慣性波
赤道慣性波パルスは、定常回転する球形チャンバー内の流体の流れのパターンを引き起こしました。この断面の矢印は、球体が左に示す軸を中心に時計回りに回転し続ける際の赤道面内の流れの方向と強さを示しています。赤は面外への流れ、青は面内への流れを示します

慣性波は慣性振動とも呼ばれ、回転する流体で発生する可能性のある力学的波の一種です。海岸や浴槽でよく見られる表面重力波とは異なり、慣性波は表面ではなく流体の内部を流れます。他の種類の波と同様に、慣性波は復元力によって引き起こされ、波長と周波数によって特徴付けられます。慣性波の復元力はコリオリの力であるため、波長と周波数には特殊な関係があります。慣性波は横波です。最も一般的には、大気、海洋、湖、室内実験で観測されます。ロスビー波、地衡流、地衡風は慣性波の例です。慣性波は、自転する地球の溶融核にも存在する可能性があります。

復元力

慣性波は、回転の結果として生じるコリオリの力によって平衡状態に戻ります。正確には、回転系ではコリオリの力（遠心力とともに）が発生し、そのような系は常に加速しているという事実を説明しています。したがって、慣性波は回転なしでは存在できません。弦の張力よりも複雑なコリオリの力は、運動方向に対して90°の角度で作用し、その強さは流体の回転速度に依存します。これらの2つの特性が、慣性波の独特な特性につながります

特徴

慣性波は流体が回転している場合にのみ発生し、流体の表面ではなく、流体の体積内に存在します。光波と同様に、慣性波は横波であり、つまり、その振動は波の進行方向に対して垂直に発生します。慣性波の独特な幾何学的特性の1つは、波の山と谷の動きを表す位相速度が、エネルギーの伝播の尺度である 群速度に垂直であることです

音波や電磁波はどの周波数でも起こり得ますが、慣性波は 0 から流体の回転速度の 2 倍までの周波数範囲でのみ存在できます。さらに、波の周波数はその進行方向によって決まります。回転軸に垂直に伝わる波の周波数は 0 で、地衡風モードと呼ばれることもあります。軸に平行に伝わる波の周波数は最大 (回転速度の 2 倍) で、中間の角度の波の周波数は中間です。自由空間では、慣性波は 0 から回転速度の 2 倍までの任意の周波数で存在できます。ただし、閉じた容器では、あらゆる種類の波と同様に、慣性波の可能な周波数に制限が課せられることがあります。閉じた容器内の慣性波は、しばしば慣性モードと呼ばれます。たとえば球体では、慣性モードは離散的な周波数をとらざるを得ず、モードが存在できないギャップが残ります。

慣性波の例

水、油、液体金属、空気、その他の気体など、あらゆる種類の流体が慣性波を生じます。慣性波は、惑星の大気 (ロスビー波、地衡風) と海洋および湖 (地衡流) で最も一般的に観測され、そこで行われる混合の大部分を担っています。海底の傾斜の影響を受ける慣性波は、しばしばロスビー波と呼ばれます。慣性波は、実験室実験や流体が回転している産業用流体で観測できます。慣性波は地球の液体の外核にも存在する可能性があり、少なくとも 1 つのグループ [1] がその証拠を主張しています。同様に、恒星、降着円盤、惑星のリング、銀河などの回転する天体の流れでも慣性波が存在する可能性があります。

数学的記述

流体の流れは、運動量に関するナビエ・ストークス方程式によって支配されます。圧力下で粘性を持ち、速度で回転する流体の流速は 、時間とともに変化します u → {\displaystyle {\vec {u}}} ν {\displaystyle \nu} P {\displaystyle P} Ω {\displaystyle \Omega} t {\displaystyle t}

∂ u → ∂ t + （ u → ⋅ ∇ → ) u → ＝ − 1 ρ ∇ → P + ν ∇ 2 u → − 2 Ω → × u → 。 {\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla}}){\vec {u}}=-{\frac {1}{\rho }}}{\vec {\nabla }}P+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}-2{\vec {\Omega }}\times {\vec {u}}.}

右側の最初の項は圧力を表し、2 番目の項は粘性拡散を表し、運動量方程式 (上記) の右側の 3 番目 (最後) の項はコリオリの項です。

正確には、回転座標系における流速です。回転座標系は加速している（つまり非慣性座標系である）ため、この座標変換の結果として、前述のように、遠心力とコリオリの力という2つの追加の（擬似）力が生じます。上記の式では、遠心力は一般化圧力 の一部として含まれており、回転軸からの距離に応じて、 通常の圧力 と次の関係があります。 u → {\displaystyle {\vec {u}}} P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} p {\displaystyle p} r {\displaystyle r}

P ＝ p + 1 2 ρ r 2 Ω 2 。 {\displaystyle P=p+{\frac {1}{2}}\rho r^{2}\Omega^{2}.}

回転速度が大きい場合、コリオリの力と遠心力は他の項に比べて大きくなります。これに比べて小さいため、拡散と「対流微分」（左辺第2項）は省略できます。両辺の回転を取り、いくつかのベクトル恒等式を適用すると、結果は次のようになります 。

∂ ∂ t ∇ × u → ＝ 2 （ Ω → ⋅ ∇ → ) u → 。 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\vec {u}}=2({\vec {\Omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}.}

この方程式の解の1つのクラスは、 2つの条件を満たす波である。まず、波動ベクトルが k → {\displaystyle {\vec {k}}}

u → ⋅ k → ＝ 0 、 {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {k}}=0,}

つまり、波は前述のように横波でなければならない。第二に、解は分散関係を満たす 周波数を持つ必要がある。 ω {\displaystyle \omega }

ω ＝ 2 k ^ ⋅ Ω → ＝ 2 Ω cos ⁡ θ 、 {\displaystyle \omega =2{\hat {k}}\cdot {\vec {\Omega }}=2\Omega \cos {\theta },}

ここで、回転軸と波の方向との間の角度です。これらの特殊解は慣性波として知られています。 θ {\displaystyle \theta}

分散関係は運動量方程式のコリオリの項によく似ています。回転速度と2という係数に注目してください。これは、慣性波の周波数の範囲と、その周波数が方向に依存することをすぐに示しています。

さらに詳しい情報

  • Aldridge, KD ; I. Lumb (1987). 「地球の流体外核で特定された慣性波」Nature 325 (6103): 421– 423.書誌コード:1987Natur.325..421A. doi :10.1038/325421a0. S2CID  4312055
  • グリーンスパン、H.P. (1969). 『回転流体の理論』ケンブリッジ大学出版局.
  • Landau, LD; EM Lifschitz (1987). 『流体力学 第2版』 ニューヨーク: Elsevier. ISBN 978-0-7506-2767-2。
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