数学において、極限操作の互換性に関する研究は、数学的解析の主要な関心事の一つです。これは、例えばLとMといった二つの極限操作が、どちらの順序で適用されても同じ結果をもたらすとは限らないという仮定に基づいています。この理論の歴史的な源泉の一つは、三角級数の研究です。[1]
処方
シンボルでは、仮定
- LM = ML、
ここで、左側はMが最初に適用され、次にLが適用され、右側はその逆であることを意味し、あらゆる状況下で、すべてのオペランドに対して、数学演算子間の有効な式ではありません。代数学者は、演算は交換されないと言います。解析で取られるアプローチは多少異なります。極限演算が「交換」することを前提とする結論は、形式的と呼ばれます。解析者は、そのような結論が有効である条件を描写しようとします。言い換えると、数学的厳密さは、形式解析が保持するための十分な条件のいくつかのセットを指定することによって確立されます。このアプローチは、たとえば、一様収束の概念を正当化します。[2]このような十分な条件も必要であることは比較的まれであるため、より鋭敏な解析によって、形式的な結果の有効範囲が拡張される場合があります。
したがって、専門的に言えば、分析者は技術の限界を押し広げ、与えられた文脈における「振る舞い」の意味を拡大します。GHハーディは、「与えられた2つの極限演算が可換かどうかを判断する問題は、数学において最も重要な問題の一つです」と書いています。[3]リチャード・クーラントは、区分的アプローチではなく、分析をヒューリスティックなレベルに留めるという意見を表明しました。
例
例はたくさんあるが、最も単純な例の一つは、二重列a m , nの場合である。m → ∞とn → ∞の極限をとる操作が必ずしも自由に入れ替えられるわけではない。[4]例えば、
- a m、n = 2 m − n
ここで、まずnに関して極限をとると 0 になり、 mに関して極限をとると∞ になります。
微積分学の基本的な結果の多くもこの範疇に入ります。偏導関数の対称性、積分記号のもとでの微分、そして微分演算子と積分演算子の交換を扱うフビニの定理などです。
ルベーグ積分が用いられる主な理由の一つは、支配収束定理など、積分と極限演算を相互に置換できる十分な条件を与える定理が存在することである。この置換に必要な十分条件は、フェデリコ・カフィエロによって発見された。[5]
関連する定理の一覧
- 限界の交換:
- 極限と無限和の交換:
- 極限と導関数の交換:
- 関数の列が少なくとも1つの点で収束し、導関数が一様収束する場合、も一様収束し、たとえばある関数に収束し、導関数の極限関数は となります。[6]これは実数値関数の平均値定理を用いて示されることが多いですが、平均値不等式を用いることで高次元関数にも同じ方法を適用できます。
- 偏導関数の交換:
- 積分の交換:
- 極限と積分の交換:
- 優勢収束定理
- ヴィタリ収束定理
- フィチェラ収束定理
- カフィエロ収束定理
- ファトゥの補題
- 積分の単調収束定理（ベッポ・レヴィの補題）
- 微分と積分の交換:
参照
注記
- ^ 「三角級数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
- ^ Carothers, NL (2000). 『実分析』 ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局. p. 150. ISBN 0-521-49749-3。
- ^ 『純粋数学講座』の付録Aにある二重極限演算に関する注釈。
- ^ ナップ、アンソニー・W. (2005). 『基礎実解析』 ボストン: バークハウザー. p. 13. ISBN 0-8176-3250-6。
- ^ フェデリコ、カフィエロ (1953)。 「Sul passaggio al limite sotto il segno d'integrale per successi d'integrali di Stieltjes-Lebesgue negli spazi astratti, con Masse Variabili con gli integrandi」。パドヴァのレンディコンティ デル セミナリオ マテマティコ大学。22 : 223–245 . MR 0057951. Zbl 0052.05003.
- ^ ルディン、ウォルター（1953年）『数学解析の原理』（第3版）マグロウヒル、p.152。
