無限割り切れる可能性（確率）

確率論において、確率分布は、任意の数の独立かつ同一分布（iid）の確率変数の和の確率分布として表せる場合、無限割り切れるという。任意の無限割り切れる分布の特性関数は、無限割り切れる特性関数と呼ばれる。^[1]

より厳密には、確率分布F が無限に割り切れるとは、すべての正の整数nに対して、和S _n = X _{n 1} + ... + X _nnが同じ分布Fを持つようなiid 確率変数X _{n 1} , ..., X _nnが存在する場合です。

確率分布の無限分割可能性の概念は、1929年にブルーノ・デ・フィネッティによって導入されました。この種の分布の分解は、確率論と統計学において、特定のモデルや応用において自然な選択となる可能性のある確率分布の族を見つけるために使用されます。無限分割可能な分布は、極限定理の文脈において確率論において重要な役割を果たします。 ^[1]

例

無限分割可能な連続分布の例としては、正規分布、コーシー分布、レヴィ分布、および安定分布族の他のすべてのメンバー、ガンマ分布、カイ二乗分布、ワルド分布、対数正規分布^[2]、およびスチューデントのt分布が挙げられます。

離散分布の例としては、ポアソン分布と負の二項分布（したがって幾何分布も）が挙げられます。唯一の可能な結果が0である1点分布も（自明に）無限分割可能です

一様分布と二項分布は無限に割り切れません。また、前述の1点分布以外の、有界な台（≈有限サイズの領域）を持つ他の分布も無限に割り切れません。 ^[3]スチューデントのt分布を持つ確率変数の逆数の分布も無限に割り切れません。 ^[4]

任意の複合ポアソン分布は無限に割り切れます。これは定義から直ちに導き出されます。

極限定理

無限に割り切れる分布は、中心極限定理の広範な一般化に現れます。三角形配列内の独立した一様漸近的に無視できる（uan）確率変数 の和S _n = X _{n 1} + ... + X _nnのn → +∞としての極限は、

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}X_{11}\\X_{21}&X_{22}\\X_{31}&X_{32}&X_{33}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}}$

弱い意味で無限に割り切れる分布に近づきます。一様漸近的に無視できる（uan）条件は次のように与えられます

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,\max _{1\leq k\leq n}\;P(\left|X_{nk}\right|>\varepsilon )=0{\text{ for every }}\varepsilon >0.}$

したがって、例えば、一様漸近的無視性（uan）条件が、有限分散を持つ同一分布の確率変数の適切なスケーリングによって満たされる場合、中心極限定理の古典版では、弱収束は正規分布に収束します。より一般的には、uan条件が（必ずしも有限の二次モーメントを持たない）同一分布の確率変数のスケーリングによって満たされる場合、弱収束は安定分布に収束します。一方、uan条件が…によって満たされる 独立した（スケーリングされていない）ベルヌーイ確率変数の三角形配列の場合、

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }np_{n}=\lambda ,}$

和の弱収束は、小数の法則のよく知られた証明によって示されるように、平均λを持つポアソン分布に収束します。

レヴィ過程

_{すべての無限に割り切れる確率分布は、}自然にレヴィ過程に対応します。レヴィ過程は、定常独立増分を持つ確率過程{  Lt  :  t≥0  }です_。ここで、定常とは、 s  <  tにおいて、Lt _- Lsの確率分布がt  -  sのみに依存することを意味し、独立増分とは、差Lt _- Lsが[ s ,  t ]と重ならない任意の区間における対応する差から独立していることを意味します。同様に、有限個の互いに重ならない区間についても同様に当てはまり _ます

{  L _t  :  t  ≥ 0 } がレヴィ過程である場合、任意のt  ≥ 0 に対して、確率変数L _tは無限に割り切れます。つまり、任意のnに対して、 ( X _{n 1} , X _{n 2} , ..., X _nn ) = ( L _{t / n} − L ₀ , L _{2 t / n} − L _{t / n} , ..., L _t − L _{( n −1) t / n} ) とすることができます。同様に、L _t − L _{s は}任意のs  <  tに対して無限に割り切れます。

一方、Fが無限に割り切れる分布である場合、 そこからレヴィ過程{  Lt  :  t≥0 }を構築できます。t − s _>  0  が有理数p / q_{となる任意の区間[} s ,  t ]に対して、 Lt − LsはXq1 _{+ Xq2} + _... + Xqpと同じ分布を持つと_定義できます。t ₋ s > 0の無理値は 連続性の議論によって処理されます。

加法過程

An additive process ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$ (a cadlag, continuous in probability stochastic process with independent increments) has an infinitely divisible distribution for any ${\displaystyle t\geq 0}$ . Let ${\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$ be its family of infinitely divisible distributions.

${\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$ satisfies a number of conditions of continuity and monotonicity. Moreover, if a family of infinitely divisible distributions ${\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$ satisfies these continuity and monotonicity conditions, there exists (uniquely in law) an additive process ${\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$ with this distribution. ^[5]

See also

• Cramér's theorem
• Indecomposable distribution
• Compound Poisson distribution

Footnotes

1. Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions, Griffin, London. p. 107
2. Thorin, Olof (1977). "On the infinite divisibility of the lognormal distribution". Scandinavian Actuarial Journal. 1977 (3): 121–148. doi:10.1080/03461238.1977.10405635. ISSN 0346-1238.
3. Sato, Ken-iti (1999). Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge University Press. pp. 31, 148. ISBN 978-0-521-55302-5.
4. Johnson, N.L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions (2nd ed.). Wiley. volume 2, chapter 28, page 368. ISBN 0-471-58494-0.
5. Sato, Ken-Ito (1999). Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge University Press. pp. 31–68. ISBN 9780521553025.

References

• Domínguez-Molina, J.A.; Rocha-Arteaga, A. (2007) "On the Infinite Divisibility of some Skewed Symmetric Distributions". Statistics and Probability Letters, 77 (6), 644–648 doi:10.1016/j.spl.2006.09.014
• Steutel, F. W. (1979), "Infinite Divisibility in Theory and Practice" (with discussion), Scandinavian Journal of Statistics. 6, 57–64.
• Steutel, F. W. and Van Harn, K. (2003), Infinite Divisibility of Probability Distributions on the Real Line (Marcel Dekker).