慣性多様体

数学において、慣性多様体は散逸 力学系の解の長期的な挙動に関係する。慣性多様体は有限次元で滑らかで不変な多様体であり、大域アトラクターを含み、すべての解を指数関数的に急速に引き寄せる。慣性多様体は元の系が無限次元であっても有限次元であり、また系のダイナミクスの大部分は慣性多様体上で起こるため、慣性多様体上のダイナミクスを研究することで、元の系のダイナミクスの研究が大幅に簡素化される。[1]

多くの物理応用において、慣性多様体は短波長構造と長波長構造間の相互作用則を表現します。短波長は長波長に従属していると考える人もいます（例えば、シナジェティクス）。慣性多様体は、気象学でよく見られる低速多様体として、あるいはあらゆる分岐における中心多様体として現れることもあります。計算論的には、偏微分方程式の数値計算スキームは長期的なダイナミクスを捉えようとするため、近似的な慣性多様体を形成します。

導入例

2つの変数と パラメータを持つ 力学系を考える : [2] p （ t ） {\displaystyle p(t)} q （ t ） {\displaystyle q(t)} 1つの {\displaystyle a}

d p d t ＝ 1つの p − p q 、 d q d t ＝ − q + p 2 − 2 q 2 。 {\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=ap-pq\,,\qquad {\frac {dq}{dt}}=-q+p^{2}-2q^{2}.}
  • これは、（放物線）の1 次元慣性多様体を備えています 。 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} q ＝ p 2 / （ 1 + 2 1つの ） {\displaystyle q=p^{2}/(1+2a)}
  • この多様体は力学に対して不変である。なぜなら多様体上で  M {\displaystyle {\mathcal {M}}}
  d q d t ＝ d d t p 2 1 + 2 1つの ＝ 2 p d p d t 1 + 2 1つの ＝ 2 1つの p 2 1 + 2 1つの − 2 p 4 （ 1 + 2 1つの ） 2 {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {p^{2}}{1+2a}}={\frac {2p{\frac {dp}{dt}}}{1+2a}}={\frac {2ap^{2}}{1+2a}}-{\frac {2p^{4}}{(1+2a)^{2}}}} これは以下と同じです
  − q + p 2 − 2 q 2 ＝ − p 2 1 + 2 1つの + p 2 − 2 （ p 2 1 + 2 1つの ） 2 ＝ 2 1つの p 2 1 + 2 1つの − 2 p 4 （ 1 + 2 1つの ） 2 。 {\displaystyle -q+p^{2}-2q^{2}=-{\frac {p^{2}}{1+2a}}+p^{2}-2\left({\frac {p^{2}}{1+2a}}\right)^{2}={\frac {2ap^{2}}{1+2a}}-{\frac {2p^{4}}{(1+2a)^{2}}}.}
  • 多様体は、 原点の近くにあるため、原点の周りの有限領域内のすべての軌道を引き付けます  (ただし、以下の厳密な定義では、すべての初期条件から引き付ける必要があります)。 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} d q d t ≈ − q {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}\approx -q}

したがって、元の2次元力学系の長期的な動作は、慣性多様体上の「より単純な」1次元力学 、つまり によって与えられます。 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} d p d t ＝ 1つの p − 1 1 + 2 1つの p 3 {\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=ap-{\frac {1}{1+2a}}p^{3}}

意味

力学系の解を とします。解は、 内の発展ベクトルである場合もあれば、無限次元バナッハ空間内の発展関数である場合もあります。 あなた （ t ） {\displaystyle u(t)} あなた （ t ） {\displaystyle u(t)} H ＝ R n {\displaystyle H=\mathbb {R} ^{n}}   H {\displaystyle H}

興味深い多くのケースにおいて、 の発展は、 例えば初期値 を持つにおける微分方程式の解として決定されます 。いずれの場合も、力学系の解は、すべての時間とすべての初期値 に対してとなる半群演算子、つまり状態遷移行列で表せると仮定します。状況によっては、写像の力学のように、時間の離散値のみを考慮することもあります。 あなた （ t ） {\displaystyle u(t)} H {\displaystyle H} d あなた / d t ＝ F （ あなた （ t ） ） {\displaystyle {du}/{dt}=F(u(t))} あなた （ 0 ） ＝ あなた 0 {\displaystyle u(0)=u_{0}} S : H → H {\displaystyle S:H\to H} あなた （ t ） ＝ S （ t ） あなた 0 {\displaystyle u(t)=S(t)u_{0}} t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} あなた 0 {\displaystyle u_{0}}

動的半群の 慣性多様体[ 1 ]は、 S （ t ） {\displaystyle S(t)}   M {\displaystyle {\mathcal {M}}}

  1. M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 有限次元である、
  2. S （ t ） M ⊂ M {\displaystyle S(t){\mathcal {M}}\subset {\mathcal {M}}} いつまでも 、 t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0}
  3. M {\displaystyle {\mathcal {M}}} すべての解は指数関数的に速く引き寄せられます。つまり、すべての初期値に対して、 となる定数が存在します 。 あなた 0 ∈ H {\displaystyle u_{0}\in H} c j > 0 {\displaystyle c_{j}>0} 地区 （ S （ t ） あなた 0 、 M ） ≤ c 1 e − c 2 t {\displaystyle {\text{dist}}(S(t)u_{0},{\mathcal {M}})\leq c_{1}e^{-c_{2}t}}

したがって、微分方程式を慣性多様体に 制限することは、 慣性系と呼ばれる明確に定義された有限次元系となる。[1] 多様体が引力を持つことと、多様体上の解が引力を持つことの間には微妙な違いがある。しかしながら、適切な条件下では、慣性系はいわゆる漸近完全性を持つ：[3]つまり、微分方程式のあらゆる解には、 に存在し、長時間にわたって同じ挙動を示す 解が存在する 。数学においては、すべての に対してが存在し 、場合によっては となるよう な時間シフトが 存在する。 d あなた / d t ＝ F （ あなた ） {\displaystyle du/dt=F(u)} M {\displaystyle {\mathcal {M}}} M {\displaystyle {\mathcal {M}}} あなた 0 {\displaystyle u_{0}} v 0 ∈ M {\displaystyle v_{0}\in {\mathcal {M}}} τ ≥ 0 {\displaystyle \tau \geq 0} 地区 （ S （ t ） あなた 0 、 S （ t + τ ） v 0 ） → 0 {\displaystyle {\text{dist}}(S(t)u_{0},S(t+\tau )v_{0})\to 0} t → ∞ {\displaystyle t\to \infty }

2000年代の研究者は、このような慣性多様体を時間依存（非自律）および/または確率的力学系（例えば[4] [5]） に一般化した。

存在

証明された存在結果は、グラフとして表現可能な慣性多様体を対象としている。[1] 支配的な微分方程式は、より具体的には、定義域 、非線形作用素 を持つ非有界自己随伴閉作用素 の 形で書き直される。典型的には、初等スペクトル理論は、順序付けられた固有値 に対して、固有ベクトル 、 、 からなるの 直交基底を与える。 d あなた / d t + あ あなた + f ( u ) = 0 {\displaystyle du/dt+Au+f(u)=0} A {\displaystyle A} D ( A ) ⊂ H {\displaystyle D(A)\subset H} f : D ( A ) → H {\displaystyle f:D(A)\to H} H {\displaystyle H} v j {\displaystyle v_{j}} A v j = λ j v j {\displaystyle Av_{j}=\lambda _{j}v_{j}} j = 1 , 2 , … {\displaystyle j=1,2,\ldots } 0 < λ 1 ≤ λ 2 ≤ ⋯ {\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots }

ある与えられた数 のモードに対して、は の張られる空間へ  の射影を表し 、 は の張られる空間への直交射影を表します 。グラフ で表される慣性多様体を探します 。このグラフが存在するための最も厳しい要件は、定数が システムに依存するスペクトルギャップ条件[1]です。このスペクトルギャップ条件は、 のスペクトルが 存在することを保証するためには、大きなギャップを含んでいなければならないことを要求します。 m {\displaystyle m} P {\displaystyle P} H {\displaystyle H} v 1 , … , v m {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}} Q = I − P {\displaystyle Q=I-P} v m + 1 , v m + 2 , … {\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots } Φ : P H → Q H {\displaystyle \Phi :PH\to QH}   λ m + 1 − λ m ≥ c ( λ m + 1 + λ m ) {\displaystyle \lambda _{m+1}-\lambda _{m}\geq c({\sqrt {\lambda _{m+1}}}+{\sqrt {\lambda _{m}}})} c {\displaystyle c} A {\displaystyle A}

近似慣性多様体

慣性多様体の近似を構築するいくつかの方法が提案されており、[1]いわゆる固有低次元多様体も含まれる。[6] [7]

最も一般的な近似方法は、グラフの存在から導かれます。 遅い変数と「無限」の 速い変数を定義します。次に、微分方程式を と の両方に 投影して 、 結合系 と を得 ます 。 m {\displaystyle m}   p ( t ) = P u ( t ) {\displaystyle p(t)=Pu(t)}   q ( t ) = Q u ( t ) {\displaystyle q(t)=Qu(t)} d u / d t + A u + f ( u ) = 0 {\displaystyle du/dt+Au+f(u)=0} P H {\displaystyle PH} Q H {\displaystyle QH} d p / d t + A p + P f ( p + q ) = 0 {\displaystyle dp/dt+Ap+Pf(p+q)=0} d q / d t + A q + Q f ( p + q ) = 0 {\displaystyle dq/dt+Aq+Qf(p+q)=0}

慣性多様体 のグラフ上の軌道については 、高速変数 を微分し、結合システムの形式を用いると、グラフの微分方程式が得られる。 M {\displaystyle M} q ( t ) = Φ ( p ( t ) ) {\displaystyle q(t)=\Phi (p(t))}

− d Φ d p [ A p + P f ( p + Φ ( p ) ) ] + A Φ ( p ) + Q f ( p + Φ ( p ) ) = 0. {\displaystyle -{\frac {d\Phi }{dp}}\left[Ap+Pf(p+\Phi (p))\right]+A\Phi (p)+Qf(p+\Phi (p))=0.}

この微分方程式は、典型的には「小さな」漸近展開で近似的に解かれ、 不変多様体モデル[8] または非線形ガラーキン法[9]を与える。 これらはいずれもグローバル基底を使用するのに対し、いわゆる 全体論的離散化はローカル基底を使用する。[10] 慣性多様体の近似に対するこのようなアプローチは、中心多様体の近似と非常に密接に関連しており 、ユーザーが入力したシステムの近似値を構築するためのウェブサービスが存在する。[11] p {\displaystyle p}

参照

参考文献

  1. ^ abcdef R. テマム. 慣性多様体. Mathematical Intelligencer , 12:68–74, 1990
  2. ^ Roberts, AJ (1985). 「分岐を持つ方程式系における振幅方程式の導出の簡単な例」.オーストラリア数学会誌, シリーズB. 27 ( 1). Cambridge University Press (CUP): 48– 65. doi : 10.1017/s0334270000004756 . ISSN  0334-2700.
  3. ^ Robinson, James C. (1996-09-01). 「慣性多様体の漸近的完全性」.非線形性. 9 (5). IOP Publishing: 1325– 1340. Bibcode :1996Nonli...9.1325R. doi :10.1088/0951-7715/9/5/013. ISSN  0951-7715. S2CID  250890338.
  4. ^ Schmalfuss, Björn; Schneider, Klaus R. (2007-09-18). 「低速変数と高速変数を持つランダム動的システムの不変多様体」. Journal of Dynamics and Differential Equations . 20 (1). Springer Science and Business Media LLC: 133– 164. Bibcode :2008JDDE...20..133S. doi :10.1007/s10884-007-9089-7. ISSN  1040-7294. S2CID  123477654.
  5. ^ ペッチェ、クリスチャン;ラスムッセン、マーティン (2009-02-18)。 「非自律不変量および慣性多様体の計算」(PDF)。数学数学。112 (3)。 Springer Science and Business Media LLC: 449–483 . doi :10.1007/s00211-009-0215-9。ISSN  0029-599X。S2CID  6111461。
  6. ^ Maas, U.; Pope, SB (1992). 「化学反応速度論の簡略化：組成空間における固有の低次元多様体」.燃焼と炎. 88 ( 3–4 ). Elsevier BV: 239– 264. doi :10.1016/0010-2180(92)90034-m. ISSN  0010-2180.
  7. ^ Bykov, Viatcheslav; Goldfarb, Igor; Gol'dshtein, Vladimir; Maas, Ulrich (2006-06-01). 「ILDMアプローチの修正版について：積分多様体に基づく漸近解析」. IMA Journal of Applied Mathematics . 71 (3). Oxford University Press (OUP): 359– 382. doi :10.1093/imamat/hxh100. ISSN  1464-3634.
  8. ^ Roberts, AJ (1989). 「動的システムの進化における不変多様体記述の有用性」. SIAM Journal on Mathematical Analysis . 20 (6). Society for Industrial & Applied Mathematics (SIAM): 1447– 1458. doi :10.1137/0520094. ISSN  0036-1410.
  9. ^ Foias, C.; Jolly, M.S.; Kevrekidis, IG; Sell, GR; Titi, ES (1988). 「慣性多様体の計算について」. Physics Letters A. 131 ( 7– 8 ). Elsevier BV: 433– 436. Bibcode :1988PhLA..131..433F. doi :10.1016/0375-9601(88)90295-2. ISSN  0375-9601.
  10. ^ Roberts, AJ (2002-06-04). 「全体論的有限差分アプローチによる線形ダイナミクスの一貫性モデル化」.計算数学. 72 (241): 247– 262. CiteSeerX 10.1.1.207.4820 . doi :10.1090/S0025-5718-02-01448-5. S2CID  11525980. 
  11. ^ 「常微分方程式または遅延微分方程式の中心多様体を構築する（自律）」。
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