において、数理経済学は応用数学の別の分野である金融数学と類似しているが、異なる側面も持つ。[ 31 ]

数学科目分類（MSC）によれば、数理経済学は応用数学/その他分類のカテゴリ91に分類されます。

ゲーム理論、経済学、社会科学、行動科学

MSC2010分類の「ゲーム理論」はコード91Axx Archived 2015-04-02 at the Wayback Machineに、「数理経済学」はコード91Bxx Archived 2015-04-02 at the Wayback Machineに存在します。

その他の分野

応用数学と特定の応用分野との境界線は、しばしば曖昧です。多くの大学では、ビジネス、工学、物理学、化学、心理学、生物学、コンピュータサイエンス、科学計算、情報理論、数理物理学といった分野において、それぞれの学部以外で数学や統計のコースが開講されています。

応用数学協会

応用数学協会は国際的な応用数学の組織です。2024年現在、協会には14,000人の個人会員がいます。[ 32 ]アメリカ数学協会には応用数学グループがあります。[ 33 ]

参照

参考文献

  1. ^ Stolz, M. (2002)、「応用数学の歴史と社会史」、Synthese、133 (1): 43– 57、doi : 10.1023/A:1020823608217、S2CID 34271623 
  2. ^ University of Strathclyde (17 January 2008), Industrial Mathematics , 2012-08-04時点のオリジナルよりアーカイブ, 2009年1月8日閲覧
  3. ^ a b数学教育の展望：バコメットグループメンバーによる論文集、82～3ページ。編集者：H. Christiansen、AG Howson、M. Otte。数学教育ライブラリ第2巻、Springer Science & Business Media、2012年。ISBN 9400945043、9789400945043。
  4. ^ a b Survey of Applicable Mathematics、pg xvii（序文）。K . Rektorys; 第2版、イラスト入り。Springer、2013年。ISBN 9401583080、9789401583084。
  5. ^応用数学についての考察。
  6. ^国際応用数学会議 (ICAM-2016).アーカイブ済み2017年3月23日Wayback Machineステラマリス大学数学科.
  7. ^ Von Zur Gathen, J.、Gerhard, J. (2013).現代のコンピューター代数。ケンブリッジ大学出版局。
  8. ^ Geddes, KO, Czapor, SR, & Labahn, G. (1992). コンピュータ代数のためのアルゴリズム. Springer Science & Business Media.
  9. ^ Albrecht, R. (2012). コンピュータ代数：記号計算と代数計算（第4巻）. Springer Science & Business Media.
  10. ^ミグノット, M. (2012). コンピュータ代数のための数学. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア.
  11. ^ a b Stoer, J., Bulirsch, R. (2013). 数値解析入門. Springer Science & Business Media.
  12. ^ a b Conte, SD, & De Boor, C. (2017). 初等数値解析：アルゴリズム的アプローチ.応用数学協会.
  13. ^ a b Greenspan, D. (2018). 数値解析. CRC Press.
  14. ^ a b Linz, P. (2019). 理論数値解析. Courier Dover Publications.
  15. ^例えば、「The Tait Institute: History」（第2段落）を参照。2012年11月にアクセス。
  16. ^応用数学・理論物理学科、クイーンズ大学、ベルファスト。
  17. ^ DAMTP ベルファスト ResearchGate ページ。
  18. ^鈴木, ジェフ (2009-08-27).歴史的文脈における数学. MAA. p. 374. ISBN 978-0-88385-570-6。
  19. ^ Greenberg, John L.; Goodstein, Judith R. (1983-12-23). 「セオドア・フォン・カルマンとアメリカにおける応用数学」 ( PDF) . Science . 222 (4630): 1300– 1304. Bibcode : 1983Sci...222.1300G . doi : 10.1126/science.222.4630.1300 . PMID 17773321. S2CID 19738034 .  
  20. ^サンタクララ大学応用数学部、2011年5月4日時点のオリジナルよりアーカイブ、 2011年3月5日取得
  21. ^現在、数値解析には数値線形代数、数値積分、検証済み数値がサブフィールドとして含まれています。
  22. ^ Hager, G., Wellein, G. (2010). 科学者とエンジニアのための高性能コンピューティング入門. CRC Press.
  23. ^ Geshi, M. (2019). 計算科学のための高性能コンピューティングの技法, Springer.
  24. ^ West, DB (2001). グラフ理論入門（第2巻）. アッパーサドルリバー: プレンティスホール.
  25. ^ Bondy, JA, & Murty, USR (1976). グラフ理論とその応用 (第290巻). ロンドン: Macmillan.
  26. ^ Winston, WL, & Goldberg, JB (2004). オペレーションズ・リサーチ：アプリケーションとアルゴリズム（第3巻）. ベルモント: Thomson Brooks/Cole.
  27. ^ Boland, PJ (2007). 保険数理科学における統計的・確率的手法. CRC Press.
  28. ^ Wainwright, K. (2005). 数理経済学の基礎的手法/Alpha C. Chiang, Kevin Wainwright. ボストン、マサチューセッツ州: McGraw-Hill/Irwin.
  29. ^ Na, N. (2016). 数理経済学. シュプリンガー.
  30. ^ランカスター、K. (2012). 数理経済学. クーリエコーポレーション.
  31. ^ Roberts, AJ (2009). 金融数学の初等微積分（第15巻）. SIAM.
  32. ^ 「SIAMについて | SIAM」 . Society for Industrial and Applied Mathematics . 2024年12月10日閲覧。
  33. ^ 「応用数学グループ」アメリカ数学会. 2024年12月10日閲覧。

さらに読む

応用数学

ウィキバーシティには、学校:数学に関する学習リソースがあります。
ウィキブックスには「応用数学」に関する書籍があります。
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